精品解析：贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高二下学期教学质量监测（三）数学试题

高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校，班级，姓名，考场号，应位号，准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且与共线，则等于（ ） A. 2 B. 6 C. D. 9 4. 已知椭圆的焦距为4，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 85 C. D. 或 6. 曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 2025年春节档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《哪吒之魔童闹海》，《唐探1900》，《蛟龙行动》，《封神2》，《熊出没》，《射雕英雄传》这6部，小明和小华两位同学准备从这6部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《哪吒之魔童闹海》，则两位同学不同的选择方案种数为（ ） A 36 B. 60 C. 100 D. 70 8. 已知函数在时取得极值4，则等于（ ） A. 12或3 B. 或 C. 12或 D. 或3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 10. 平面内动点P到定点的距离与到定直线的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C，则（ ） A. 曲线C的方程为 B. 曲线C关于x轴对称 C. 当点在曲线C上时， D. 当点P在曲线C上时，点P到直线距离 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 直线是的极值点 C. 将函数的图象上点的横坐标向左平移个单位得到的图象 D. 函数在上单调递减 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列的首项为，且，，则______． 13. 已知直线与椭圆交于A，B两点，点F是椭圆C左焦点，若，，则______． 14. 将3，4，5，6，7，8随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b．记，则m的最小值为______；m小于100的概率为______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处的切线与直线平行． （1）求a与b的关系； （2）若函数在上单调递增，求a的取值范围． 16. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和，证明：． 17. 如图，在直三棱柱中，，．且，侧面为正方形，点N为线段上一点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率，且椭圆C经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若，当直线与圆有交点时，求r的取值范围． 19. 已知函数． （1）求函数单调区间； （2）已知是函数的一个极值点，若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校，班级，姓名，考场号，应位号，准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的除法及共轭复数的概念写出. 【详解】由，则. 故选：A 2. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线垂直确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】直线的斜率为，两直线垂直， 故所求直线方程为，则. 故选：B. 3. 已知，，且与共线，则等于（ ） A. 2 B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个向量平行的性质求解即可. 【详解】因为，，且与共线，则，即. 故选：B． 4. 已知椭圆的焦距为4，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆中的关系及离心率公式即可求解. 【详解】根据题意，可知，因为，所以，即， 所以椭圆C的离心率为， 故选：C． 5. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 85 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和的片段和性质及等比中项的性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为q，因为，，所以，否则， 所以，，，成等比数列， 即，解得：或， 当时，，，，是等比数列， ∴，∴； 当时，， 与矛盾，舍去. 故选：C． 6. 曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断. 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 7. 2025年春节档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《哪吒之魔童闹海》，《唐探1900》，《蛟龙行动》，《封神2》，《熊出没》，《射雕英雄传》这6部，小明和小华两位同学准备从这6部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《哪吒之魔童闹海》，则两位同学不同的选择方案种数为（ ） A. 36 B. 60 C. 100 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法和分类加法计数原理及排列数和组合数的计算即可求解. 【详解】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《哪吒之魔童闹海》中选择一部， 小华从剩余的4部中选择两部，此时共有种方案， 若两人所选影片中，《哪吒之魔童闹海》相同， 则两人从剩余5部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《哪吒之魔童闹海》相同， 相同的影片为5部中1部，有种选择， 再给小华从剩余4部中选择一部，有种选择， 故共有种方案， 综上，共有70种方案. 故选：D． 8. 已知函数在时取得极值4，则等于（ ） A. 12或3 B. 或 C. 12或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定的极值及极值点列式求解并验证即可. 【详解】函数，求导得， 由时取得极值4，得，解得或， 当时，，是的变号零点，即的极值点， 当时，，是的变号零点，即的极值点， 所以或，或. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设数列前n项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据与的关系，结合已知条件求得判断A，进而判断是否为等比判断B，并写出通项公式判断C；求得前项和公式判断D. 【详解】因且，令，得，故A对； 又，两式相减得，所以， 所以是以为首项，3为公比的等比数列，故B正确； 由B可得，故C错误； 由等比数列的前项和公式得，故D正确. 故选：ABD． 10. 平面内动点P到定点的距离与到定直线的距离相等，设动点P的轨迹为曲线C，则（ ） A. 曲线C的方程为 B. 曲线C关于x轴对称 C. 当点在曲线C上时， D. 当点P在曲线C上时，点P到直线的距离 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可判断曲线C为抛物线，求出其方程，结合抛物线的性质一一判断各选项，可得答案. 【详解】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线， 则焦准距，故其方程为，故A正确； 抛物线关于y轴对称，不关于轴对称，故B错误； 由知，故C正确； 当点P在曲线C上时，由于抛物线开口向上，当点P位于原点时，到直线的距离最小为2，故点P到直线的距离，所以D错误. 故选：AC． 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 直线是的极值点 C. 将函数的图象上点的横坐标向左平移个单位得到的图象 D. 函数在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象求出解析式，代入自变量求值判断A；根据正弦型函数的性质及极值点定义判断B、D；由图象平移写出解析式判断C； 【详解】因为，所以，所以，即， 又，由于，所以， 所以，即，所以，故，A对； ，所以不是极值点，B错； 将函数图象上的点的横坐标向左平移个单位得到图象，C错； 令，，得，， 当时，得在上单调递减， 所以函数在上单调递减，D对. 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列的首项为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为，所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 因为，所以数列为等差数列， 故． 故答案为：. 13. 已知直线与椭圆交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与椭圆都关于原点对称则的可得到，若，，即可解出，求得椭圆的标准方程，将直线的方程与椭圆的方程联立求解即可. 【详解】由对称性可得，，， 所以，，， 所以椭圆方程为，，解得，，． 故答案为：. 14. 将3，4，5，6，7，8随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b．记，则m的最小值为______；m小于100的概率为______． 【答案】 ①. 47 ②. 【解析】 【分析】要使最小，只需a、b在数轴上的距离最近，列出所有可能情况即可得出m的最小值；根据，有且，或且两种情况，刚好相反，具有对称性，只需讨论其中一种情况即可求解，同时利用排列数公式求出分母即可求解． 【详解】要使最小，只需a、b在数轴上距离最近，则a、b百位上的数字相差为1， 且百位数大的后两位构成的数值尽量小，百位数小的后两位构成的数值尽量大， 所以，可能情况为（387，456），（487，536），（587，634），（685，734），（765，834）， 对应的m依次为69，49，47，49，69，故m的最小值为47． 假设排成一排从左到右依次为，若，则且，或且， 由两种情况刚好相反，具有对称性，故对应的可能排列数一样， 因此只需讨论其中一种情况：且的排列数，然后乘以2， A，D所有可能情况为4，3、5，4、6，5、7，6、8，7共5种，若A，D确定，则共有种情况， 若B、E确定，则C、F将剩下的两个数全排有2种情况，上述情况共有种， 则所有情况有种，所以的概率为， 故答案为：47；． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处的切线与直线平行． （1）求a与b的关系； （2）若函数在上单调递增，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】在点求切，求导，表达斜率，点斜式表达切线方程，加之切线与直线平行，排除重合可能可得解； 函数在定区间单调递增，则导函数大于等于零在区间上恒成立，分离参数转化为恒成立问题即可. 【小问1详解】 由，可得，， 依题意，，即得，此时切线方程为， 该直线与平行，所以，，所以． 【小问2详解】 函数在上单调递增，等价于在上恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 在单调递增， 故得且，即a的取值范围是． 16. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据递推关系再写出，两式相减即可得解； （2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前项和公式求和. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． 【小问2详解】 因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② 得：，， 令，则， 所以是关于n的减函数，得， 所以是关于n的增函数，所以， 而，所以，从而． 17. 如图，在直三棱柱中，，．且，侧面正方形，点N为线段上一点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点O，连接，证明出，以点O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量垂直的坐标表示证明，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）设点，其中，利用空间向量法可求得的值，然后利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 由题，，所以， 又因为，所以棱柱为正三棱柱．取线段的中点O，连接， 在正三棱柱中，为等边三角形，则， 以点O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，，， 所以，，， 所以，，， 因为，，平面， 所以平面． 【小问2详解】 设点，其中，， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则， 整理可得，即， 因为，解得，则，， 设平面的一个法向量为， 则，可得， 取，可得，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率，且椭圆C经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若，当直线与圆有交点时，求r的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点及离心率，得到关于的方程组，解方程组即可得椭圆的方程； （2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在，设，，与椭圆方程联立可得，结合根与系数的关系可得，进而由，可得，利用点到直线的距离公式可求得，可得结论. 【小问1详解】 ∵，∴，又椭圆C经过点，故， 易得，，椭圆方程为． 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，设，则，， ∵，∴，∴，又，解得， 故当直线与圆有交点时，， 若直线的斜率存在，设，， 联立直线与椭圆C的方程， 消去得， 所以，即． 由韦达定理得，易得． 因为，所以， 即，计算可得． 圆心O到直线I的距离，由，可得， 故当直线与圆有交点时，， 综上：． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）已知是函数的一个极值点，若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，可求得函数的单调区间； （2）由极值点求得，设切点为，进而利用导数求得切线方程，将代入切线方程得，即与有三个不同的交点，构造函数，利用导函数求解可得实数的取值范围. 【小问1详解】 ∵，当，，∴在上单调递增； 当，设，则或； ∴的单调递增区间为，；单调递减区间为． 综上所述：当，在上单调递增； 当，的单调递增区间为，；单调递减区间为． 【小问2详解】 ，由于是极值点，故，故， 当时，， 当或时，；当时，， 故是的一个极值点，故，∴， 设切点为，由，得， 所以，所以切线斜率 所以曲线在点处的切线方程为， 将代入可得，故， 要使过点可作曲线的三条不同的切线， 则方程有三个不同的解， 即与有三个不同的交点， 记，则， 当或时，；当时，， 故在，上单调递减，在上单调递增，且，， 因此，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$