精品解析：2025年黑龙江省龙东地区九年级数学下学期中考一模试卷

二○二五年升学模拟大考卷（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 4. 已知一组数据3，4，x，5，6的平均数是4，则这组数据的方差是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 5. 若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 8. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则和的面积之差为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 9. 如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为4，为的中点，连接，，，交于点，连接交于点，为上靠近点的三等分点，连接，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤．其中结论正确的有（ ） A. ①②④⑤ B. ③④ C. ①③④⑤ D. ①④⑤ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为___________． 12. 函数中，自变量的取值范围是__. 13. 在一个不透明的袋子中有红球和黑球共10个球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是红球的概率是，则袋子中红球的个数是______个． 14. 若关于的不等式组的解集只有4个整数解，则的取值范围是_____． 15. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是_________． 16. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 17. 在中，，，为线段上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，则的最小值是_________________． 18. 如图，已知在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为__． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是______． 三、解答题（满分60分） 20. 先化简，再求代数式的值，其中 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，坐标分别为．请解答下列问题： （1）画出关于y轴的对称图形； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 22. 如图，已知抛物线经过点和点，P为x轴上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，当时，直接写出点P的坐标． 23. 随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高，外出旅游已成为时尚．某社区为了了解家庭旅游消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 家庭年旅游消费金额x(元) 户数 A x≤4000 27 B 4000<x≤8000 a C 8000<x≤12000 24 D 12000<x≤16000 14 E x>16000 6 （1）本次被调查的家庭有户，表中a=； （2）本次调查数据的中位数出现在组．扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角是度； （3）若这个社区有2700户家庭，请你估计家庭年旅游消费8000元以上的家庭有多少户？ 24. 甲、乙两车分别从相距的，两地同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少，并安全到达终点．甲、乙两车距地的路程（单位：）与两车出发时间（单位：）的图象如图所示． （1）______； （2）求乙车距地的路程与两车出发时间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲、乙两车出发多长时间相距． 25. 在中，，D是上一点．，，连接． （1）当时，如图①，线段之间的数量关系是______； （2）当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 26. 我县某学校在开学初购买了A，B两种品牌的足球，购买A品牌足球花了1800元，购买B品牌足球花了1440元，且购买A品牌足球的数量是B品牌足球的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花27元． （1）购买一个A品牌和一个B品牌足球各需多少元？ （2）现该学校决定再次购买上述两种品牌足球共50个，再次购买的总费用不超过3060元，且购买B品牌足球的数量不低于A品牌足球的数量．设学校再次购买A品牌足球n个，那么该学校一共有几种购买方案？ （3）若商店销售的上述两种品牌足球的进价分别为40元、62元，在（1）和（2）的条件下，设商店销售完这50个A，B两种品牌的足球获得的利润为w元，请直接写出w和n的关系式，并求出商店获得的最大利润，写出获得最大利润时该学校的购买方案． 27. 如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，，的长是方程的两个根． （1）求点的坐标； （2）若为直线上一点，点的横坐标为，的面积为S，求S与的关系式； （3）过点作轴，垂足为，是直线上的动点，是直线上的动点．试探究能否是以为直角边的等腰直角三角形（不与重合）？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五年升学模拟大考卷（一） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂乘法法则，积的乘方法则，平方差公式将各式计算后进行判断即可． 【详解】A.，该选项不符合题意； B.，该选项不符合题意； C.，该选项不符合题意； D.，该选项符合题意． 故选：D ． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 3. 由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对三视图掌握程度和灵活运用能力，从左视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：底层正方体最多有2个正方体，第二层最少有1个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最少有3个． 故选：A． 4. 已知一组数据3，4，x，5，6的平均数是4，则这组数据的方差是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平均数求未知数据，求方差，根据平均数的定义列出关于x的方程，解方程求出x，再根据方差计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴这组数据的方差是， 故选：A． 5. 若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式等知识，要注意根据一元一次方程、一元二次方程的定义分类讨论．当时，方程为一元一次方程；当时，根据一元二次方程根的判别式即可得到且，进而即可求出a的取值范围． 【详解】解：当时，，方程为，此方程有实数根； 当时，，并且， 即， 解得， ∴且， 综上所述：关于x的方程有实数根，则a的取值范围是． 故选：D． 6. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 7. 小王用42元钱去购买甲、乙两种学习用品，甲种学习用品每个6元，乙种学习用品每个4元．42元钱恰好用完，则小王的购买方案有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，根据两种笔记本的总价为42元建立方程，求出其解即可，解答时由单价数量总价建立方程是关键． 【详解】解：设小王购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本， 由题意得， 可得． 、为非负整数， 可以等于， 即，6，3时， ，3，5， 共有3种购买方案． 故选：B． 8. 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则和的面积之差为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的面积求法和反比例函数点的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设和的直角边长分别为和，结合等腰直角三角形的性质及图像可得出的坐标，将点代入反比例函数，可得，根据三角形的面积之差为，即可求解． 【详解】解：设和的直角边长分别为和， 和都是等腰直角三角形， ，， ， 点坐标为， 反比例函数在第一象限的图象经过点， ， ， 和的面积之差为：， 故选：D． 9. 如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求一个角的余弦值，根据菱形的性质和勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，已知正方形的边长为4，为的中点，连接，，，交于点，连接交于点，为上靠近点的三等分点，连接，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤．其中结论正确的有（ ） A. ①②④⑤ B. ③④ C. ①③④⑤ D. ①④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质定理与解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是对图形的认真观察和对以上知识点的灵活应用． ①根据矩形的性质和给出的条件得出和，再利用等量代换得出即可得出垂直； ②利用等腰直角三角形的性质得出，假设未知数，利用三角函数比列出方程，求得未知数的解，根据得出结果进而进行判断即可； ③由勾股定理得出的长，假设出的长，再利用三角函数比表示出的长，根据勾股定理列出方程，得出方程的解即可求得线段的数量关系； ④根据线段的和差和勾股定理分别求出和的值，得出两边相等，再根据垂直可得等腰直角三角形； ⑤利用直角三角形的性质得出，再利用等量代换即可得到． 【详解】解： ①， ，， ， ， 边长为4的正方形，为的中点， ，，， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②如图，作 ， ， 又， ， 假设，则， ， 即， 解得， ， ； ，故②错误； 在中，由勾股定理得， 由①得， 是直角三角形，假设， 由勾股定理得， 即 解得 故③正确； 由以上可知，，， 又∵点为上靠近点的三等分点 ，，在中，由勾股定理得， 又 ∴为等腰直角三角形，故④正确； 由以上可知，与为直角三角形，且为公共角， 又 ，故⑤正确； 综上分析可知正确的有①③④⑤． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为___________． 【答案】2.25×108 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：根据科学记数法的定义：225000000= 故答案为：． 【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键． 12. 函数中，自变量的取值范围是__. 【答案】x2 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围，函数关系中要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数． 【详解】解：根据题意得：2x-4≥0， 解得x≥2． 故答案为x≥2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 13. 在一个不透明的袋子中有红球和黑球共10个球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是红球的概率是，则袋子中红球的个数是______个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，利用概率公式直接求解即可． 【详解】解：由题意得，袋子中红球的个数是（个）． 故答案为：6． 14. 若关于的不等式组的解集只有4个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，先求出一元一次不等式组的解集，再根据原不等式组有4个整数解得． 【详解】解：， 解不等式①得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组的解集只有4个整数解， ∴， 故答案为：． 15. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是_________． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查直径所对的圆周角等于和同弧所对的圆周角相等，连接，结合，求得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 17. 在中，，，为线段上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，则的最小值是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质．根据所给条件，得出与相似，进一步得出与相似，根据相似三角形的性质将的最小值转化为的最小值即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． 过点C作的垂线，垂足为M， 在中，， ∴， 令,， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴． 在中，， ∴， 则， ∴当取得最小值时，取得最小值． 当，即点D在点M处时，取得最小值3， ∴的最小值为． 故答案为：． 18. 如图，已知在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为__． 【答案】或 【解析】 【分析】沿着过矩形顶点的一条直线将∠B折叠，可分为两种情况：（1）过点A的直线折叠，（2）过点C的直线折叠，分别画出图形，根据图形分别求出折痕的长． 【详解】（1）如图1，沿将折叠，使点的对应点落在矩形的边上的点， 由折叠得：是正方形，此时：， （2）如图2，沿，将折叠，使点的对应点落在矩形的边上的点， 由折叠得：， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 在中，由勾股定理得：， 折痕长为：或． 【点睛】考查矩形的性质、轴对称的性质、直角三角形及勾股定理等知识，分类讨论在本题中得以应用，画出相应的图形，依据图形矩形解答． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等腰三角形的性质找出规律． 利用等腰三角形的性质，勾股定理和线段的比值确定中点的坐标，找出各中点之间的数量关系，最后确定答案． 【详解】解： 如图，根据题意可得，根据三线合一，等腰，等腰，等腰……底边上的中点都在一条直线上，即在直线上，假设的中点为， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得， 根据等腰直角三角形的性质可得， ∵ 在中，由勾股定理得， 同理可得 ，即 以此类推，点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 20. 先化简，再求代数式的值，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，坐标分别为．请解答下列问题： （1）画出关于y轴的对称图形； （2）将绕点O顺时针旋转得到，画出； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称和旋转变换及不规则图形面积的求法，熟练掌握轴对称和旋转的性质以及网格特点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可； （3）根据旋转的性质和扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为． 22. 如图，已知抛物线经过点和点，P为x轴上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，当时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出或，进而求解即可． 【小问1详解】 解：将点和点代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∴点P的坐标为或． 23. 随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高，外出旅游已成为时尚．某社区为了了解家庭旅游消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调查，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 家庭年旅游消费金额x(元) 户数 A x≤4000 27 B 4000<x≤8000 a C 8000<x≤12000 24 D 12000<x≤16000 14 E x>16000 6 （1）本次被调查的家庭有户，表中a=； （2）本次调查数据的中位数出现在组．扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角是度； （3）若这个社区有2700户家庭，请你估计家庭年旅游消费8000元以上的家庭有多少户？ 【答案】（1）90，19；（2）B，24；（3）1320户 【解析】 【分析】(1)根据图表数据与百分率对应求得总人数，从而求得a值； （2）结合图表及数据可求得中位数和E所在的圆心角度数； （3）根据样本估计总体. 【详解】(1)∵A组共有27户，对应的百分率为30% ∴总户数为：（户） ∴（户） ； (2) ∵共有90户，中位数为第45,46两个数据的平均数，27+19=46， ∴ 中位数位于B组； E对应的圆心角度数为： (3) 旅游消费8000元以上的家庭为C、D、E组， 大约有：2700×=1320(户)． 【点睛】本题考查统计的相关知识，解题关键在于梳理统计图当中的条件信息. 24. 甲、乙两车分别从相距的，两地同时匀速相向而行．甲车出发后，由于交通管制，停止了，再出发时速度比原来减少，并安全到达终点．甲、乙两车距地的路程（单位：）与两车出发时间（单位：）的图象如图所示． （1）______； （2）求乙车距地的路程与两车出发时间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲、乙两车出发多长时间相距． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握用待定系数法求解函数的解析式，继而从图象获取数据是解题关键． （1）根据题意可得从到之间，甲车停车，即可求解； （2）由图象可知，乙车距地的路程与两车出发时间的函数图象经过，，用待定系数法即可求解； （3）设甲车停车前的速度为，则停车后的速度为，根据题意列方程，求出甲车停车前和停车后的速度，再根据图象分种情况分析，即①当两车相遇前相距，②当两车相遇后至甲车停车重新出发前，③当甲车重新出发后，相距，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设乙车距地的路程与两车出发时间的函数解析式为， 将，代入得： ，解得：， 乙车距地的路程与两车出发时间的函数解析式为，且由图象知，自变量的取值范围为：． 【小问3详解】 解：设甲车停车前的速度为，则停车后的速度为， 根据题意，得：， 解得：， 甲车停车前的速度为，停车后的速度为． 设甲、乙两车出发相距，则有种情况： ①当两车相遇前相距， 由图象可知，甲车相遇前的速度为， ， 解得：； ②当两车相遇后至甲车停车重新出发前， 由图象可知，两车相遇在甲车停车前， 此时，甲车的速度为， 设两车出发后相遇，则：，解得：， 从两车相遇至甲车再出发时，甲车路程为， 乙车路程为， 此时，两车相距，不符合题意； ③当甲车重新出发后，相距， 此时甲车速度为， ， 解得：； 综上所述，甲、乙两车出发或相距． 25. 在中，，D是上一点．，，连接． （1）当时，如图①，线段之间的数量关系是______； （2）当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】（1） （2）图②结论：， 图③结论：， ①如图，过点E作交的延长线于点， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵, ∴, ∴, ∴ ②如图，过点E作交于点， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）根据，，得，由，即知，从而，有，故； （2）①如图，过点E作交的延长线于点，求出，由可得结论；②如图，过点E作交于点，方法同① 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 26. 我县某学校在开学初购买了A，B两种品牌的足球，购买A品牌足球花了1800元，购买B品牌足球花了1440元，且购买A品牌足球的数量是B品牌足球的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花27元． （1）购买一个A品牌和一个B品牌足球各需多少元？ （2）现该学校决定再次购买上述两种品牌足球共50个，再次购买的总费用不超过3060元，且购买B品牌足球的数量不低于A品牌足球的数量．设学校再次购买A品牌足球n个，那么该学校一共有几种购买方案？ （3）若商店销售的上述两种品牌足球的进价分别为40元、62元，在（1）和（2）的条件下，设商店销售完这50个A，B两种品牌的足球获得的利润为w元，请直接写出w和n的关系式，并求出商店获得的最大利润，写出获得最大利润时该学校的购买方案． 【答案】（1）购买一个A品牌足球需要45元，购买一个B品牌足球需要72元； （2）该学校一共有6种购买方案； （3）w＝−5n＋500，最大利润为400元，采购方案为：A种品牌的足球采购20个、B种品牌的足球采购30个． 【解析】 【分析】（1）设购买一个A品牌足球需要x元，则购买一个B品牌足球需要（x＋27）元，根据数量＝总价÷单价，结合1800元购买的A品牌足球数量是1440元购买的B品牌足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）学校再次购买A品牌足球n个，则购买B品牌足球（50−n）个，根据购买的总费用不超过3060元，且购买B品牌足球的数量不低于A品牌足球的数量列不等式组，解不等式组即可得出n的取值，从而得出结论； （3）根据总利润＝A，B两种足球所得利润之和得到一次函数解析式，根据一次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌足球需要x元，则购买一个B品牌足球需要（x＋27）元， 依题意，得：， 解得：x＝45， 经检验，x＝45是原方程的解，且符合题意， ∴x＋27＝72． 答：购买一个A品牌足球需要45元，购买一个B品牌足球需要72元； 【小问2详解】 设学校再次购买A品牌足球n个，则购买B品牌足球（50−n）个， 依题意，得： ， 解得：20≤n≤25， ∵n为整数， ∴n的取值为20，21，22，23，24，25， ∴该学校一共有6种购买方案； 【小问3详解】 由题意得：w＝（45−40）n＋（72−62）（50−n）＝−5n＋500， ∵−5＜0， ∴w随n的增大而减小， ∴n最小时，w最大， ∵n的取值为20，21，22，23，24，25， ∴当n＝20时，w最大，最大值为：−5×20＋500＝400， 50−20＝30（个）， ∴采购方案为：A种品牌的足球采购20个、B种品牌的足球采购30个． 【点睛】本题考查了一次函数、分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用等知识；根据题意设出未知数，列出方程是解题的关键． 27. 如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，，的长是方程的两个根． （1）求点的坐标； （2）若为直线上一点，点的横坐标为，的面积为S，求S与的关系式； （3）过点作轴，垂足为，是直线上的动点，是直线上的动点．试探究能否是以为直角边的等腰直角三角形（不与重合）？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能．的长度为2或或8 【解析】 【分析】（1）解方程得到，，过点作轴于点，证明即可求解； （2）过点作于，可得直线的表达式为，，，同理可得：，过点作轴于点，当点在射线上，由求解；当点在延长线上时，同理可求； （3）是以为直角边的等腰直角三角形分为两种情况讨论：或，都通过“一线三直角”模型构造全等三角形，然后设出、两点的坐标，再根据全等三角形对应边相等建立方程求解出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：解方程得，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 如图，过点作轴于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作于， 设直线的表达式为：， ，解得：， 直线的表达式为， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 同理可得：， 过点作轴于点，当点在射线上， ，， 由勾股定理得：， ； 当点在延长线上时，如图： 此时，， ， ； 综上：； 【小问3详解】 解：设点的坐标为，点的坐标为，以为直角边的是等腰直角三角形，分为两种情况： ①时，如图．过点作轴的平行线交轴于点，交于点， 同（1）问可证得， ，， ，，，， ， 解得或； ，或（或12不合题意，舍去）． 此时等腰直角的另一种情况如图所示， 或； ②当时，如图，过点、向轴分别作垂线，垂足为，， 同理可证得， ，， ，，，， ， 解得：或8， 当时，， 解得：（不合题意舍去）， 此时与重合，故舍去， 当时，，（不合题意舍去）， ， 故的长度为2或或8． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、一元二次方程的解法、勾股定理、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与几何的综合、一元二次方程的解法、勾股定理、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $