精品解析：云南省大理州南涧彝族自治县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

云南省大理州南涧县第一中学2024-2025学年上学期期中考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，集合，则 A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得或，进而计算出. 【详解】全集，集合，或， 且集合，. 故选D 【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2. 若命题p：，则命题p的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解. 【详解】因为“”的否定是“”， 所以命题“”的否定是“”． 故选：C. 3. 若则一定有 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念求解. 【详解】命题“”的否定是， 故选:C. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数定义域和图象上的点，排除法选择正确选项. 【详解】函数，定义域为，BD选项排除； 时，，A选项排除. 故选：C. 6. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④；正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的图象与性质一一判定结论即可. 【详解】∵对称轴为直线，，∴，故②正确； ∵，∴，∴． ∵，∴，故③错误； ∵抛物线与x轴有两个交点，∴， 由题意可知时，，∴，∴． ∵，∴． ∴，∴，∴，故④正确； ∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴，． ∵，∴，∴，故①错误. 故选：B． 7. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的定义域可排除A选项；再由可排除B选项；再由函数的单调性可选出D选项. 【详解】根据，根据分母不为0，则， ， 根据得， 则，则，排除A、B项； 而，其图像关于直线对称， 且在上单调递减，在上单调递增， 最后将其向上平移1个单位，则得到图中图像，且当时，，故D正确. 故选：D 8. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点，抛物线的顶点为D．下列结论正确的是（ ） ①若，则 ②当时，且y的最小值为 ③抛物线上有两点和，若，且，则 ④当时，对于抛物线上两点、，若，则 A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再结合二次函数的性质、已知条件逐一判断各个选项即可. 【详解】∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 对于①，当时，点A坐标为， ∴点B坐标为， ∴，故①错误； 对于②，∵，抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点为点和， ∴当时，x的取值范围为，且最小值为，故②正确； 对于③，∵对称轴为直线，，且， ∴到x轴的距离小于到x轴的距离， ∴，故③错误； 对于④，当时，， 令，则， 解得，， ∴，， 若，则， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的有②④， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若则； B. 若则； C. 若则； D. 若则． 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断对错. 【详解】当时，，所以A选项错误； 根据单调递增，所以由可得， 所以B选项正确； ，又， 所以根据不等式的传递性可知，所以C选项正确； 由因为所以， 即，所以，所以D选项正确. 故选:BCD. 10. 若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ） A. 3数集A有6个非空真子集 B. 4数集B有6个2子集 C. 若集合，则C的等和子集有2个 D. 若集合，则D的等和子集有24个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可. 【详解】3数集A有个非空真子集，A正确. 假设， 则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确. C的等和子集有，，，共3个，C错误. 因，，，所以在D中， 只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中， D的等和子集有，，共2个； 在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个； 在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个； 在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个； 在D的8子集中，D的等和子集有，共1个. 综上，D的等和子集有个，D正确. 故选：ABD. 11 函数，则（ ） A. 若为奇函数，则 B. 存在实数，使得为偶函数 C. 若，不等式的解集为或 D. 若，，在上是减函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用特殊值法可得判断A；利用可判断B；由求解可判断C；，，均为的减函数，可判断D. 【详解】若为奇函数，则，所以得，经验证，成立；所以A正确； ，可以判断不存在为偶函数的情况，故B错误； 当时，，得解集为或，所以C正确； 当时，，，均为的减函数， 故为上的减函数，可得D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若f(x)=(m－1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是_________. 【答案】f(－2)<f(1)<f(0) 【解析】 【详解】试题分析：f（x）=（m-1）x2+6mx+2若为偶函数，则表达式中显然不能含有一次项6mx，故m=0．再根据二次函数进行讨论它的单调性即可比较f（0），f（1），f（-2）大小解：（1）若m=1，则函数f（x）=6x+2， 则f（-x）=-6x+2≠f（x），此时函数不偶函数，所以m≠1，（2）若m≠1，且函数f（x）=（m-1）x2+6mx+2是偶函数，则 一次项6mx=0恒成立，则 m=0，因此，函数为 f（x）=-x2+2，此函数图象是开口向下，以y轴为对称轴二次函数图象由其单调性得：f（-2）＜f（1）＜f（0）故答案为f(－2)<f(1)<f(0) 考点：函数奇偶性 点评：函数奇偶性定义中f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），包含两层意义：一是x与-x都使函数有意义，则定义域关于原点对称；二是f（-x）=f（x）图象关于y轴对称，f（-x）=-f（x）图象关于原点对称． 13. 若，则函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数写为分段函数形式,则,再画出函数图像,并利用图像求得值域 【详解】当时,； 当时,； 当时,,故, 根据函数解析式作出函数图像,如图所示, 由图像可以看出函数的值域为 故答案为： 【点睛】本题考查图像法求函数值域,考查数形结合思想 14. 已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】将复合函数看做，，然后分和两种情况讨论内外函数的单调性，根据单调性列不等式求解即可. 【详解】复合函数可以看做，， 当时，外函数单调递增，所以内函数在上单调递减，则，解得； 当时，外函数单调递减，所以内函数在上单调递增，则，解得； 综上所述，或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）成立的一个必要条件是，则，求解即可； （2）由，则或，求解即可. 小问1详解】 因为集合，． 若成立的一个必要条件是，所以， 则，所以， 故实数的取值范围. 【小问2详解】 若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 16. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）求值； （2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】（1） （2） （3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【解析】 【分析】（1）依题意当时，代入计算可得； （2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润； （3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由题意可知，当时，，所以，解得； 【小问2详解】 由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. 【小问3详解】 由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 17. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用二次函数的性质，即可求解； （2）根据条件得到，利用韦达定理得，，再根据题设有，从而得到，即可求解； （3）利用基本不等式得到，从而将问题转化成在恒成立，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 当时， 当时，函数有最大值，最大值为2. 【小问2详解】 设，，由题知，是方程的两个相异根， 则，得到， 由韦达定理知，，令，得到， 所以，又， 所以，解得，故的值为1或. 【小问3详解】 因为，则，当且仅当时取等号 由题有在恒成立，即恒成立， 又，则，即，解得， 故的取值范围为. 18. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）当时，对于（1）中的函数和函数，若对，，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）值域为，单调增区间为，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）设，则有，，再根据给定的性质即可求解； （2）利用定义法证明函数在单调递减，从而得到其值域，根据题意可得的值域是的值域的子集，由此列出不等式组，求解即可得出的范围. 【小问1详解】 因为， 设，，则. 令，. 又由已知性质可得在单调递减，在单调递增， 又∵，，， ∴， ∴的值域为，单调增区间为，单调减区间为 【小问2详解】 因为，，任取， 则 ， 即，所以在单调递减， 则，， 所以， 由（1）可知，当时，， 因为对，，使得成立， 所以的值域是值域的子集， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. （1）判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论） （2）已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由； （3）若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围. 【答案】（1）既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数” （2）不是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据所给定义判断即可； （3）首先由在上恒成立，求出的取值范围，依题意存在实数使得，分、、三种情况讨论，分别结合方程有解求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 对于，则， 又函数在定义域上单调递增， 所以不存在使得，即不是“弱偶函数”， 若存在使得，即， 即，又，当且仅当，即时取等号， 所以方程无解，故不存在使得， 即不是“弱奇函数”， 综上可得既不是“弱奇函数”也不是“弱偶函数”. 【小问2详解】 假设为其定义域上的“弱奇函数”，则， 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 若，则，则，舍去； 从而无解，所以不是其定义域上的“弱奇函数”. 【小问3详解】 由在上恒成立， 转化为在上恒成立，即. 因为为其定义域上的“弱奇函数”， 所以存在实数使得， 当时，则，所以，即， 所以，， 即在有解可保证是“弱奇函数"，所以，又因为，所以； 当时，，此时，不成立； 当时，则，所以，则， 即，即在有解可保证是“弱奇函数”， 所以，由可知； 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省大理州南涧县第一中学2024-2025学年上学期期中考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，集合，则 A. B. C. D. 2. 若命题p：，则命题p的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 若则一定有 A. B. C. D. 4. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象是（ ） A B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④；正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点，抛物线的顶点为D．下列结论正确的是（ ） ①若，则 ②当时，且y的最小值为 ③抛物线上有两点和，若，且，则 ④当时，对于抛物线上两点、，若，则 A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ②④ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若则； B. 若则； C. 若则； D. 若则． 10. 若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ） A. 3数集A有6个非空真子集 B. 4数集B有6个2子集 C. 若集合，则C等和子集有2个 D. 若集合，则D等和子集有24个 11. 函数，则（ ） A. 若奇函数，则 B. 存在实数，使得为偶函数 C. 若，不等式的解集为或 D. 若，，在上是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若f(x)=(m－1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是_________. 13. 若，则函数的值域为________． 14. 已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）求值； （2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 17. 已知二次函数（，且）. （1）若，求该二次函数的最大值； （2）已知该函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若的面积为，求的值； （3）若，，，恒成立，求的取值范围. 18. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）当时，对于（1）中函数和函数，若对，，使得成立，求实数a的取值范围． 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”. （1）判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论） （2）已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由； （3）若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$