精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市内蒙古师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题名校 内蒙古师范大学附属中学

内蒙古师范大学附属中学 2024-2025学年第二学期高一年级月考试题 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分是奇数、偶数两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样， 当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C. 2. 如果是第二象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由的范围判断的的范围，先写出角的范围，再除以3，求出角的的范围，看出角的范围． 【详解】解：是第二象限角， ，，， ，，． 是第一或二，四象限角． 故选． 【点睛】本题考查了角的范围，考查象限角，解题的关键是写出象限角的范围，根据不等式的做法，写出要求的角的范围． 3. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解方程，，即得解. 【详解】函数中， 令，； 解得，； 所以时，的一个对称中心是，． 故选：A． 【点睛】方法点睛：求函数，只需解方程. 注意是不是. 4. sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的范围，得到相应三角函数值的范围求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故选：A 5. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论. 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 6. 受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时的水深约为 D. 一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【解析】 【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 7. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再计算即可. 【详解】由题可知， 因为与垂直，所以，解得， 所以， 故选：C 8. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9. 若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( ) A. 扇形的面积不变 B. 扇形的圆心角不变 C. 扇形的面积变为原来的4倍 D. 扇形的圆心角变为原来的2倍 【答案】BC 【解析】 【分析】利用扇形面积公式和弧长公式的变形即可求解. 【详解】设原扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则原扇形的面积为， 扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍后，其面积为， 故，故A错误，C正确； 由，可知扇形的圆心角不变，故B正确，D错误. 故选：BC． 10. 已知，，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由，得出，进而可判断出A选项的正误；验证与之间的等量关系，可判断B选项的正误；由得出，可判断出C选项的正误；由向量模的三角不等式可判断D选项的正误. 【详解】，则. 对于A选项，若，则，所以，或，A选项错误； 对于B选项，若，则，，，则，， B选项正确； 对于C选项，若，且，则，或，C选项错误； 对于D选项，由向量模的三角不等式可得，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查与平面向量相关命题真假的判断，考查了向量模的三角不等式、单位向量的坐标运算以及利用向量垂直的表示的应用，考查计算能力，属于基础题. 11. 函数部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2），则（ ） A. a+b＝π B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 结合函数的解析式和部分图象，易得得，再根据区间[a，b]中的对称轴为，结合x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），易得x1+x2＝a+b，然后由f（x1+x2）判断. 【详解】因为函数， 所以函数的周期为， 由函数的图象得，故B正确； 由图象知A＝2，则f（x）＝2sin（2x+φ）， 在区间[a，b]中的对称轴为， 因为f（x1+x2），且x1，x2也关于对称， 所以，即x1+x2＝a+b， 所以f（a+b）＝f（x1+x2），故A错误，D正确， 设，则 ，所以 ，即 ， 所以，即， 所以 ，解得，又，所以，故C正确； 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题关键是函数的周期与函数的零点间距离的关系的应用. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，则向量的模为______．向量与向量的夹角为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用向量坐标计算即可求得向量的模；根据条件即可求出，根据的范围可求出，且，即可得出向量与向量的夹角. 【详解】因为，， 所以，，， 因为， 所以， 又因为，， 所以与向量的夹角为. 故答案为：1；. . 13. 不等式，的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】在单位圆中画出角的三角函数线，根据三角函数线的大小确定角的范围． 【详解】解：如图角的正弦线，余弦线分别是， 当角的终边与弧相交时，， ∴此时， ∵， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，考查数形结合思想，属于基础题． 14. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的周期性，得出是以4为周期的函数，求值即可. 【详解】因为，， 则 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在直角梯形中，，，，． （1）若，求的值； （2），求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底表示向量和，再根据向量垂直，结合向量数量积的运算律，即可求解； （2）根据（1）的结果，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 ，， 若，则, 即，得； 【小问2详解】 由（1）可知，时，，， , ， ， ， 所以向量与的夹角的余弦值为. 16. ， （1）运用“五点作图法”，列表--描点--连线，做出，的图象． （2）写出函数的振幅，最小正周期，初相． 【答案】（1）答案见解析 （2）振幅为2，最小正周期为8，初相为 【解析】 【分析】（1）先确定“五点”，进而画出图象即可； （2）根据函数解析式及其各量的物理意义求解即可. 【小问1详解】 列表如下： 1 3 5 7 0 0 2 0 0 在图中描出这五个点，并连线得到图象，如下图： 【小问2详解】 由可知，振幅为2，最小正周期为，初相为. 17. （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），或，；（2）-1. 【解析】 【分析】（1）由结合条件可得解； （2）分子分母同时除以得到关于的式子即可得解. 【详解】（1）由，及， 解得， 当时， ； 当时， . （2）. 18. 已知向量，满足，，且，的夹角为． （1）求； （2）求在上的投影向量；（用表示） （3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解； （2）利用投影向量的计算公式计算求解； （3）结合已知条件构造不等式，解不等式求实数的取值范围 【小问1详解】 已知，，且，的夹角为， ， ． 【小问2详解】 根据投影向量的定义，在上的投影向量为， ，， 投影向量为． 【小问3详解】 已知向量与向量的夹角为钝角， ，且与不反向共线； 则， 即，解得； 若两向量反向共线，则存在实数，使得，， 即，将代入，得到， 由，解得， 与不反向共线， ， 综上可得，实数的取值范围是． 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求，和的值； （2）求函数在上的单调递减区间； （3）若函数在区间上恰有2020个零点，求的取值范围. 【答案】（1），，（2），（3）， 【解析】 【分析】（1）有图象可得，，进而求得，令，则，结合，可求得； （2）由（1）求得解析式，令，，解之即可； （3）条件转化为在上有两个零点，即可得取值范围． 【详解】（1）由题可得，，则， 当时，取得最大值，则， 所以， 又因为，故； （2）由（1）可知， 令，， 则，， 故的单调递减区间为，， 则在，上的单调递减区间为，； （3）令，则，解得，， 所以在上有两个零点，因为周期为2， 若函数在区间，上恰有2020个零点， 则， 解得的取值范围为，． 【点睛】本题考查了函数零点与方程根的关系，涉及三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古师范大学附属中学 2024-2025学年第二学期高一年级月考试题 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 2. 如果是第二象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 4. sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 时的水深约为 D. 一天中水深低于的时间为4小时 7. 已知向量，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 8. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 二、多选题：本题共3小题，共18分． 9. 若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则( ) A. 扇形的面积不变 B. 扇形的圆心角不变 C. 扇形的面积变为原来的4倍 D. 扇形的圆心角变为原来的2倍 10. 已知，，则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 的最小值为 11. 函数部分图象如图所示，对不同x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有f（x1+x2），则（ ） A. a+b＝π B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，，则向量的模为______．向量与向量的夹角为______． 13. 不等式，的解集为______． 14. 已知，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在直角梯形中，，，，． （1）若，求的值； （2），求向量与的夹角的余弦值． 16. ， （1）运用“五点作图法”，列表--描点--连线，做出，的图象． （2）写出函数的振幅，最小正周期，初相． 17. （1）若，求的值； （2）若，求的值． 18. 已知向量，满足，，且，的夹角为． （1）求； （2）求在上的投影向量；（用表示） （3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求，和的值； （2）求函数在上的单调递减区间； （3）若函数在区间上恰有2020个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $