精品解析：河南省部分学校2025届高三下学期4月一模数学试题

2025年普通高等学校全国统一模拟招生考试 4月联考数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的定义求结论. 【详解】因为，又，所以， 故选：D． 2. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，则即可求解. 【详解】， 故选：B． 3. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标表示求解向量的模长，再利用平面向量垂直的坐标表示建立方程，求解参数即可. 【详解】由向量的模长公式得，， 因为，所以， 则，解得（负根舍去），故B正确. 故选：B． 4. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】原式可化为，可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C． 5. 已知曲线关于点中心对称，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，计算即可得出结果. 【详解】因为关于点中心对称， 所以， 所以，可得， 故选：C． 6. 设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，进而计算可得，利用基本不等式可求最大值. 【详解】设，因此，， 当且仅当时取“”，所以的最大值为. 故选：B． 7. 若函数在区间上有极大值，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. e 【答案】A 【解析】 【分析】设极大值点为，由题意可得，，进而有，构造函数，求得最小值即可. 【详解】由，若在上有极大值，必存在极大值点， 即在上有解，即有解，所以有，， ， 所以有，令， 有， 可得函数的减区间为，增区间为，有， 当时，，则上，上， 所以在上单调递增，上单调递减，满足题设， 故的最小值为. 故选：A． 8. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质得到，再结合余弦定理得到，进而得到，最后构建齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，连接，因为为椭圆的上顶点，所以， 因为，所以，故， 解得，设，，则， ，由余弦定理有， 即，解得， 因为，所以， 化简得，即， 整理得，解得，故B正确. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，样本数据，，则（ ） A. 的平均数一定等于的平均数 B. 的中位数一定小于的中位数 C. 的极差一定大于的极差 D. 的方差一定小于的方差 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平均数、极差的定义计算判断AC；利用中位数的定义举例判断B；利用方差的意义分析判断D. 【详解】对分别求平均数，均为，故A正确； 的中位数为，的中位数为，大小关系不确定， 不妨设原数据为：，中位数为，则新数据为：，中位数为2，故B错误； 的极差为，的极差为，故C正确； 由，且和的平均数相等，从而，故D错误． 故选：AC． 10. 设抛物线的焦点为，过的直线交轴的负半轴于点，交抛物线于两点，，，过作抛物线的切线交轴于点，则（ ） A. B. 直线的斜率为 C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A由即可求解；对于B设，因此，又点在抛物线上，即可求解；对于C直线的方程为，与抛物线联立方程组即可求得点坐标，由两点间的距离公式即可求解；对于D由，得得直线方程为，即可求解. 【详解】因为为，所以，故A正确； 设，因此，由，从而，直线的斜率为，故B正确； 直线的方程为， 所以或， 因此可求得，，可得，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为， 方程为，因此， 所以的面积为，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为偶函数，则 C. 有且仅有个使得的最小值为 D. 若函数的图象与的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】解方程，求出的值，可判断A选项；由偶函数的性质求出的值，取可判断B选项；利用绝对值三角不等式可判断C选项；化简函数的解析式，对的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围. 【详解】对于A选项，，则，解得，A对； 对于B选项，若函数为偶函数，则， 即，可得， 所以，或， 由可得，由解得； 由可得，即， 所以，或， 由可得，由可得， 综上所述，或， 经检验，当或，函数为偶函数， 当时，，B错； 对于C选项，由三角不等式可得， 解得或， 当且仅当时，取最小值，C对； 对于D选项， ①当时，，可知若与有且仅有两个交点， 只需点在的图象的下方，即，可得； ②当时，， 由，可得点在的图象的下方， 此时的图象与有且仅有两个交点； ③当时，， 当与相切时，有， 令，则，可得， 解得（舍去）或， 可得与有两个交点时， 由上知，D对， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意可知经验回归方程为过样本中心点，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，， 可知经验回归方程为过样本中心点， 则，可得． 故答案为：8. 13. 已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于直线对称，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由函数的最小正周期为，结合周期公式求，再求出平移后图象的函数解析式结合条件列方程求即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 所以，故， 所以， 将的图象向右平移个单位长度可得的图象， 因为的图象与曲线关于直线对称， 所以， 即， 所以或恒成立， 化简可得或（不是对任意实数恒成立） 解得， 又，所以． 故答案为：. 14. 在三棱锥中，平面，若，且，则三棱锥的体积的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，建立平面直角坐标系，求出点到直线距离的最大值，进而求出三棱锥体积最大值的函数关系，再利用导数求出函数的最大值. 【详解】在三棱锥中，平面，，设，则， 以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，由，得， 整理得，点在以为圆心，为半径的圆上， 则点到直线距离的最大值为，面积的最大值为， 三棱锥体积的最大值为， 设，，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）设为边的中点，若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）由余弦定理有，由得即可求得，利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，， ， ，， ，，，又 ； 【小问2详解】 由余弦定理得：，， ，，， ，解得， 的面积为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，设为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判断定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，由（1）可知，为平面的法向量，利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则即令，则， 所以． 由（1）可知，为平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：，关于的不等式有实数解． 【答案】（1） 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2） ，关于的不等式有实数解， 即，不等式有实数解， 由（1）可知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 的最小值为， 只需证明，， 即证，， 即证，， 令，则，只需证，， 令函数，则， 当时，显然，在区间上单调递减； 当时，显然，在区间上单调递增， 的最小值为，即，， ，关于的不等式有实数解． 【解析】 【分析】（1）求导，分，，三种情况讨论可求的单调区间； （2）由题意可得，不等式有实数解，结合（1）可知需证，，即证，，构造函数，求导可证结论. 【小问1详解】 易知， ①当时，，区间上单调递减； 当时，令，得； ②当时，令，则，在区间上单调递增； 令，则，在区间上单调递减； ③当时，令，则，在区间上单调递增； 令，则，在区间上单调递减； 综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 【小问2详解】 略 18. 已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）证明：； （3）设，，证明：为定值． 【答案】（1）的方程为，的方程为 （2） 设点，， 因此，，且，， 所以， 因此，，， 所以； （3） 由题意，设点，，， 因此， 又，从而， 整理得， 由（2）可知，因此为定值． 【解析】 【分析】（1）设，，由焦距为4即可求出； （2）设点，，由直线的斜率之积为1以及点在双曲线上即可求证； （3）由题意，设点，，， 得，点在双曲线上，代入方程即可求解. 【小问1详解】 设，， 因此，所以， 的方程分别为，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知无穷数列满足以下条件：①，当时，；②若存在某项，则必有，使得（且）． （1）若，写出所有满足条件的； （2）若，证明：数列为等差数列； （3）设，求正整数的最小值． 【答案】（1）满足条件的可能为 （2） 先证当正整数时，是以2为首项，2为公差的等差数列，且， ①由（1）得，或，又，， 当时，是以2为首项，2为公差的等差数列，且； ②假设当（且）时， 是以2为首项，2为公差的等差数列，且， 若，则， 由题意，则必有，使得，， 是以2为首项，2为公差的等差数列， ，与矛盾， ， 当时，是以2为首项，2为公差的等差数列，且； 由①②得，当正整数时，是以2为首项，2为公差的等差数列，且， 数列为等差数列； （3）3035 【解析】 【分析】（1）由题意可得或，分类讨论求解即可； （2）利用数学归纳法可证明当正整数时，是以2为首项，2为公差的等差数列，且； （3）由题意可知，进而要使最小，则需，且，且，据此计算即可. 【小问1详解】 由题意，当时，，， 或， 或， ，， ①若，则或； ②若，则或； 综上所述，满足条件的可能为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设（且），则必有，使得，此时， 要使最小，则需，且，且， 此时取，则满足， 当正整数取最小值时，，，…，， ，，的最小值为3035． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校全国统一模拟招生考试 4月联考数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 4. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知曲线关于点中心对称，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 若函数在区间上有极大值，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. e 8. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，样本数据，，则（ ） A. 的平均数一定等于的平均数 B. 的中位数一定小于的中位数 C. 的极差一定大于的极差 D. 的方差一定小于的方差 10. 设抛物线的焦点为，过的直线交轴的负半轴于点，交抛物线于两点，，，过作抛物线的切线交轴于点，则（ ） A. B. 直线的斜率为 C. D. 的面积为 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为偶函数，则 C. 有且仅有个使得的最小值为 D. 若函数的图象与的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则______． 13. 已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于直线对称，则______． 14. 在三棱锥中，平面，若，且，则三棱锥的体积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）设为边的中点，若，，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，设为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：，关于的不等式有实数解． 18. 已知等轴双曲线的对称中心均为坐标原点，焦点分别在轴和轴上，且焦距均为4．设两点分别在上，满足直线的斜率之积为1，点为上异于的另一点，过分别作平行于的直线，交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）证明：； （3）设，，证明：为定值． 19. 已知无穷数列满足以下条件：①，当时，；②若存在某项，则必有，使得（且）． （1）若，写出所有满足条件的； （2）若，证明：数列为等差数列； （3）设，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $