精品解析：吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

2024-2025学年抚松一中高一下第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简已知复数z，由共轭复数的定义可得． 【详解】解：化简可得 ， 的共轭复数， 故选：B． 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】当时，，， 此时，故，故充分性成立， 当时，满足，解得， 故此时必要性成立，故C正确. 故选：C 3. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 4. 中，三边之比，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用正弦定理角化边，即可求得答案. 【详解】中，三边之比，设， 则由正弦定理得， 故选：D 5. 已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】由复数z的实部与虚部互为相反数可设，利用复数的乘法运算化简即可求得a的值，则答案可求. 【详解】由复数z的实部与虚部互为相反数， 可设，则， ， 解得， 所以或， 故选：B. 6. 在中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算可得，结合平面向量基本定理可求，由此可得答案. 【详解】设相交于点，为的重心， 可得为中点，， ， 所以， 所以. 故选：A. 7. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状. 【详解】由题意得， 即，由正弦定理得， 即，则，因为，所以， 又， 所以, 故，因为，所以． 综上可知三角形为等边三角形． 故选：C. 8. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件确定是等边三角形，再建立坐标系，用坐标法求数量积的范围. 【详解】，，，，可得， ，，若，则，，，可得，，，即，即是等边三角形.如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，.由题意设，则，，. 因为，所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数z满足：，则（ ） A. B. 的虚部是3 C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】先化简复数，结合选项逐个验证可得答案. 【详解】因为，所以， ，故A正确； 复数z在复平面内对应的点为位于第一象限，故D错误； ，其虚部为，故B错误； ，故C正确. 故选：AC. 10. 已知向量满足，它们的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求解题干和选项中向量的模长可得答案. 【详解】因为，夹角为，所以,. 对于A，，A正确； 对于B，,B不正确； 对于C，,C正确； 对于D，，D不正确. 故选：AC 11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，对已知条件结合正弦定理可说明其正确； B选项，通过内切圆半径和面积法推出； C选项，由A先等价推出，由三角形的面积公式可算出； D选项，根据的取值结合和正弦定理可计算. 【详解】 如图，设内切圆圆心为，则到三边的距离均为，于是，即，则，得到，B选项正确； 由可得， 结合正弦定理可得，，即，A选项正确； 根据诱导公式，，， ，按照整体展开得到，，而，于是，即，故，由三角形面积公式，，解得，C选项正确； 由正弦定理结合B选项，，即，D选项错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________． 【答案】5 【解析】 【详解】 由复数在复平面内对应的点分别为， 又三点是共线的，所以． 13. “文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为_________米 【答案】30 【解析】 【分析】利用解直角三角形得到三边长，再利用余弦定理得到五边关系，从而可求解高度. 【详解】 设雕像高为，设雕像底部为点，根据直角三角形正切函数可得： 再由，结合两个三角形的余弦定理可得： 因为， 所以 即， 解得：， 故答案为：. 14. 在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算可得，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为，所以，因为， 所以，且三点共线， 则，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知为实数，所以，求得，再进行复数的乘法运算即可； （2）由题知为纯虚数，所以，求得，再根据复数的模长公式计算即可. 【小问1详解】 由已知， 是实数， ，即， . 【小问2详解】 ， 由于是纯虚数，，解得， 则. . 16. 已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，． （1）求，； （2）求与的夹角． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用模长公式及向量数量积的运算律即得； （2）利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，是两个单位向量，其夹角为60°， 则，，, 又， 所以， 同理， 所以； 【小问2详解】 由题得，， 设与的夹角为θ， 则， 因为θ∈[0,π]，所以， 则向量与的夹角为． 17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC. （1）求BD的长； （2）求sin∠BDC的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，在中，再利用余弦定理即可求解. （2）在中，利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， 则，所以， 由AD＝4DC，则，， 在中，， 所以. （2）由，，BC＝3， 在中，， 即，解得 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理内容，属于基础题. 18. 某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，.设. （1）用表示的面积，并求的最大值； （2）为了提高观赏效果，计划在和边上安装护栏，其中边上的护栏需要进行延长设计，因此一共需安装长度为的护栏，若该护栏每米造价为200元，求建造护栏所需费用的最小值.（参考数据：） 【答案】（1）， （2）75600元 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理求得，利用三角形面积公式表示，利用三角恒等变换化简求得最大值； （2）在中，由正弦定理可得，，代入，利用三角恒等变换化简，结合三角函数性质求出最小值. 【小问1详解】 在中，，，则， 由正弦定理，，即， 解得， ， ，则，， 所以当，即时，取得最大值，最大值为. 【小问2详解】 在中，由正弦定理，得， 同理可得， ， ，， 因为在上单调递增，所以， ， 所以建造护栏所需费用的最小值为元. 19. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由等面积法计算可得； （3）延长交于，延长交于，设，，分别求出、，再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 即，解得， 设边上的角平分线长为， 则，即， 即，解得，即边上的角平分线长为； 【小问3详解】 延长交于，延长交于， 设，，所以， 在中， 在中，，所以， 在中，同理可得， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年抚松一中高一下第一次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 中，三边之比，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 无数个 6. 在中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数z满足：，则（ ） A. B. 的虚部是3 C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知向量满足，它们的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量有（ ） A. B. C. D. 11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________． 13. “文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家他历经个寒暑，三易其稿，完成了万字的巨著本草纲目，被后世尊为“药圣”为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点、、，分别测得雕像顶的仰角为、、，且米，则雕像高为_________米 14. 在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 16. 已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，． （1）求，； （2）求与的夹角． 17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC. （1）求BD的长； （2）求sin∠BDC的值. 18. 某公园规划一个凸四边形区域种植两种花卉以供欣赏，具体设计如下：如图，将四边形划分为两个三角形区域分别种植两种花卉，，.设. （1）用表示的面积，并求的最大值； （2）为了提高观赏效果，计划在和边上安装护栏，其中边上的护栏需要进行延长设计，因此一共需安装长度为的护栏，若该护栏每米造价为200元，求建造护栏所需费用的最小值.（参考数据：） 19. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $