2.2.3直线的一般式方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2直线的方程 第3课时 直线的一般式方程 教学内容 直线的一般式方程；几种特殊方程与一般式方程的互化. 教学目标 （1）了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关 系； （2）理解并掌握直线的一般式方程的形式特征以及各种形式之间的互相转化； （3）能运用直线的一般式方程解决有关问题. 教学重点与难点 (1)教学重点：掌直线的一般式方程与其他几种特殊形式的互化 (2)教学难点：直线的一般式方程的应用. 教学过程 (一) 情景引入 激发兴趣 问题1：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形： (1)斜率是2，经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是-7，7； (3)经过两点； (4)在轴上的截距是7，倾斜角是60°. 同学们，根据前面我们学习的直线方程形式，分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式，可得到四种情况下的直线方程分别为 . 师生活动：学生在草稿纸上尝试完成，提问一个学生，教师在黑板板书。 设计意图：复习前面所学内容，梳理四种方程之间的关系，明确直线的点斜式方程是其他方程的基础，利用具体实例创设情景，为学习直线一般式方程做铺垫. (二) 问题探究 构建新知 探究一：直线的一般式方程 引导语：观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关的二元一次方程．直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题． 问题2：(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？ (2)任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？ 设计意图：使学生理解直接和二元一次方程的关系，明确直线的一般方程的概念。 师生活动：先看（1），任意一条直线，在其上任取一点，当直线的斜率为时(此时直线的倾斜角)，其方程为，这是关于，的二元一次方程．当直线的斜率不存在，即直线的倾斜角时，直线的方程为， 该方程可以认为是的系数为0的关于，的二元一次方程．方程和都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示． 再看（2）反之，对于任意一个二元一次方程（，不同时为0），如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当时，，方程可变形为，它表示过点且垂直于轴的直线．由上可知，关于，的二元一次方程都表示一条直线． 设计意图：通过两个探究，我们知道平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于 x，y 的二元一次方程表示，同时任意一个二元一次方程都表示直线，建立直线与二元一次方程的对应关系，明确直线的一般式方程. 直线的一般式方程：把关于，的二元一次方程(其中不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 二元一次方程可以表示平面直角坐标系中所有的直线，那一些特殊的直线，比如平行于坐标轴，经过原点，如何用二元一次方程表示呢？ 问题3：在方程 中，为何值时，方程表示的直线： (1)平行于轴，(2)与轴重合；(3)平行于轴；(4)与轴重合；(5)过原点. 师生活动：给学生思考谈论的时间，让学生说说自己的思路 方式 1：通过前面的学习，我们知道这样的直线有什么特征？（1）每一个点的纵坐标是非零的常数，横坐标可以取任意实数；（2）每一个点的纵坐标是零，横坐标可以取任意实数；（3）每一个点的横坐标是非零常数，是任意实数；（4）每一个点的横坐标是零，是任意实数；（5）（0，0）使直线方程成立. 方式 2：方程，当时，方程可变形为.各个问题的解释就是（1）平行于轴就是斜率为 0，在轴上的截距不为0；（2）与轴重合就是斜率为 0，在 轴上的截距为0；（3）平行于轴就是斜率不存在，且不过原点（在轴上截距不为0）；（4）与轴重合就是斜率不存在，且过原点（在轴上截距为0）；（5）（0，0）使直线方程成立（在轴上截距均为0）. 所以（1）（2）（3）（4）（5）不同时为0，. 设计意图：通过这个探究，我们再次体会平面直角坐标系中的直线可以用二元一次方程来表示，二元一次方程表示直线. 例1：已知直线经过点 ， 斜率为 ， 求直线的点斜式和一般式方程. 师生活动：学生思考，分享思路，强调如何转化为一般式方程（一般式方程的特征，等号右侧为 0) 设计意图：因为点斜式方程式是其他三种形式方程的基础，所以我们引导学生体会直线的点斜方程可以转化为一般式方程。 例2：把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴上的截距，并画出图形. 师生活动：让一位学生在黑板上完成变式，规范做图.学生分析自己的解答思路，追问学生如何取点的，教师点评“在直线坐标系中画直线时，我们通常都是找出直线与两条坐标轴的交点，然后连接这两个点，引入截距式方程”. 设计意图：体会直线方程的几种形式是可以互相转化的，转化的方向就是凑成相应的方程形式。 练习.把直线的一般式方程化成截距式，并画出图形. 师生活动：引导学生用二种思路得到截距式方程：（1）从方程出发，抓住截距式方程的特征，适当变形把等式一侧变为1。（2）根据截距的几何意义，方程中令，得；令，得 ，得到截距，写出截距式方程； 设计意图：方式 2 中，强调令，得；令，得 是方程的二组解，在平面直角坐标系中，二元一次方程的每组解对应着一个点，所有解得集合就是点的集合，点的集合形成几何图形直线.从几何角度进一步感受一个二元一次方程表示一条直线，再次强调直线与二元一次方程的对应关系. 小结：直线的一般式方程 说明：直线一般式方程的结构特征： ①方程是关于的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． 探究二：两条直线的位置关系 问题4：已知直线，（），（），当之间具有什么关系时： （1）；（2）相交；（3）重合；（4） 师生活动：将两条直线均化为斜截式方程，则 (1)若，则两条直线的斜率相等且纵截距不等，. 即所以当且时，. 或者写成：. (2)同理可得，若时，相交.或者写成 (3)若整理得时，重合. (4)若即时，. 设计意图：通过将直线的一般式方程化为斜截式方程，判断在一般方程式中两条直线的位置关系，为以后做题提供帮助. 例3：已知直线的方程为，求满足下列条件的直线的方程： (1)过点(－1，3)，且与平行； (2)过点(－1，3)，且与垂直． 师生活动：方法一：的方程可化为，∴的斜率为. (1)∵与平行，∴的斜率为.又过点(－1，3)， ∴由点斜式知其方程为，即. (2)∵与垂直，∴的斜率为，又过点(－1，3)， ∴由点斜式可得方程为，即. 方法二：(1)由与平行，可设的方程为．将点(－1，3)代入上式得. ∴所求直线的方程为. (2)由与垂直，可设的方程为. 将(－1，3)代入上式得. ∴所求直线的方程为. 总结：利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略： (1)已知直线(不同时为0)，(不同时为0)． ① ②. (2)与直线(不同时为0)平行的直线方程可设为()；与直线(不同时为0)垂直的直线方程可设为. 练习3.直线与 (不同时为0)的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 【答案】B 【解析】与不能同时为0， ①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为，故两条直线垂直； ②当与中有一个为零时， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 故两条直线垂直．故选：B 小结2：两条直线位置关系 （三）知识应用 规范解答 例4：设直线的方程为，根据下列条件分别确定的值： (1)直线的斜率为-1； (2)直线在轴、轴上的截距之和等于0. 解：(1)因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为, 由题意得,解得. (2)法一：直线的方程可化为, 由题意得，解得. 法二：令，得，令，得. 由题意得，所以. 例5：已知为直线的方程，求证：不论取何实数，直线必过定点，并求出这个定点的坐标. 解：整理直线的方程得.无论取何值，该式恒成立 所以解得. 所以直线经过定点. 练习5.无论取何实数时，直线恒过定点，则定点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线方程可化为， 解方程组，得， 即定点的坐标为.故选：A. （四）收获感悟、总结提高 （1）本节课我们的探究过程是什么？ （2）直线的一般式方程是什么？如何与其他形式的方程进行转化？ （3）本节课的学习过程体现了哪些数学思想？ 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力. （五）达标检测 巩固认知 1.在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系为（ ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 2.直线与 (不同时为0)的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 3.若点是直线：外一点，则方程 表示（ ） A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线 C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线 4.已知直线：，直线：. （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若，求直线的方程. 5.试证明：不论取什么值，直线必过一定点，并求此定点. 设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养． 检测答案： 1.【答案】C 【分析】一般式下直线平行的条件 【解析】直线，即；直线，即. 由于，所以两直线平行.故选：C 2.【答案】B 【分析】一般式下直线的垂直条件 【解析】由题与不能同时为0， ①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为，故两条直线垂直； ②当与中有一个为零时， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 故两条直线垂直．故选：B 3.【答案】B 【解析】由题意可知点是直线：外一点， 故且为常数， 所以方程中，且为常数， 则直线与平行， 将代入中， 即，即点在该方程表示的直线上， 故方程表示过点且与平行的直线，故选：B 4.【答案】(1)或；（2） 【分析】（1）考虑直线过原点和不过原点两种情况；（2）两直线平行，则斜率相等截距不相等. 【解析】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意， 此时则，解得，直线方程为； ②若直线不过原点，则斜率为，解得.，直线方程为. 因此所求直线的方程为或. （2）①若，则解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 当时，直线：，直线：，满足题意； 因此所求直线： 5.【答案】证明见解析， 【分析】考察过定点的直线系方程 【解析】由题意，可化为， 则直线恒过直线与的交点.由解得， 将带入得恒成立， ∴不论取什么值，直线必过一定点. （六）布置作业 自我提升 基础巩固：教材 66页练习 2，教材 67 页习题 2.2 第 8 题. 素养提升： 教材 67页习题 2.2第 10 题. 拓广探索：教材 68页习题 2.2第 14 题. 设计意图：通过练习巩固本节所学知识，让学生加深对利用两点式和截距式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$