精品解析：2025年辽宁省大连市高新技术产业园区中考一模数学试题

2025年初中学业水平检测 数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是用6个大小相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 根据从左面看得到的图形是左视图即可得到答案． 【详解】解：从左面看，可以看到图形分为上下两层，下面一层有两个小正方形，上面一层左边有一个小正方形， 故选：A． 2. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：3370万． 故选：． 3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念，熟知如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； B、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 4. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平行线的性质求三角形中角的度数，利用平行线的性质及三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握计算公式和运算法则是解题的关键． 分别由同底数幂的乘法、幂的乘方计算公式和合并同类项，单项式乘以多项式计算法则判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，故不符合题意； B、与不能合并，原运算错误，故不符合题意； C、，原运算错误，故不符合题意； D、，原运算正确，故符合题意； 故选：D． 6. 在一个不透明的口袋里装有4个小球，每个小球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，这些小球除数字不同外其它均相同，从中随机摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过列举的方法将所有可能的情况一一列举，进而找出小球上的数字都是奇数的情况即可求出对应概率． 【详解】所有可能出现的情况列举如下： (1,2)；(1,3)；(1,4)； (2,3)；(2,4)； (3,4)； 共6种情况， 符合条件的情况有：(1,3)；共1种情况； 小球上的数字都是奇数的概率为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了简单概率的求解方法，通过列举法列举出等可能的情况是解决本题的关键． 7. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. y随x的增大而增大 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．反比例函数，，图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而求解即可． 【详解】解：反比例函数，， A、当时，，图象必经过点，故此选项不符合题意； B、图象位于第二、四象限，故此选项不合题意； C、在每个象限内，随的增大而增大，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项符合题意．   故选：D ． 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】竿长x尺，绳索长y尺，根据“绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．”列出方程组，即可求解． 【详解】解：竿长x尺，绳索长y尺，根据题意得： ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 9. 如图，在中，于点E，于点F，若，，且的周长为30，则的面积为（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的周长得到，联立方程组，解得，，代入即可解答． 本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的周长和面积． 【详解】解：∵的周长为30， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ①×2得：③， ③－②， ， ， 代入①，， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在直线上，点C的横坐标是2，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交轴于点，过点作轴于点G，则，由一次函数得，，由勾股定理得：，则，由旋转得，，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点G，则 ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴， ∵顶点C在直线上，点C的横坐标是2， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，构造全等三角形是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为2，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解题步骤是解题的关键． 先去分母，化为一元整式方程，再检验即可． 详解】解：由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为：5． 12. 在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据点A及点的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． 【详解】 解：∵，且平移后点A的对应点的坐标为， ∴线段向右平移了2个单位，向下平移了一个单位， ∴的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 13. 如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 利用已知得出，再由相似比等于对应高之比即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为点，交于点， 由题意可得： ∴，， ∵ ∴， ∵，小孔O到，的距离分别为， ∴， 解得： 故答案为：． 14. 如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．先由题意得出抛物线的解析式为，然后将点A的纵坐标代入解析式得到两点的坐标，进而即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过坐标原点O， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点A的纵坐标是， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴矩形的周长， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，过点D作交于点H．若，则______（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由作法得平分，证明，，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由作法得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，涉及二次根式的乘法和加减法等知识点，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． （1）先计算平方，除法，化简二次根式和二次根式的平方运算，再进行加减计算即可； （2）先计算括号内分式加法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. 班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的1.5倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需120元． （1）求甲，乙两种笔记本的销售单价各是多少元； （2）该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过340元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【答案】（1）甲种笔记本的单价为15元，乙种笔记本的单价为10元 （2）该班级最多可以购买甲种笔记本8本 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设乙笔记本销售单价为元，则甲笔记本的单价为元，利用总价＝单价×数量，结合“甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需元”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设可以购买甲笔记本本，则购买乙笔记本本，利用总价＝单价×数量，结合总费用不超过340元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设乙笔记本销售单价为元，则甲笔记本的单价为元， 依题意得：， 解得：， ， 答：甲种笔记本的单价为15元，乙种笔记本的单价为10元． 【小问2详解】 解：设可以购买甲笔记本本，则购买乙笔记本本， 依题意得：， 解得：． 答：该班级最多可以购买甲种笔记本8本． 18. 某校组织七年级学生参加“智慧校园·AI赋能”信息技术知识竞赛，为了了解竞赛成绩，随机抽取了部分七年级学生的竞赛成绩进行分析，整理（竞赛成绩满分为100分，不低于90分的为优秀，竞赛成绩x分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：七年级学生竞赛成绩在B，C等级的数据（单位：分）如下： 94，93，93，93，92，92，92，92，91，91，90，89，88，86，85． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的学生竞赛成绩为A等级的人数； （2）求所抽取的学生竞赛成绩的众数和中位数； （3）若该校七年级共有230名同学参加本次竞赛，请估计竞赛成绩优秀的人数． 【答案】（1）A等级的人数为人 （2）众数为92，中位数为92 （3）竞赛成绩优秀的人数为人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，众数，中位数等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的信息关联是解决此题的关键． （1）根据C等级所占的百分比为，人数为4人算出总人数，再结合条形图即可得解； （2）由中位数、众数的意义求解即可； （3）用样本估算总体即可． 【小问1详解】 解：∵C等级所占的百分比为，人数为4人， ∴所抽取的学生竞赛总人数为（人）， ∴A等级的人数为（人） 【小问2详解】 解：∵的出现了4次，其它分数最多的是3次， ∴众数为92， ∵所抽取的学生竞赛总人数为人， ∴中位数为第10，11的平均值； 【小问3详解】 解：∵不低于90分的为优秀， ∴竞赛成绩优秀的人数为（人）， 答：竞赛成绩优秀的人数为人． 19. 长山群岛是黄海最大岛群，位于辽东半岛东侧的黄海北部海域，共由200多个海岛组成，所产海带销往全国各地．某超市以20元/袋的价格购进一批海带，经市场调查发现，这种海带的日销售量y（袋）与每袋售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该超市销售这种海带每日的利润能否达到480元？如果能，求出每袋售价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元二次方程的实际应用，读懂题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意建立一元二次方程，根据根的判别式判断方程的根的情况，即可判断每日的利润能否达到480元． 小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 假如当每日利润为480元时，由题意得， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴超市销售这种海带每日的利润不能达到480元． 20. 图1是商场的自动扶梯，图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了2m到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯与地面的夹角，的长度为10m． （1）求点B到一楼地面的距离； （2）求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于点，根据角直角三角形性质即可求解； （2）连接并延长交于点，过点D作于点U，交于点，先解中，求出，则，再解在中，由求得，最后由即可求解． 【小问1详解】 解：过点B作于点， ∵， ∴在中，， 答：点B到一楼地面的距离为； 【小问2详解】 解：连接并延长交于点，过点D作于点U，交于点， 由题意得，， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴； 答：照明灯C到一楼地面的距离为． 21. 如图，在中，，以为直径作交于点D，过圆心O作交于点E，连接． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）如图，连接，，根据圆周角定理得到，证出四边形为正方形，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 是的半径， 与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ，， ，， 四边形为正方形， ， ∴， ， ， ， 图中阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，圆周角定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 22. 如图，在中，，点D在直线上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． 【问题初探】 （1）如图1，点D在线段上，延长至点F，使得，连接． 求证：． 【类比分析】 （2）如图2，若，点D在的延长线上，延长至点F，使得，连接．求证：． 【拓展延伸】 （3）若，． ①如图3，点D在的延长线上，连接，延长交于点G，猜想与的数量关系，并加以证明； ②如图4，点D在的延长线上，连接，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于构造全等三角形． （1）由旋转的性质，结合即可证明； （2），同理可证明，则，故，即可证明平行； （3）①延长至点，使得，可得为等边三角形，证明，则，，即可得到，那么，则，故，即可证明； ②延长至点，使得，连接过点作于点N，则，过点B作于点K，同理，则，，设，则，，易证四边形为矩形，则，那么，由勾股定理得，解三角形得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①，理由如下： 延长至点，使得， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长至点，使得，连接过点作于点N，则，过点B作于点K， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，点，点都在同一函数图象上，且，点Q为坐标平面内的点，若是以为腰的等腰三角形，则称等腰为线段的“友好三角形”． （1）如图1，点A，B在函数的图象上，点A的横坐标为4，线段的“友好三角形”为，且，，轴，求点B的坐标； （2）如图2，点A，B在函数的图象上，点A，B的纵坐标分别为3，1，线段的“友好三角形”为，且的底边平行于x轴，求点Q的坐标； （3）如图3，二次函数的图象与y轴交于点，且过点，点，点在这个二次函数的图象上． ①求二次函数的解析式； ②若，，该二次函数图象在点A，点B之间的部分（包括点A，B）的最高点的纵坐标为d，直接写出d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③若，线段的“友好三角形”为，且，与关于直线对称，设与这个二次函数图象的另一个交点为D，求点D坐标． 【答案】（1）B的坐标为 （2）点Q的坐标为或 （3）①二次函数的解析式为②③点D坐标为 【解析】 【分析】（1）如图，过点A作交于点，轴于点，设B的横坐标为，用表示出点的坐标，然后代入函数解析式即可得解； （2）由线段的“友好三角形”为，且的底边平行于x轴，画出图形，根据等腰三角形的性质，结合点的坐标即可得解； （3）①利用待定系数法求解即可；②分在对称轴左侧，右侧，之间讨论即可得解；③画出符合要求的图象如图所示，连，作交轴于点，先求出点Q的坐标，再求得直线的解析式，与二次函数解析式组成方程组，求解即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，过点A作交于点，轴于点，设B的横坐标为， ∵点A，B在函数图象上，点A的横坐标为4， ∴， ∴A的坐标为， ∵，，轴， ∴，三点共线， ∴， ∴B的坐标为即， ∴， ∴（舍去）， ∴B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点A，B在函数的图象上，点A，B的纵坐标分别为3，1， ∴和， ∴和， ∴A，B的坐标分别为， ∵线段的“友好三角形”为，且的底边平行于x轴， ∴如图所示三角形即可为所求，过点A作交于点， ∵， ∴， ∴的横坐标， ∴， 同理可证，， ∴点Q的坐标为或； 【小问3详解】 解：①∵二次函数的图象与y轴交于点，且过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； ②∵， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，点A是最高点，， 当即时，点是B最高点，， 当即时，顶点是最高点，， ∴； ③∵，点，点都在同一函数图象上，且， ∴点，点是二次函数的图象与x轴的交点坐标， ∴，解得，， ∴，， ∵线段的“友好三角形”为，且，与关于直线对称， ∴符合要求的图象如图所示，连，作交轴于点， ∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴点D坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，反比例函数图象等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平检测 数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是用6个大小相同的小立方块搭成的几何体，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的口袋里装有4个小球，每个小球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，这些小球除数字不同外其它均相同，从中随机摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. y随x的增大而增大 D. 若，则 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点E，于点F，若，，且的周长为30，则的面积为（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 18 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在直线上，点C的横坐标是2，将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为2，则______． 12. 在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 13. 如图，燃烧的蜡烛经小孔O在屏幕上成像，设，小孔O到，的距离分别为，则像的长是______． 14. 如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为______． 15. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D，过点D作交于点H．若，则______（用含a的代数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 班级计划购买甲，乙两种笔记本奖励校运动会上表现积极的同学，经了解，甲笔记本销售单价是乙笔记本销售单价的1.5倍，购买4本甲笔记本和6本乙笔记本共需120元． （1）求甲，乙两种笔记本的销售单价各是多少元； （2）该班级需购买甲，乙两种笔记本共30本，且购买金额不超过340元，那么最多可以购买甲种笔记本多少本？ 18. 某校组织七年级学生参加“智慧校园·AI赋能”信息技术知识竞赛，为了了解竞赛成绩，随机抽取了部分七年级学生的竞赛成绩进行分析，整理（竞赛成绩满分为100分，不低于90分的为优秀，竞赛成绩x分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：七年级学生竞赛成绩在B，C等级的数据（单位：分）如下： 94，93，93，93，92，92，92，92，91，91，90，89，88，86，85． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求所抽取的学生竞赛成绩为A等级的人数； （2）求所抽取的学生竞赛成绩的众数和中位数； （3）若该校七年级共有230名同学参加本次竞赛，请估计竞赛成绩优秀的人数． 19. 长山群岛是黄海最大岛群，位于辽东半岛东侧的黄海北部海域，共由200多个海岛组成，所产海带销往全国各地．某超市以20元/袋的价格购进一批海带，经市场调查发现，这种海带的日销售量y（袋）与每袋售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）该超市销售这种海带每日的利润能否达到480元？如果能，求出每袋售价；如果不能，请说明理由． 20. 图1是商场的自动扶梯，图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了2m到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯与地面的夹角，的长度为10m． （1）求点B到一楼地面的距离； （2）求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，） 21. 如图，在中，，以直径作交于点D，过圆心O作交于点E，连接． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，中，，点D在直线上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． 【问题初探】 （1）如图1，点D在线段上，延长至点F，使得，连接． 求证：． 【类比分析】 （2）如图2，若，点D在的延长线上，延长至点F，使得，连接．求证：． 【拓展延伸】 （3）若，． ①如图3，点D在延长线上，连接，延长交于点G，猜想与的数量关系，并加以证明； ②如图4，点D在的延长线上，连接，若，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，点，点都在同一函数图象上，且，点Q为坐标平面内的点，若是以为腰的等腰三角形，则称等腰为线段的“友好三角形”． （1）如图1，点A，B在函数的图象上，点A的横坐标为4，线段的“友好三角形”为，且，，轴，求点B的坐标； （2）如图2，点A，B在函数的图象上，点A，B的纵坐标分别为3，1，线段的“友好三角形”为，且的底边平行于x轴，求点Q的坐标； （3）如图3，二次函数的图象与y轴交于点，且过点，点，点在这个二次函数的图象上． ①求二次函数的解析式； ②若，，该二次函数图象在点A，点B之间的部分（包括点A，B）的最高点的纵坐标为d，直接写出d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③若，线段“友好三角形”为，且，与关于直线对称，设与这个二次函数图象的另一个交点为D，求点D坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $