精品解析：辽宁省沈阳市二十中学2024-2025学年高二下学期4月阶段测试数学试卷

2024—2025学年度（下）沈阳市第二十中学阶段测试 高二年级数学试卷 命题人：刘华颢 校对人：张爽 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率计算公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从超几何分布， 所以. 故选：A 2. 已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论． 【详解】设等差数列公差为，由， 则，， ∴， 解得，． ∴， ∴当时，取得最大值． 故选：B． 3. 已知数列中，且对于大于2的正整数，总有，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递推出数列是以6为周期的周期数列求解. 【详解】因为且对于大于2的正整数，总有， 所以，，， ，，， 所以数列是以6为周期的周期数列， 所以. 故选：D 4. 若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ） A. 0.02 B. 0.98 C. 0.049 D. 0.05 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率以及对立事件的概率，结合题意写出对应概率，利用全概率公式，可得答案. 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则 故所求概率，解得. 故选：A. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列和的性质求解 【详解】等差数列的前项和为，则也是等差数列， 即成等差数列，即. 解得 故选：C. 6. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年的预测值，代入即可得解. 【详解】因为， 所以， 即经验回归方程， 当时，， 所以， 即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为， 故选：B 7. 已知数列是正项数列，且，则（ ） A. 216 B. 260 C. 290 D. 316 【答案】A 【解析】 【分析】当时，，与已知式相减，得，检验首项即可得到数列通项公式，根据通项求和. 【详解】令，得，∴． 当时，． 与已知式相减，得． ∴，又时，满足上式， ∴． ∴，∴． 故选：A 8. 已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数列的递推关系构造出常数列，再求通项，然后分离参变量，再利用数列的单调性思想，研究不等式成立的条件. 【详解】因为， 所以，所以， 即， 所以数列常数列，当时，， 所以，即， 因为，所以， 令， 所以 ， 当时，，即， ，，，，， 为了满足不等式有且仅有4个解，则， 此时有，，，. 故选：. 【点睛】方法点睛：通过数列递推关系构造出常数列，不等式恒成立或有解问题要用分离参变量方法，数列的单调性用作差或作商法来研究. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中，错误的是（ ） A. 口袋中有大小形状相同的4个红球，6个白球，从中任取3个球，红球个数为随机变量，则 B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近于1 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在10次射击中，击中目标次数为，则当时概率最大 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，求出随机变量的分布列，再根据期望公式求得，再结合期望的性质求解判断即可；对于B，根据相关系数的定义即可判断；对于C，根据正态分布的性质可判断；对于D，利用二项分布可得，再列出不等式即可求解. 【详解】对于A，随机变量的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 则， 所以，故A错误； 对于B，两个变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故B错误； 对于C，随机变量服从正态分布，则， 若，则，故C正确； 对于D，因为在10次射击中，击中目标的次数为，， 则， 由，解得， 因为，所以，则当时概率最大，故D正确． 故选：AB. 10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 1225既是三角形数，又是正方形数 C. D. ，总存在，使得成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用累加法，分别求出，利用通项公式法、裂项求和法，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】依题意，数列中，，，， 于是得， 满足上式， 数列中，，，， 于是得， 满足上式， 因此， 对于A，，则，A不正确； 对于B，∵，则，又，则，B正确； 对于C，， 当n为偶数时： 设，则 ， 当n为奇数时： 设，则 ， 综上，，C正确； 对于D，，，取， 则， ∴，，总存在，，使得成立，D正确， 故选：BCD. 11. 4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量为空盒的个数，下列说法正确的是（ ） A. 随机变量的取值为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求出期望，即可得出答案. 【详解】4个不同的小球随机投入4个不同的盒子， 则随机变量可取，故A错误； 则，， ，， 故B正确，C错误； ，故D正确. 故选：BD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 13. 离散型随机变量的分布列为为常数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合裂项相消求和法，根据离散型随机变量的概率之和为1列方程求解即可. 【详解】， 因， 所以，解得. 故答案为： 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，使得需要_____步雹程；若，则所有可能的取值集合______. 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】根据题中条件，由，根据数列的递推公式，逐步计算，即可得出结果；由，根据递推公式，逐步计算，即可得出集合M. 详解】当时，则按运算法则得到：，使得需要7步雹程； 依题意，为正整数， 若，由，解得； 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得或， 所以则m所有可能的取值集合M为 故答案为：7；. 【点睛】思路点睛：由数列递推公式求数列中的项时，一般根据题中条件，由某一项的值，结合递推公式，逐步计算，即可得出结果. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 2024年9月16日，沈阳市举行马拉松比赛，全球马拉松爱好者积极参与本场比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 （1）求的值； （2）能否有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ （3）用频率估计概率，现随机采访本场比赛的1名女性参赛人员与2名男性参赛人员，已知3人中恰有一人对该部门服务非常满意，求该人为女性的概率． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据列联表即可求解，，，得解； （2）计算卡方，即可与临界值比较作答； （3）根据相互独立乘法事件的概率公式及条件概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：完善列联表为： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 30 20 50 非常满意 30 40 70 合计 60 60 120 故，，，，故； 【小问2详解】 假设：依据小概率值的独立性检验，认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，根据题目所给公式：． ， 故依据小概率值的独立性检验，有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异． 【小问3详解】 女性对服务满意的概率为，女性对服务不满意的概率为，男性对服务满意的概率为，男性对服务不满意的概率为； 设事件为“采访1名女性参赛人员与2名男性参赛人员中，3人中恰有一人对该部门服务非常满意”，事件为“该人为女性”； ； ， 由条件概率． 16. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，记数列的前项和，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式变形，结合等差数列定义判断得证. （2）利用（1）的结论，利用等差数列定义求出通项公式. （3）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求解即得. 【小问1详解】 在数列中，由，得， 则，而，即， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得，则，即， 所以的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）得， 则 ， 所以. 17. 甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. （1）已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求和； （2）如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 【答案】（1） ①②, （2）概率相同，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①甲每关不成功概率是，乙每关不成功概率是，再结合独立事件乘法公式计算即可； ②取值有，求出对应概率，再按期望和方差公式算出期望； （2）设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为，再展开成式子，比较大小即可得到其是否相同. 【小问1详解】 ①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为， 则； ②依题可知，的可能取值为， 则， ， ， 所以， ； 【小问2详解】 设甲先出场比赛挑战成功的概率为，乙先出场比赛挑战成功的概率为， 比较可知， 所以甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同. 18. 已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）对任意的正整数，从以下三个条件中任选一个作答， ①；②；③；已知______，求； （3）若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】（1）数列和的通项公式分别为， （2）选①，；选②，；选③ （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式. （2）选①利用错位相减法可求；选②，利用裂项相消法可求；选③，利用分组求和法可求； （3）根据给定条件，求出数列前2025项中数列的项及1的个数，再分组求和即可. 【小问1详解】 在等差数列中，，又，解得， 公差，则； 设等比数列的公比为，，由，得， 即，解得，所以， 所以数列和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 选①，由（1）可得， 所以， 所以 所以， 两式相减得 所以； 选②， 则， 所以 所以； 选③， 则， . 【小问3详解】 依题意，数列：， 项为前的总项数为， 数列是递增的，当时，， 当时，， 因此数列的前项中，有数列的前项，有个， 所以. 19. 北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. （1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； （2）若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【小问1详解】 记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． 【小问2详解】 （i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，，而， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（下）沈阳市第二十中学阶段测试 高二年级数学试卷 命题人：刘华颢 校对人：张爽 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知数列中，且对于大于2的正整数，总有，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ） A. 0.02 B. 0.98 C. 0.049 D. 0.05 5. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是正项数列，且，则（ ） A. 216 B. 260 C. 290 D. 316 8. 已知数列的前项和为，，，且关于的不等式有且仅有4个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中，错误的是（ ） A. 口袋中有大小形状相同的4个红球，6个白球，从中任取3个球，红球个数为随机变量，则 B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数就越接近于1 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在10次射击中，击中目标次数为，则当时概率最大 10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 1225既是三角形数，又是正方形数 C. D. ，总存在，使得成立 11. 4个不同小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量为空盒的个数，下列说法正确的是（ ） A. 随机变量的取值为 B. C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则__________. 13. 离散型随机变量分布列为为常数，则______. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，使得需要_____步雹程；若，则所有可能的取值集合______. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 2024年9月16日，沈阳市举行马拉松比赛，全球马拉松爱好者积极参与本场比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 （1）求的值； （2）能否有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ （3）用频率估计概率，现随机采访本场比赛的1名女性参赛人员与2名男性参赛人员，已知3人中恰有一人对该部门服务非常满意，求该人为女性的概率． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10828 16. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，记数列的前项和，求. 17. 甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. （1）已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求和； （2）如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 18. 已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）对任意的正整数，从以下三个条件中任选一个作答， ①；②；③；已知______，求； （3）若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 19. 北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. （1）若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步人数为，求的分布列及期望； （2）若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $