2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列第19章一次函数微专题二函数图象信息题解题策略

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第19章一次函数 微专题二 函数图象信息题解题策略（解析版） 初中函数图像信息题解题策略可分为以下几类，结合具体题型和场景进行应用： 一、根据实际问题判断函数图象 （1）物理情境类 速度-时间图像：若速度随时间均匀增加，图象为倾斜直线；若存在加速度变化，可能为抛物线。 距离-时间图像：匀速运动为直线，变速运动可能为二次函数。 （2）几何图形类  动点问题：通过点的坐标变化确定函数关系 二、获取图象中的信息 参数识别  通过图象交点确定函数参数， 变化趋势分析 三、结合函数性质解题 四、数形结合与草图对照 草图绘制 根据函数表达式画出草图，标注关键点（如与坐标轴交点、顶点）。 例如：正比例函数y=kx(k 当k>0时图象过一、三象限。 图象验证 将计算结果代入图象，验证是否符合预期。 五、特殊类型解题技巧 参数吻合法  根据图象位置确定函数参数取值范围， 图象共性法  具有公共参数的函数图象具有相似特征，可利用此性质快速筛选选项。 总结 函数图像信息题需综合运用数形结合、函数性质及几何分析。解题时先明确问题类型（如物理、几何或代数），再通过图象和计算验证结论。 类型一 一次函数图象与字母系数的关系 方法指导 解决与一次函数y=kx+b（k）图象的位置、字母系数及其增减性问题时，具体的方法是①图形呈上升趋势，y随x的增大而增大 k>0 图象过第一、第三象限。②图象呈下降趋势，y随x的减小而减小 k<0 图象过第二、第四象限。③图象与y轴交于正半轴 b>0.④图象与y轴交于负半轴 b<0, ⑤图象与y轴交于原点 b=0. 【例1-1】．已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先根据题意判断出、的符号，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数的随的增大而减小， ． ， ， 此函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：B． 【例1-2】．已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 【变式1-1】．一次函数，当时，函数图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据、的取值判断一次函数图象，即可解题． 【详解】解：中， 一次函数图象必过二、四象限， ， 一次函数与轴交于负半轴， 函数图像大致是 故选：B． 【变式1-2】．已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点为第四象限内的点， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，B选项符合题意，A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】．已知直线，不论取什么值，该直线必定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把一次函数解析式变形为，则可得到当时，，则直线过定点，据此可得答案． 【详解】解：∵直线解析式为， ∴当，即时，， ∴直线过定点， ∴不论取什么值，该直线必定经过第四象限， 故选：D． 【变式1-4】．如图，水平轴为x轴，竖直轴为y轴，若点在第二象限，则函数的图象可能是（　　） A．以M为原点的直线n B．以N为原点的直线n C．以M为原点的直线m D．以N为原点的直线m 【答案】B 【分析】本题主要考查了点在象限内的特点以及一次函数的图像和性质，根据点在第二象限，可得，，再根据一次函数图象与系数的关系得函数的图象过第一、二、四象限，即可得出答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴函数的图象过第一、二、四象限， ∴函数的图象可能是以N为原点的直线n． 故选：B． 【变式1-5】．关于函数，给出下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图象必经过点；③若图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中正确的说法是 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，一般地，先求出交点坐标，再把坐标满足的条件转化成相应的方程或是不等式（组）进而解决问题．①当时，函数是一次函数；②，当时，，过函数过点，即可求解；③函数经过二，三，四象限，可得，从而可以求得k的取值范围；④当时，，与x轴无交点；当时，函数图象与x轴的交点始终在正半轴，即，即可求解． 【详解】解：①当时，函数是一次函数；故①符合题意； ②， 当时，，过函数过点，故②符合题意； ③函数经过二，三，四象限，则， 解得：，故③符合题意； ④当，即时，，与x轴无交点； 当，即时， 令，则， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵函数图象与x轴的交点始终在正半轴， 即， 由除法的意义可得：或， 解得：，故④不符合题； 故答案为：①②③． 类型二 由函数图象获取信息 方法指导 利用函数图像信息解决实际问题，正确获取信息是解题的关键。解题时要根据图像及其数量关系进行分析，要抓图像中的转折点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或数量关系发生改变的地方。对于有实际意义的函数关系，再确定自变量的取值范围时，要注意实际问题中变量的实际意义。 【例2-1】．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示．若点C的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，根据图象，先求出甲的速度，再求出乙的速度，再根据点B时，甲、乙两人刚好第一次相遇，列方程，进而得出答案． 【详解】解：由图象分析可知，C点时，甲刚好到达目的地，点C的坐标为， ∴甲的速度为， 设乙的速度为， 由C的坐标为，得， 解得， 点时，甲、乙两人刚好第一次相遇， ∴， 解得， 则点B的坐标为． 故选：C． 【例2-2】．已知老李的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：老李从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示老李离家的距离．依据图中的信息，有下面的结论： （1）体育场离老李家； （2）体育场离文具店； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是； （4）老李在文具店买笔用时； （5）老李从文具店回家的平均速度是． 其中结论正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查对函数图象的理解和掌握，利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解判断即可． 【详解】解：（1）体育场离老李家，故原结论正确； （2）体育场离文具店，故原结论错误； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是，故原结论正确； （4）老李在文具店买笔用时，故原结论错误； （5）老李从文具店回家的平均速度是，故原结论错误； 故选：A． 【变式2-1】．如图①，实践小组将挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：弹簧测力计读数、铁块受到的浮力、容器底部受到的液体压强、水面高度，其中某个量与时间的关系大致可以用图②来描述，这个量是（　　） A．弹簧测力计读数 B．铁块受到的浮力 C．容器底部受到的液体压强 D．水面高度 【答案】A 【分析】铁块露出水面以前，，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为0；弹簧测力计读数为：开始一段的铁块在空气中的重量保持不变，当铁块进入水中的过程中，重量逐渐减小，直到全部进入水中，重量保持不变．本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答． 【详解】解：铁块露出水面以前，，浮力不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，当铁块完全露出水面后，浮力为0； 弹簧测力计读数为：铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故图2表示弹簧测力计的读数和时间的函数图象． 故选：． 【变式2-2】．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为 ； （2）图中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用函数图象解决实际问题，利用图象得出正确信息是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地之间的距离为，慢车用了走完全程，即可求解； （2）根据题意求出两车的速度和，再求出快车的速度，由点的含义表示快车到达乙地时两车间的距离，求出快车到达乙地的时间和慢车在相同时间内走的路程即可得出答案． 【详解】解：（1）由图象可知，甲乙两地之间的距离为，慢车用了走完全程， ∴慢车的速度为：， 故答案为：； （2）由题意可知，当两车行驶时，两车相遇，两车距离为， ∴两车的速度和为， ∴快车的速度为， ∵点的含义表示快车到达乙地时两车间的距离， ∴， ∴慢车行驶走的路程为， ∴点， 故答案为：． 【变式2-3】．甲从地前往地，乙从地前往地，同时出发，匀速行驶．甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数关系如图所示，则 ． 【答案】2.4 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解题意，得到两人中有1人先到达终点是解本题的关键．根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟，从而先求解速度慢的人的速度，再求解速度快的人的速度，从而可得答案． 【详解】解：根据函数图象可得：两人分钟相遇，速度慢的一个人走完全程花3分钟， （米/分）， ， 解得：（米/分）， （分钟）， 故答案为： 【变式2-4】．李师傅将容量为的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车与目的地之间的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为，请根据图象解答下列问题： (1)工厂与目的地之间的距离为_______； (2)求该货车在行驶时的速度； (3)当货车显示加油提醒后，行驶时间在什么范围内货车应进站加油？ 【答案】(1)； (2)； (3)至范围内 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是利用一次函数的图象和数形结合的思想解答． （1）函数图象与轴交点的纵坐标就是工厂与目的地之间的距离； （2）从图象上可以看出货车行驶共用了，利用路程除以时间求出货车行驶的速度； （3）油箱中剩余油量为时，货车会自动显示加油提醒，可以求出从出发到显示加油所用的时间为，从出发到油箱中的油全部用完所用的时间为，从而可知货车应该在行驶后的至这一范围内进站加油． 【详解】（1）解：从货车与目的地之间的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的关系图象中可知：当行驶时间为时，， 工厂与目的地之间的距离为， 故答案为：； （2）解：根据题图可知，货车在行驶时的速度为； （3）解：当油箱中剩余油量为时，货车行驶了， 此时行驶的时间为：； 当油箱中剩余油量为时，货车行驶了， 此时行驶的时间为：． 综上所述，货车应该在行驶后的至这一范围内进站加油． 类型二 由实际问题判断函数图象 方法指导 （1） 弄清函数图像的横、纵坐标分别表示的实际意义 （2） 上升段表示函数值随自变量的增大而增大，下降段表示函数值随自变量增大而减小。水平段表示函数值不随自变量的变化而变化。 （3） 当两个阶段的图像都上升时，比较它们上升的快慢。 （4） 明确函数图像的最高点、最低点、拐点的意义。 【例3-1】．如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、等腰三角形的性质及直角三角形的性质．根据题意，先得出y与x的函数关系式，再结合x的取值范围进行判断即可． 【详解】解：因为， 所以， 即， 所以． 因为， 所以， 观察四个选项，D选项符合题意． 故选：D． 【例3-2】．如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（）与注水时间（）关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用函数图象描述实际问题的变化情况，涉及函数图象的识别，根据化学实验仪器圆底烧瓶的形状，可准确描述水的深度（）的上升速度与注水时间（）的关系，从而得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：化学实验仪器圆底烧瓶，当向烧瓶中匀速注水时，烧瓶中水的深度变化情况会随着注水时间的增加，由急到缓，再由缓到急，到烧瓶颈部时会匀速上升， 综上所述，能近似反映烧瓶中水的深度（）与注水时间（）关系的是： ， 故选：D． 【变式3-1】．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快． 【详解】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大， 所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意． 故选：C． 【变式3-2】．已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长为10，得，整理得，根据矩形的长，宽都是正数，确定与坐标轴的交点都是空心点，解答即可． 本题考查了函数的表达式，图象的画法，熟练掌握表达式和画图象是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的周长为10， ∴， ∴， 根据矩形的长，宽都是正数， ∴与坐标轴的交点都是空心点， 故选：D． 【变式3-3】．如图，长方体铁块悬挂在弹簧秤下面，并完全浸没在盛有水的水槽内部，现匀速向上提起铁块（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答是关键． 根据题意，结合，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：根据提起铁块的过程可知，铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变； 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，故此过程中弹簧的度数增加； 当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故此过程中弹簧的度数增加到最大后保持不变； 故选：B． 【变式3-4】．如图三个图像分别表示变量之间的关系，按图像的顺序将下面的三种情景境与之对应，正确的顺序是（    ） a．嘉琪去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果重量的关系 b．一个弹簧由不挂重物到所挂重物质量逐渐增加，弹簧的长度与所挂重物重量的关系 c．嘉琪从家到电影院，看了一段时间后，按原速原路返回，嘉琪离家的距离与时间的关系 A．a，b，c B．c，a，b C．c，b，a D．b，c，a 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图像，应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况作出选择． 【详解】解：c．嘉琪从家到电影院，看了一段时间后，这个时间段嘉琪离家的距离是不变的，再按原速原路返回，则嘉琪离家的距离与时间的关系符合图1 b．一个弹簧由不挂重物到所挂重物质量逐渐增加，因为弹簧伸长的长度是在原有弹簧长度的基础上变化的，则弹簧的长度与所挂重物重量的关系符合图2 a．嘉琪去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果重量的关系符合图3 故选：C． 类型四 动态问题中描述函数图象 方法指导 1 .确定自变量与因变量 根据动点运动规律，明确哪个量随时间或其他因素变化（自变量），哪个量随之改变（因变量）。例如，点P在正方形ABCD上运动时，路程x是自变量，三角形ADP的面积y是因变量。 2.分段函数表示 动态问题中，函数关系常表现为分段函数。需根据动点的位置分段讨论： 初始阶段 ：当动点处于某一特定位置时，函数关系可能为常数或线性函数 转折阶段 ：当动点运动到特定位置时，函数关系可能发生突变。 终止阶段 ：当动点到达终点时，函数关系结束 3.图象绘制要点 （1）水平线段与铅垂线段  自变量变化而函数值不变时，用水平线段表示 自变量不变而函数值变化时，用铅垂线段表示 （2）转折点与拐点  动点运动状态改变的点是函数图象的转折点，需用不同线段连接各段函数关系。 函数图象的最低点或最高点（如三角形面积最大时）可作为分析依据。 【例4-1】．如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中（　　） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查用图象表示变量的关系．根据题意，先求出当点在上运动时的面积即的值，再根据点沿运动到时的路程来求的值即可． 【详解】解：当点在上运动时， 由图知，点沿运动到时，路程为． ∴ ． 故选：C． 【例4-2】．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，过作于点，由图象可知：，，通过面积求出，最后再通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于点，由函数图象可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-1】．如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为.，图2是点运动过程中与..之间函数关系的图象，则..的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象，当运动7秒时，点P运动到点C位置，所以，当点P运动到点B时，的面积的面积最大，为，所以，可以求出、的长，再由勾股定理可以解答本题． 【详解】解：根据函数图象，当运动7秒时，点P运动到点C位置， 所以， 当点P运动到点B时，的面积的面积最大，为， 所以， 即， 解得：或（舍去）， 所以， 根据勾股定理． 故选：C． 【变式4-2】如图，在四边形中，，为直角，动点P从点D开始沿的路径匀速运动到点A，在这个过程中，的面积S随时间t的变化过程可以用图象近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题函数图象的识别，设点到直线的距离为，当点在线段运动时，此时不断增大，也不断增大，当点在线段上运动时，此时不变，也不变，当点在线段上运动时，此时不断减少，也不断减少，由此即可得解． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∴的面积为， 当点在线段运动时，此时不断增大，也不断增大，当点在线段上运动时，此时不变，也不变，当点在线段上运动时，此时不断减少，也不断减少， ∵匀速行驶，且， ∴在上行驶的时间大于在上行驶的时间， 故选：C． 【变式4-3】．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图2所示，则四边形的周长是（   ） A．32 B．34 C．36 D．38 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点图象问题，等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系是解决此题的关键，从图2看，，，过点作交于点，在中，利用勾股定理得到，当点在点处时，，解出，进而代入四边形的周长计算即可得解． 【详解】解：从图2来看， ，， 如图，过点作交于点，则， ，， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 在中， ， 当点在点处时， 解得（负值已舍）， 则四边形的周长是 ， 故选：C． 【变式4-4】．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： (1)图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； (2)图①中的图形的面积是多少？ (3)图②中b的值是多少？ 【答案】(1)8，24 (2)图①中的图形的面积为 (3) 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． （1）根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点的速度，可得的长；结合，可以计算出的面积，计算可得a的值； （2）分析图形可得，①中的图形面积等于，根据图象求出和的长，代入数据计算可得答案； （3）计算的长度，再由P的速度，计算可得b的值． 【详解】（1）解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，易得：， 故图①中的长是； ∴， 即图②中的a是； 故答案为：8，24； （2）解：由图可得：，， 则， 又∵， 则①图的面积为， ∴图①中的图形面积为； （3）解：根据题意，动点P共运动了， 其速度是，则， ∴图②中的b的值是17． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第19章一次函数 微专题二 函数图象信息题解题策略 初中函数图像信息题解题策略可分为以下几类，结合具体题型和场景进行应用： 一、根据实际问题判断函数图象 （1）物理情境类 速度-时间图像：若速度随时间均匀增加，图象为倾斜直线；若存在加速度变化，可能为抛物线。 距离-时间图像：匀速运动为直线，变速运动可能为二次函数。 （2）几何图形类  动点问题：通过点的坐标变化确定函数关系 二、获取图象中的信息 参数识别  通过图象交点确定函数参数， 变化趋势分析 三、结合函数性质解题 四、数形结合与草图对照 草图绘制 根据函数表达式画出草图，标注关键点（如与坐标轴交点、顶点）。 例如：正比例函数y=kx(k 当k>0时图象过一、三象限。 图象验证 将计算结果代入图象，验证是否符合预期。 五、特殊类型解题技巧 参数吻合法  根据图象位置确定函数参数取值范围， 图象共性法  具有公共参数的函数图象具有相似特征，可利用此性质快速筛选选项。 总结 函数图像信息题需综合运用数形结合、函数性质及几何分析。解题时先明确问题类型（如物理、几何或代数），再通过图象和计算验证结论。 类型一 一次函数图象与字母系数的关系 方法指导 解决与一次函数y=kx+b（k）图象的位置、字母系数及其增减性问题时，具体的方法是①图形呈上升趋势，y随x的增大而增大 k>0 图象过第一、第三象限。②图象呈下降趋势，y随x的减小而减小 k<0 图象过第二、第四象限。③图象与y轴交于正半轴 b>0.④图象与y轴交于负半轴 b<0, ⑤图象与y轴交于原点 b=0. 【例1-1】．已知一次函数满足，且随的增大而减小，则该一次函数的大致图象是大致是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】．已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．一次函数，当时，函数图像大致是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】．已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】．已知直线，不论取什么值，该直线必定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-4】．如图，水平轴为x轴，竖直轴为y轴，若点在第二象限，则函数的图象可能是（　　） A．以M为原点的直线n B．以N为原点的直线n C．以M为原点的直线m D．以N为原点的直线m 7．关于函数，给出下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图象必经过点；③若图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中正确的说法是 ．（只填序号） 类型二 由函数图象获取信息 方法指导 利用函数图像信息解决实际问题，正确获取信息是解题的关键。解题时要根据图像及其数量关系进行分析，要抓图像中的转折点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或数量关系发生改变的地方。对于有实际意义的函数关系，再确定自变量的取值范围时，要注意实际问题中变量的实际意义。 【例2-1】．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示．若点C的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】．已知老李的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：老李从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中x表示时间，y表示老李离家的距离．依据图中的信息，有下面的结论： （1）体育场离老李家； （2）体育场离文具店； （3）老李从体育场出发到文具店的平均速度是； （4）老李在文具店买笔用时； （5）老李从文具店回家的平均速度是． 其中结论正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-1】．如图①，实践小组将挂在弹簧测力计上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧测力计使铁块匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），则以下物理量：弹簧测力计读数、铁块受到的浮力、容器底部受到的液体压强、水面高度，其中某个量与时间的关系大致可以用图②来描述，这个量是（　　） A．弹簧测力计读数 B．铁块受到的浮力 C．容器底部受到的液体压强 D．水面高度 【变式2-2】．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为 ； （2）图中点的坐标为 ． 【变式2-3】．甲从地前往地，乙从地前往地，同时出发，匀速行驶．甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数关系如图所示，则 ． 【变式2-4】．李师傅将容量为的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车与目的地之间的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为，请根据图象解答下列问题： (1)工厂与目的地之间的距离为_______； (2)求该货车在行驶时的速度； (3)当货车显示加油提醒后，行驶时间在什么范围内货车应进站加油？ 类型二 由实际问题判断函数图象 方法指导 （1） 弄清函数图像的横、纵坐标分别表示的实际意义 （2） 上升段表示函数值随自变量的增大而增大，下降段表示函数值随自变量增大而减小。水平段表示函数值不随自变量的变化而变化。 （3） 当两个阶段的图像都上升时，比较它们上升的快慢。 （4） 明确函数图像的最高点、最低点、拐点的意义。 【例3-1】．如图，在等腰三角形中，，点D为中点，连结，若，，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】．如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（）与注水时间（）关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】．如图，长方体铁块悬挂在弹簧秤下面，并完全浸没在盛有水的水槽内部，现匀速向上提起铁块（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】．如图三个图像分别表示变量之间的关系，按图像的顺序将下面的三种情景境与之对应，正确的顺序是（    ） a．嘉琪去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果重量的关系 b．一个弹簧由不挂重物到所挂重物质量逐渐增加，弹簧的长度与所挂重物重量的关系 c．嘉琪从家到电影院，看了一段时间后，按原速原路返回，嘉琪离家的距离与时间的关系 A．a，b，c B．c，a，b C．c，b，a D．b，c，a 类型四 动态问题中描述函数图象 方法指导 1 .确定自变量与因变量 根据动点运动规律，明确哪个量随时间或其他因素变化（自变量），哪个量随之改变（因变量）。例如，点P在正方形ABCD上运动时，路程x是自变量，三角形ADP的面积y是因变量。 2.分段函数表示 动态问题中，函数关系常表现为分段函数。需根据动点的位置分段讨论： 初始阶段 ：当动点处于某一特定位置时，函数关系可能为常数或线性函数 转折阶段 ：当动点运动到特定位置时，函数关系可能发生突变。 终止阶段 ：当动点到达终点时，函数关系结束 3.图象绘制要点 （1）水平线段与铅垂线段  自变量变化而函数值不变时，用水平线段表示 自变量不变而函数值变化时，用铅垂线段表示 （2）转折点与拐点  动点运动状态改变的点是函数图象的转折点，需用不同线段连接各段函数关系。 函数图象的最低点或最高点（如三角形面积最大时）可作为分析依据。 【例4-1】．如图，在长方形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为，BCP的面积为．若y与x的对应关系如图所示，则图中（　　） A． B．1 C．3 D．4 【例4-2】．如图，在等腰中，，动点从点出发，沿运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 【变式4-1】．如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为.，图2是点运动过程中与..之间函数关系的图象，则..的长为（） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在四边形中，，为直角，动点P从点D开始沿的路径匀速运动到点A，在这个过程中，的面积S随时间t的变化过程可以用图象近似表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，在四边形中，，，，动点从点出发，沿折线方向以的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间的函数图象如图2所示，则四边形的周长是（   ） A．32 B．34 C．36 D．38 【变式4-4】．图①是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形．已知动点P以的速度沿的路径移动，相应的三角形的面积S（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系用图②中的图象表示．若，试回答下列问题： (1)图①中的的长是_______，图②中a的值是_______； (2)图①中的图形的面积是多少？ (3)图②中b的值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$