精品解析：河北省唐山市路南区2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷

2024—2025学年度第二学期期中学业水平抽样评估八年级数学试卷 注意事项：本试卷共24个题，满分100分，考试时间为90分钟． 一、精心选一选（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列根式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，，，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若，则等于（ ） A. 4 B. 16 C. 20 D. 25 5. 在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（ ） A. ＋或－ B. ÷或× C. ＋或× D. －或× 6. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 7. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 9. 如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的顶点坐标分别是，，，则B点的坐标为( ) A. B. C. D. 11. 我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年－公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 36 12. 如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、细心填一填（每小题3分，共12分） 13. 已知：，则_________． 14. 如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 15. 两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为________． 16. 如图，在中，，点在边上，，于点，，，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，，，求与的周长差． 19. 课本12页有如下问题：现有一块长，宽为的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请先判断，然后再写出理由． 20. 如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 21. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 22. 如图， 在□ABCD中，点E、F是AD、BC的中点，连接BE、DF． （1）求证：BE＝DF； （2）若BE平分∠ABC且交边AD于点E，AB=6cm，BC=10cm，试求线段DE的长． 23. 如图，在中，，E，F分别是，的中点，延长到点D，使，连接，． （1）求证：与互相平分； （2）若，求的长． 24. 如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中学业水平抽样评估八年级数学试卷 注意事项：本试卷共24个题，满分100分，考试时间为90分钟． 一、精心选一选（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列根式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，此类题目要求理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．二次根式的定义：形如的式子是二次根式．关键是，根据定义可得答案． 【详解】解：A．不是二次根式，故本选项不符合题意． B．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意． C． 是二次根式，故本选项符合题意． D．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3. 已知中，，，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边之间的关系是解题关键．根据平行四边形的性质得出对边相等，进而得出的周长． 【详解】解：∵中，，， ∴，， 则的周长为：）． 故选：A． 4. 在中，，若，则等于（ ） A. 4 B. 16 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求得，代入式子即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 在算式“”的“□”中填上一种运算符号，其运算结果为有理数，则“□”可能为（ ） A. ＋或－ B. ÷或× C. ＋或× D. －或× 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，有理数的定义，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解： 不是有理数， 故A，C选项不符合题意； ， 不是有理数， 故B选项不符合题意； ， ， 是有理数， 故D选项符合题意； 故选：D ． 6. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A的坐标为，则的长为（ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，过点A作轴于点B，由勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点B， ∵点A的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 7. 如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 8. 如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据矩形的对角线相等，得到即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 9. 如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线性质与勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， 根据勾股定理可得， ， ∴橡皮筋被拉长了：．， 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线性质及勾股定理，解题的关键是从题目中提取出垂直平分线． 10. 如图，的顶点坐标分别是，，，则B点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形的两组对边分别平行，以及考查坐标与图形的性质等知识点；掌握平行四边形的性质和坐标的基本特征是解答该题的关键．根据平行四边形的对边相等，B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等，从而确定B点的坐标． 【详解】四边形是平行四边形， ， B点的横坐标减去C点的横坐标，等于A点的横坐标减去O点的横坐标，B点和C点的纵坐标相等， O， A，C的坐标分别是，，； B点的坐标为 故选：B． 11. 我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年－公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． 设，则，，，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该三角形的面积． 【详解】解：设，则由全等三角形可得， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴此勾股形的面积为， 故选：B． 12. 如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是灵活应用这些知识点．由，，可得，从而判断①；延长交于点，，得出，进而根据直角三角形的性质从而判断②；延长交于，作于，先证，再证出，从而判断③，由与，得出，从而判断④． 【详解】解：，， ， 故①不正确； 如图，延长交于点, ∵，， ∴ ∴ ∵为的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故②正确； 延长交于，作于，连接 ，，， ， ， 又， ∴是的中位线， ， ， ∵ ∴ ∵ ， ， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， 故 ③正确； ， ， ， 故④正确， 正确的有②③④，共3个 故选：C． 二、细心填一填（每小题3分，共12分） 13. 已知：，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】∵ ∴a=3,b=2 ∴6 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 14. 如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴，，， ∴， ∵，相交于点O且为， ∴的周长为：， 故答案为：． 15. 两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，正方形的面积等知识，解题的关键是确定大正方形的边长，属于中考常考题型．根据大正方形是由两个小正方形拼成的，得到大正方形的面积恰好是这两个小正方形面积的和，从而计算得到解答即可． 【详解】解：对其中一个正方形沿对角线剪成四个直角三角形，再拼到另一个正方形四周，即可得到大正方形． ∵两个小正方形的面积都是1，用它们拼成的大正方形的面积应是两个小正方形面积之和， ∴拼成的大正方形的面积是， ∵大正方形的面积是2， ∴大正方形的边长，是无理数 （正方形的面积等于边长的平方）． 故答案为：． 16. 如图，在中，，点在边上，，于点，，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，证明，可得，再由勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理求出，设：，则，在中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， 设：，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 设：，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算和加减运算． （1）先进行二次根式的化简，然后按照二次根式的加减运算法则求解； （2）先将括号展开，再计算乘法，最后合并． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，，，求与的周长差． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 由矩形得到，，周长作差即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 19. 课本12页有如下问题：现有一块长，宽为的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请先判断，然后再写出理由． 【答案】能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法和无理数的估算，熟练掌握二次根式的应用是解题关键．先分别求出两个正方形的边长，再根据二次根式的加法和无理数的估算即可得． 【详解】解：由题意得：两个正方形的边长分别为，， ， ， 能采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板． 20. 如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 连接，由题意知，，利用勾股定理可求，并可求，而，，得，可证是直角三角形，，从而求的度数； 【详解】解：如图所示，连接， ， ∴为等腰直角三角形， ，， 又， ， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 21. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点C到底座的距离为：． 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 旋转后， ∵， ∴， ∴点C到底座的距离为：． ∴端点到底座的距离减少了． 22. 如图， 在□ABCD中，点E、F是AD、BC的中点，连接BE、DF． （1）求证：BE＝DF； （2）若BE平分∠ABC且交边AD于点E，AB=6cm，BC=10cm，试求线段DE的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点， ∴DE=AD，BF=BC， ∴DE=BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE=DF． （2）4cm． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，又由点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，可得DE=BF，证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论． （2）由平行线的性质和角平分线得出∠ABE=∠AEB，证出AE=AB=6cm，即可得出结果． 【详解】解：（1）略 （2）∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AE=AB=6cm， ∴DE=AD-AE=10cm-6cm=4cm． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质． 23. 如图，在中，，E，F分别是，的中点，延长到点D，使，连接，． （1）求证：与互相平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，． ∵点E，F分别为的中点， ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴与互相平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）利用三角形中位线定理可得出，，结合，得出，可证明四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证； （2）利用直角三角形斜边中线的性质求出，利用平行四边形性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， ∵E为的中点，， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴． 24. 如图，在矩形中，是的平分线，过点D作，交的延长线于F，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而根据平行线的性质和角平分线的定义得到，由此即可推出； （2）先由矩形的性质得到，再由（1）得到，，进而得到，再证明，证明，得到，进一步证明，即； （3）如图所示，连接，由（2）知，，，则，由勾股定理得，在中，由勾股定理可求得． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 由（2）知，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $