精品解析：上海市顾村中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

上海市顾村中学2024学年第二学期期中考试 高一年级数学学科 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 若角的终边在直线上，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】在直线方程任取一点，利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边在直线上，取直线上任一点， 当时，，则； 当时，，则； 综上，的值为. 故答案为：. 2. 扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积与半径及圆心角的大小关系列方程求解即可. 【详解】扇形的半径，它的圆心角为， 所以扇形面积，所以 故它的圆心角等弧度， 故答案为： 3. 且角与终边相同，则角α等于 _______度. 【答案】 【解析】 【分析】任意角表示出，结合其所在的范围确定其大小即可. 【详解】由题设且，又， 所以时，. 故答案为： 4. 已知，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角诱导公式，得到，再由，即可得到答案. 【详解】由，又由. 故答案为：. 5. 已知，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：. 6. 已知，，则_______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，结合特殊角的三角函数值求出角. 【详解】由，，所以或. 故答案为：或 7. 在中，，则的形状是_____． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】由诱导公式及正弦定理化简后，由正弦函数的性质可得解. 【详解】由诱导公式可得，由正弦定理可得， 所以， 由，可得，即， 因为, 所以或（舍去）， 故三角形为等腰三角形. 故答案为：等腰三角形 8. 已知函数为偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为函数为偶函数，可得， 即，解得 故答案为：. 9. 已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得. 【详解】令，则， 当时，， 由题意可得， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 10. 已知函数在上的最大值为2，则实数a 的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先排除的情况，再考虑端点处函数值，最后利用辅助角公式得，根据最大值求得，再验证是否满足题设，即可得结果. 【详解】由，显然时最大值不为2， 当时,;当时, 当时,此时最大值为，舍去；所以函数最大值不可能在端点处取得； 当，由且，，此时， 此时，要使函数最大值为2，则，故， 当时，，，此时有最大值2； 当时，，，此时最大值不为2； 综上，. 故答案为： 二、选择题（每题4分，共16分） 11. “”是“”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 12. 若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知结合诱导公式可得出关于的等式，即可得出结果. 【详解】函数的图象向右平移个单位后得到， 所以， ，解得， 又，令，得， 所以的最小值为. 故选：B. 13. ，是一元二次方程两根，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由,是方程的两个根，利用根与系数的关系分别求出及的值，然后将利用两角和与差的正切函数公式化简后，将及的值代入即可求出值,进而求得的值． 【详解】∵,是方程的两个根， ∴，, 则， 又∵，∴，∴， ， 故选：C. 【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，考查了特殊角的三角函数和整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键． 14. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可以得到然后分与两种情况，若可直接判断，若，则得到，结合正弦定理边化角即可判断. 【详解】由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 三、解答题（共54分） 15. 已知角的终边经过点，且. （1）求值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用三角函数的定义直接求解即可； （2）结合诱导公式以及弦化切的方法即可直接求解. 【小问1详解】 角的终边经过点，且， ，解得， . 小问2详解】 由（1）知，， 则. 16. 在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理，得到，即可求解； （2）由（1）知，得到，求得，利用三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：在中，因为，且， 由正弦定理得，所以. 【小问2详解】 解：由，可得，所以，且， 又由（1）知，所以， 因为，则， 所以的面积为. 17. 若图象最高点都在直线上. （1）求的值； （2）在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数，求得，即可得到的值. （2）由点是图像的一个对称中心，得到，求得，利用正弦定理，求得的外接圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 当时，可得， 因为图象最高点都在直线，所以. 【小问2详解】 解：因为点是函数图像的一个对称中心，可得， 因为为三角形的内角，所以，可得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以外接圆的面积为. 18. 记，其中实常数． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值，并求取得最大值时的值． 【答案】（1） （2）当时，． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案； （2）求出，再整体换元，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 小问1详解】 ． ∴函数的最小正周期为． 【小问2详解】 ， ，则． 令，因为，则． 所以当，即时，． 19. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． （1）求扇形空地AOB的周长和面积； （2）当米时，求PQ的长； （3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 【答案】（1）周长为米，面积为平方米 （2）米 （3）平方米 【解析】 【分析】（1）借助面积公式与周长公式计算即可得； （2）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （3）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【小问1详解】 ，则扇形空地AOB的周长为， 面积； 【小问2详解】 由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（负值舍去）或， 即； 【小问3详解】 由，故，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令， 则 ， 有最大值，此时，即，可取， 此时平方米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市顾村中学2024学年第二学期期中考试 高一年级数学学科 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 若角的终边在直线上，则的值为______. 2. 扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于________. 3. 且角与终边相同，则角α等于 _______度. 4 已知，则________. 5 已知，则________. 6. 已知，，则_______. 7. 在中，，则的形状是_____． 8. 已知函数为偶函数，则________. 9. 已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为__________. 10. 已知函数在上的最大值为2，则实数a 的值为________. 二、选择题（每题4分，共16分） 11. “”是“”的（ ）条件 A 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 12. 若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 13. ，是一元二次方程两根，，那么等于（ ） A. B. C. D. 14. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 三、解答题（共54分） 15. 已知角的终边经过点，且. （1）求的值； （2）求的值. 16. 在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求的值； （2）求的面积. 17. 若图象最高点都直线上. （1）求的值； （2）在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 18. 记，其中为实常数． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值，并求取得最大值时的值． 19. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． （1）求扇形空地AOB的周长和面积； （2）当米时，求PQ的长； （3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$