精品解析： 2025年山东省济宁市任城区一模检测九年级数学试题

2024-2025学年度第二学期一模检测九年级数学试题 本试卷满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在有理数2，，，0中，最小的数是（ ） A. 2 B. C. D. 0 2. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数字用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AB∥CD，MN⊥AC，∠NMB＝118°，则∠DCE等于（ ） A. 22° B. 28° C. 32° D. 38° 6. 若是分式方程的根，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是关于一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 该函数最大值为7 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，对应的函数值 D. 当和时，对应的函数值相等 9. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在6×6的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接，则满足的点P有（　　）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 12. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是_______． 13. 如图，圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积等于________．（结果用含的式子表示） 14. 如图，已知矩形的面积是，它的对角线与反比例函数交于点，且，则______． 15. 如图，抛物线经过点和点．作射线，是线段上的动点，将射线绕点逆时针旋转得射线．若射线与抛物线只有一个公共点，则点的横坐标的取值范围为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）化简： 17. 某商场在世博会上购置甲、乙两种礼盒，其中甲礼盒的单价比乙礼盒的单价贵元，且购置个甲礼盒与个乙礼盒共花费元． （1）求甲、乙两种礼盒的单价； （2）若该商场要求购置甲礼盒的数量是乙礼盒数量的倍，且购置礼盒的总额不高于元，则该商场最多可以购置多少个乙礼盒？ 18. 已知：如图，矩形． （1）若点P为边上一点，且，请在图中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长． 19. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 20. 如图1是常熟市聚沙塔，始建于南宋绍兴年间，塔基是正八边形．塔是聚众人之财，汇众人之力而建成，所以取“聚沙成塔，集腋成裘"意而名．某数学学习活动小组开展了测量“聚沙塔塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计： ①如图2，测量塔基正八边型的边长；②在地面选取测量点和塔基正八边形的顶、，调整的度数，使得测量点、八边形的顶点以及正八边形的中心在同一条直线上（三点在同一条直线上）；③测量之间的距离；④如图3，测量塔的顶点与地面测量点所在直线与地面形成的夹角． 数据收集：通过实地测量，正八边形的边长，地面上两点的距离为，． 问题解决： （1）如图2，要使得三点在同一条直线上，应调整角度，使得的度变为  ； （2）求塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，） 21. 如图，是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为1，求图中弧所围成的阴影部分的面积． 22. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 23. 如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为s（平方单位），点P运动时间为t（秒）． （1）当点M与点B重合时，则t＝_____； （2）求整个运动过程中s的最大值； （3）以线段为边，在右侧作等边，当时，求点E运动路径的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期一模检测九年级数学试题 本试卷满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在有理数2，，，0中，最小的数是（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数比较大小的方法．正数大于零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：， 在有理数2，，，0中，最小的数是． 故选：C． 2. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数字用科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的俯视图，俯视图就是从几何体的上方观察到的平面图形，根据几何体的形状和观察的位置画出观察到的平面图形即可． 【详解】解：几何体是正六棱柱上面放着一个圆柱， 从几何体的上面看是正六边形中有一个圆， D选项符合题意． 故选： D． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用同底数幂相除法则、平方差公式、单项式乘以多项式法则、积的乘方法则逐项判定即可． 【详解】解∶A．，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算正确，符合题意； D．，故原计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，AB∥CD，MN⊥AC，∠NMB＝118°，则∠DCE等于（ ） A. 22° B. 28° C. 32° D. 38° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质，得，再平行线的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵∠NMB＝118°，MN⊥AC ∴ ∵AB∥CD， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、平行线的性质，从而完成求解． 6. 若是分式方程的根，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意，把代入分式方程中，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值即可． 【详解】解：将代入分式方程中， 可得：， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程解的意义． 7. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 8. 如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最大值为7 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时，对应的函数值 D. 当和时，对应的函数值相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案． 【详解】解：由图象可知： A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意； B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意； C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意； D．设时，，则， 解得， ， 当时，； 设时，， 则， 解得， ， 当时，， 当和时，对应的函数值都等于4， 当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是通过函数图象获得有效信息． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 10. 如图，在6×6的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，M、N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连接，则满足的点P有（　　）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰直角三角形的两个锐角等于，构造出一个P点，再画出的外接圆，这个外接圆与网格交点为格点的都符合题意． 【详解】解：如图，在边上取点，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 作的外接圆交网格于， 根据圆周角定理，得， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等，解答时需要一定的空间想象能力，模型意识． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 12. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】解： 表示的方程是 故答案为： 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 13. 如图，圆锥的母线长，底面圆的直径，则该圆锥的侧面积等于________．（结果用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可求出答案． 【详解】解：根据题意， ∵圆锥的母线长，底面圆的直径， ∴圆锥的侧面积为： ； 故答案为：； 【点睛】本题考查了求圆锥的侧面积，解题的关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 14. 如图，已知矩形的面积是，它的对角线与反比例函数交于点，且，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】设点D的坐标为（x，y），根据求出B点坐标，然后再由面积求出xy的值，从而求出k. 【详解】解：设点D的坐标为（x，y）， ∵， ∴点B的坐标为， ∵矩形的面积是， ∴， 则， ∵点D在反比例函数上， ∴k=xy=6， 故答案为：6. 【点睛】本题是对反比例函数的综合考查，熟练掌握反比例函数及矩形的性质是解决本题的关键. 15. 如图，抛物线经过点和点．作射线，是线段上的动点，将射线绕点逆时针旋转得射线．若射线与抛物线只有一个公共点，则点的横坐标的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化一旋转，先求得抛物线的对称轴，观察图象，当点与重合时，射线与抛物线只有一个公共点，此时点的横坐标为，当 点在对称轴上时，则在抛物线上，射线 与抛物线有个公共点，此时点的横坐标为，据此即可得出结论，利用数形结合解答是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点是和， ∴抛物线对称轴为直线，如图， 当点与重合时，射线与抛物线只有一个公共点，此时点的横坐标为， 当点在对称轴上时，则在抛物线上，射线与抛物线有个公共点，此时点的横坐标为， ∴若射线与抛物线只有一个公共点，则点的横坐标的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算及分式的混合运算， （1）先计算负整数指数幂、化简二次根式及特殊角的三角函数，然后计算加减即可； （2）先计算分式的除法，然后计算加减法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某商场在世博会上购置甲、乙两种礼盒，其中甲礼盒的单价比乙礼盒的单价贵元，且购置个甲礼盒与个乙礼盒共花费元． （1）求甲、乙两种礼盒的单价； （2）若该商场要求购置甲礼盒的数量是乙礼盒数量的倍，且购置礼盒的总额不高于元，则该商场最多可以购置多少个乙礼盒？ 【答案】（1）甲礼盒的单价是元，乙礼盒的单价是元； （2）个． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用． 设一个甲礼盒的价格为元，则一个乙礼盒的价格为元，根据且购置个甲礼盒与个乙礼盒共花费元，可列关于的一元一次方程：，解方程即可得到两种礼盒的单价； 设商场购进乙礼盒个，则购进甲礼盒个，根据购置礼盒的总额不高于元，可列关于的一元一次不等式：，解不等式得到解集为：，从而确定最多可以购进乙礼盒的个数． 【小问1详解】 解：设一个甲礼盒的价格为元，则一个乙礼盒的价格为元， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：甲礼盒的单价是元，乙礼盒的单价是元； 【小问2详解】 解：设商场购进乙礼盒个，则购进甲礼盒个， 根据题意可得：， 解得：， 答：该商场最多可以购进个乙礼盒． 18. 已知：如图，矩形． （1）若点P为边上一点，且，请在图中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，矩形的性质，勾股定理，作出图形是解决问题的关键． （1）以点为圆心，长为半径画弧交于点即可； （2）根据矩形的性质可得，由（1）可得，根据勾股定理可得结论． 【小问1详解】 解：如图，点即为求作的点； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形 ，，，， ， 由(1)可知：， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ． 19. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）86.5，87； （2）126； （3），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据样本估计总体的方法求解即可； （3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在的人数判断出，的大小，进而比较即可． 【小问1详解】 ∵一共抽取20名学生 ∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数 ∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87 ∴； 抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多 ∴众数； 【小问2详解】 （人） ∴估计七、八两个年级成绩在人数一共为126人； 【小问3详解】 ∵七年级抽取的20名学生的成绩在的有4人 ∴排名第5的学生的成绩中最高成绩， ∴ ∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人 ∴排名第5的学生的成绩 ∴． 20. 如图1是常熟市聚沙塔，始建于南宋绍兴年间，塔基是正八边形．塔是聚众人之财，汇众人之力而建成，所以取“聚沙成塔，集腋成裘"意而名．某数学学习活动小组开展了测量“聚沙塔塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计： ①如图2，测量塔基正八边型的边长；②在地面选取测量点和塔基正八边形的顶、，调整的度数，使得测量点、八边形的顶点以及正八边形的中心在同一条直线上（三点在同一条直线上）；③测量之间的距离；④如图3，测量塔的顶点与地面测量点所在直线与地面形成的夹角． 数据收集：通过实地测量，正八边形的边长，地面上两点的距离为，． 问题解决： （1）如图2，要使得三点在同一条直线上，应调整的角度，使得的度变为  ； （2）求塔的高度．（结果保留一位小数．参考数据：，） 【答案】（1）； （2）塔高约为． 【解析】 【分析】（）利用等腰三角形的性质和领补角的定义即可求解； （）过点作，求出，再利用三角函数即可求解； 本题考查了解直角三角形，等腰三角形性质和领补角的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵塔基是正八边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图过点作， ∵ ， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米） 如图，在中，， ∴（米）， 答：塔高约为． 21. 如图，是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为1，求图中弧所围成的阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再由与圆相切证明四边形是矩形即可； （2）可根据进行求解． 【小问1详解】 证明：连接， 是⊙的直径， 点O在上，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， 与⊙O相切于点D， ， 四边形是矩形， ， 是⊙O的半径，且， 是⊙O的切线． 【小问2详解】 解：连接，则， ， 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆的切线的判定综合问题和求不规则图形的面积，解题的关键是证明直线与半径垂直，用割补法求不规则图形的面积，利用了平行四边形、矩形以及正方形的判定和性． 22. 在平面直角坐标系中，如果点P横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 【答案】（1）否 （2）①，；② 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，正确理解题意是解题的关键． （1）假设存在和谐点，则可得到，由于方程无解，则假设不成立，即不存在和谐点； （2）①先把代入二次函数解析式推出，再根据只有一个和谐点得到方程只有一个实数根，由此得到，据此求出a的值进而求出c的值即可； ②根据①可得解析式为，则二次函数的对称轴为直线，由对称性求出当时，，再由当时，函数的最小值为，最大值为3，即可得到． 【小问1详解】 解： 若函数图象上存在和谐点，则，即，此时方程无实数解， ∴：函数的图象上不存在和谐点， 故答案为：否； 【小问2详解】 解：①把代入中得， ∴， ∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴二次函数与直线只有一个交点，即方程只有一个实数根， ∴方程只有一个实数根， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ②由①函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， ∵当时，函数的最小值为，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， ∴． 23. 如图，在菱形中，，，点P从点A出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作于点Q，作交直线于点M，交直线于点F，设与菱形重叠部分图形的面积为s（平方单位），点P运动时间为t（秒）． （1）当点M与点B重合时，则t＝_____； （2）求整个运动过程中s的最大值； （3）以线段为边，在右侧作等边，当时，求点E运动路径的长． 【答案】（1）2 （2） （3）点E运动路径的长为 【解析】 【分析】（1）由含30度角直角三角形性质即可得出． （2）按照t的不同取值范围分类讨论，再结合三角形的性质和面积公式即可得出． （3）连接，结合直角三角形的性质得出为定值，求出的值即可得出． 【小问1详解】 解：M与B重合时，如图1， ， ， ∵， ， ； 故答案为：2． 【小问2详解】 ①时，如图， 在中， t，， t， ∴， S的最大值为：； ②当时，如图， ，， ， ， ， ， ∴当时，S有最大值：， 综上所述，S的最大值为． 【小问3详解】 连接，如图3， 为等边三角形， ， 在中，， 为定值， ∴点E在直线上运动， ， ， 当时，， 当时，， ， ∴点E运动路径的长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的性质和面积，勾股定理，三角函数等知识，准确应用分类讨论的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$