精品解析：广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年高二下学期期中数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故时的瞬时变化率为， 故选：B 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数，再根据导函数小于0得出函数的减区间即可. 【详解】，则， 由，得，所以单调递减区间是.     故选:D． 3. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，根据导数的正负得函数单调性即可求最大值. 【详解】由题， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以. 故选：B. 4. 某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（ ） A. 120种 B. 84种 C. 52种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法，先求出8人中任选3人的方案，再求出没有女生的方案，即可求解. 【详解】8人中任选3人的组队方案有种， 没有女生的方案有种， 所以符合要求的组队方案有种. 故选：C. 5. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值. 【详解】由题设，知曲线在点处的切线的斜率为， 由，则， 所以. 故选：A 6. 已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 7. 若的展开式中的系数为30，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项为，结合题意，求得的系数，列出方程，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 则的展开式中为， 可得，解得. 故选：A. 8. 定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，利用导数结合奇偶性判断其单调性，再将合理转化并分类讨论，求解的取值范围即可. 【详解】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，， 则，则函数为偶函数， 由偶函数性质可得函数在上单调递增，又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为，故D正确. 故选：D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递减 D. 在处取得最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】由导函数图象得到的取值（正负）情况，从而得到的单调性与极值点. 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值. 故正确的有BC. 故选：BC 10. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用捆绑法求A与B相邻的排法数，判断选项A；利用插空法求C与D不相邻的排法数，判断选项B；根据倍缩法求B在E的左边的排法数，判断选项C；优先考虑的位置，结合排列知识和两大计数原理求A不在最左边，D不在最中间的排法，判断选项D. 【详解】若A与B相邻，则有种不同站法，A正确； 若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误； 若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确； 若A不在最左边，D不在最中间， 当A排在最中间时，满足条件的排法有种， 当A不排在最中间时，满足条件的排法有种， 故共有种不同排法，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为2 B. 有两个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】，， 令，解得：或， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增； 的极小值为：， 的极大值为：， 有两个零点，的极小值为4，故A错误、B正确； 对C，若点是曲线的对称中心，则有， 将函数代入上式验证得： ，故C正确； 对于D，，解得：， 当时，， 切线方程为：，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设条件解得，再利用展开式的通项公式即可求解 【详解】因为的展开式中，所有二项式系数的和是16，所以，解得. 又的展开式的通项公式， 令，得，所以展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 若函数在处取得极小值，则______；函数的极大值为_____________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】通过对函数求导，根据函数在处有极值，可知，解得的值，再验证可得结论． 【详解】解：因为，所以， 所以，解得，或， 当时，，所以，当或时，时，即函数在和上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值，符合题意，函数在处取得极大值，且； 当时，，所以，当或时，时，即函数在和上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，不符合题意， ． 故答案为：2；； 14. 若函数在上单调递增，则实数的最大值为___________________． 【答案】2 【解析】 【分析】先对原函数求导，再把原函数单调的问题转化为导函数的恒成立问题，结合分离参数法得到，最后得到参数取值范围，进而求出最值即可. 【详解】因为，所以， 由在上单调递增，得到，即， 又当，令，由二次函数性质得在上单调递增， 则，故，则实数的最大值为2． 故答案为：2． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极小值5. （1）求实数a，b的值； （2）当时，求函数的最大值. 【答案】（1），. （2）10 【解析】 【分析】（1）直接求导得，解出值，验证即可； （2）由（1）知，求导再列表即可得到其最大值. 【小问1详解】 ， 因为在处取极小值5，所以，得， 此时， 令，解得；令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取极小值，符合题意. 所以，. 又，所以. 综上，，. 【小问2详解】 由（1）知，， 列表如下： 0 （0,1） 1 2 （2,3） 3 0 0 1 极大值6 极小值5 10 由于，故时，. 16. 若，求： （1）求的值； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式可求的值； （2）利用赋值法可求系数和； （3）同（2）利用赋值法可求系数和. 【小问1详解】 二项式展开式的通项为， 其中． 因为，所以． 【小问2详解】 ， 令，解得； 令，整理得， 故． 【小问3详解】 的展开式通项为，则， 其中且，当为偶数时，；当为奇数时，． 所以 令可得， 所以． 17. 工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 ； 【小问2详解】 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为： . 18. 设函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间与极值； （3）求出方程的解的个数. 【答案】（1） （2）单调递增区间为；单调递减区间为. 极大值为；极小值为； （3）当或时，方程的解为1个； 当或时，方程的解为2个； 当时，方程的解为3个. 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义先求切线斜率，然后求出切线方程即可； （2）利用导数求的单调区间与极值； （3）画出和得图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 由， 所以，且， 所以曲线在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 因为， 令，得或， 所以当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以的单调递增区间为；的单调递减区间为. 的极大值为；的极小值为； 【小问3详解】 由（2）可知函数的单调性和极值， 画出和得图象， 可得当或时，方程的解为1个； 当或时，方程的解为2个； 当时，方程的解为3个. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； （2） 当时，，定义域为， 设， 则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，所以， 所以，即得证． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）设，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 则， ①当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ②当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， ③当时，恒成立， 在上单调递增， ④当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二下学期期中数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3. 函数在上的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 4. 某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为（ ） A. 120种 B. 84种 C. 52种 D. 48种 5. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若的展开式中的系数为30，则 （ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在上单调递减 D. 在处取得最小值 10. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 11. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为2 B. 有两个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 在的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为__________. 13. 若函数在处取得极小值，则______；函数的极大值为_____________． 14. 若函数在上单调递增，则实数的最大值为___________________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在处取得极小值5. （1）求实数a，b的值； （2）当时，求函数的最大值. 16. 若，求： （1）求的值； （2）； （3）． 17. 工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件. （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少? 18. 设函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间与极值； （3）求出方程的解的个数. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $