周测培优卷十：平面向量的应用-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

必修第二册·周测培优卷十 测试内容：平面向量的应用 建议用时：60分钟 试卷满分：80分 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（2025福建厦门月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2025云南昆明联考）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025河北沧州月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列选项的三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025江苏无锡月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025吉林长春月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为（    ） A． B． C． D． 6．（2025四川成都月考）点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7．（2025广东广州月考）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025河南质检）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（   ） A．若，则为等腰三角形 B．已知，则 C．已知，，，则最小内角的度数为 D．若，，，则满足条件的三角形有两个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9．（2025重庆南坪中学月考）如图为南岸区黄桷垭文峰塔，建于清朝道光年间，距今已有160多年历史，为七级楼阁式塔，某同学为测量文峰塔的高度，在文峰塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和文峰塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则文峰塔的高度为 .    10．（2025江苏南京阶段测试）在中，角､､所对的边分别为 ､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为 . 四、解答题：本题共2小题，共28分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 11．（13分）（2025天津宝坻月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角A； (2)若，，求边c及的面积； 12．（15分）已知在中，，其中内角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的最大值． 【附加题】 13．（2025河南质检）在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. (1)求角的大小； (2)若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 解题笔记 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册·周测培优卷十 测试内容：平面向量的应用 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A B D ABD BC 1．A 【详解】在中，，，，由正弦定理得，而，则，所以.故选：A 2．B 【详解】在中，； 由余弦定理，解得. 再根据余弦定理，解得.故选：. 3．C 【详解】对A：根据三角形全等的判定方法，满足条件的三角形只有一解，故A不符合题意； 对B：因为，所以，又为钝角，所以C不存在，所以满足条件的三角形不存在，故B不符合题意； 对C：因为，即.所以满足条件的三角形有2解，故C满足题意； 对D：，所以，所以满足条件的三角形只有1解，故D不符合题意. 故选：C 4．A 【详解】因，则，若为钝角三角形， 则，得， 又因，则，得，故 故选：A 5．B 【详解】因为，所以， 即， 由余弦定理，得，，， 在三角形中，则或(舍)，故， 由余弦定理，，所以， 由正弦定理，，则， 因为， 所以，所以.故选:B 6．D 【详解】    由可得，即， 设，因为三点共线，则存在实数，使得， 将代入可得 ，即， 由于不共线，则，解得， 即，， 同理，设，则， 因为三点共线，所以，即， 又由三角函数的诱导公式可得， 所以 故选：D. 7．ABD 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或，所以整数构成的可以为1，2，4.故选：ABD. 8．BC 【详解】对于A，因为，所以， 又因为， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，由， 得，所以， 则，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以角为最小角， 则， 又，所以，即最小内角的度数为，故C正确； 对于D，因为， 满足条件的三角形不存在，故D错误. 故选：BC. 9． 【详解】在中，，由题意可得， 由图知，， 所以， 在中，由正弦定理可得：即， 解得， 在中，如图可得， 所以文峰塔的高度为.故答案为：. 10．18 【详解】在中，由的平分线交于点，得， 而且，则， 化简得，即，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为18.故答案为：18 11．【详解】（1）因为，由正弦定理得， 且，则， 可得，则， 又因为，所以． （2）由余弦定理得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积． 12．【详解】（1）由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 可得， 化简后得到，即． 根据余弦定理，把代入可得． 因为，所以； （2）在中，根据余弦定理． 因为为中点，设，已知， 则，即． 根据基本不等式（当且仅当时取等号）． 所以，即，当且仅当时取等号． 将代入，可得， 解得，，满足条件，所以的最大值为18． 13．【详解】（1）因为， 所以，所以， 又因为，所以； （2）（i）由，得， 由余弦定理得， 所以， 因为为的中线， 所以， 则， 所以； （ii）由余弦定理得， 所以， 因为为的角平分线，所以， 由，得， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，取得最大值， 即长的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$