精品解析：河北省衡水市武强中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

武强中学2024-2025学年度下学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知函数是的导数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有12个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第7排有（ ）个座位. A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 3. 有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（ ） A. 12 B. 64 C. 81 D. 256 4. 若在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知数列满足且，则（ ） A. -3 B. 3 C. D. 6. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数 A. B. C. D. 7. 三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有7项 B. 每一项中的指数都是偶数 C. 各项系数的和为64 D. 常数项为540 10. 已知函数的导函数的图像如图，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数只有一个极值点 B. 函数满足，且在处取得极小值 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在内单调递减 11. 某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（ ） A. 若不选择生物、政治，选法总数为8种 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为种 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为种 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数，则______． 13. 在各项均为正数的等比数列中，，，则________． 14. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列中，，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 16. 已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数． （1）求的解析式； （2）求在R上的极值． 17. 已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围． 19. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）若，证明：数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武强中学2024-2025学年度下学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知函数是的导数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导代入求解即可. 【详解】，所以. 故选：A 2. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有12个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第7排有（ ）个座位. A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列定义计算即可. 【详解】根据题意可设第排的座位个数为， 易知成等差数列，且； 所以可得. 故选：C 3. 有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是（ ） A. 12 B. 64 C. 81 D. 256 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计算可得. 【详解】由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立，所以一共有种. 故选：C 4. 若在数列中，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出数列的前几项，即可得到是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得. 【详解】因为，， 所以，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以. 故选：D 5. 已知数列满足且，则（ ） A. -3 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得数列是以2为公差的等差数列，再，代入可得选项. 【详解】,∴数列是以2为公差的等差数列， ， ，，， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题. 6. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得=，由列式得a的方程求解即可 【详解】由题=,解得a=4 故选D 【点睛】本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题 7. 三次函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数恒成立，由判别式求解可得. 【详解】， 因为三次函数在上是减函数， 所以恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：A 8. 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式系数再利用等差中项建立方程，求解即得. 【详解】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为， 依题意成等差数列，故，得到：， 化简得，即：， 解得：或（舍去） 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有7项 B. 每一项中的指数都是偶数 C. 各项系数的和为64 D. 常数项为540 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解A，根据通项的特征即可求解BD，利用赋值即可求解C. 【详解】对于A,根据，即可得展开式共有7项，故A正确， 对于B，的展开式的通项为，由于为偶数，因此每一项中的指数都是偶数，故B正确， 对于C,令，则系数和为，故C正确， 对于D，令，故，故常数项为，故D错误， 故选：ABC 10. 已知函数的导函数的图像如图，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数只有一个极值点 B. 函数满足，且在处取得极小值 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在内单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】通过观察导函数的图像及导函数的正负表示原函数的增减，依次判断即可得出结果. 【详解】由导函数的图像可得，当x<2时，，函数单调递增；当x>2时，，函数单调递减.所以函数的单调递减区间为,只有当x=2时函数取得极大值，无极小值. 故选: AC. 【点睛】本题考查利用导函数的图像研究函数的性质,考查数形结合的能力，属于基础题. 11. 某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目，则（ ） A. 若不选择生物、政治，选法总数为8种 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为种 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为种 D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为12种 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用组合计数依次对各个选项分析，采用间接法求得选法总数. 【详解】对于A选项：已知不选择生物、政治，则从剩余的4门课程中选择三门作为选修科目， 可得选法总数为种，故A不正确； 对于B选项：采用间接法，六门课程中选三门，选法总数为种， 若物理和化学均不选，选法总数为种， 若物理和化学至少选一门，选法总数为种，故B正确； 对于C选项：采用间接法，若物理和历史同时选，选法总数为种， 若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确； 对于D选项：在物理和历史不同时选的前提下，排除物理和化学均不选， 结合选项B、C可知：选法总数为种，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数四则运算及复合函数求导法则进行计算. 【详解】． 故答案为： 13. 在各项均为正数的等比数列中，，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答． 【详解】等比数列中，，由， 得，由，得， 所以． 故答案为：3． 14. 某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是___________. 【答案】240 【解析】 【分析】根据组合求得5人分为4组的方法数，再根据排列求得4个不同的小组安排到4个不同的社团的方法数，可得答案. 【详解】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种， 再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法. 故答案为：240. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列中，，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明； （2）由（1）可得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式． 【小问1详解】 因为，，所以，即， 所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以，所以. 16. 已知函数的图象过点，且在和上为增函数，在上为减函数． （1）求的解析式； （2）求在R上的极值． 【答案】（1）； （2）极大值，极小值. 【解析】 【分析】（1）由点在上得，根据区间单调性知是的两个根，结合根与系数关系求得，即可得解析式. （2）由已知区间单调性及极值点的定义，即可求极值. 【小问1详解】 的图象过点， ， ， ， 由已知：是的两个根，则， . . 【小问2详解】 由题设：是的极大值点， 是的极小值点， 极大值，极小值. 17. 已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式及等差数列的前项和公式建立方程组，解出即可； （2）因为，裂项相消求和即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的等比为， 因为，，， 所以，解得 ，. 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 所以 . 18. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， （2） 【解析】 【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间； (2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是 【小问2详解】 由函数在上是减函数，知恒成立， ． 由恒成立可知恒成立，则， 设，则， 由，知， 函数在上递增，在上递减， ∴，∴． 19. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）若，证明：数列的前项和． 【答案】（1）证明：由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. （2） （3）证明：， 故 ，即得证. 【解析】 【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可； (2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式； (3)根据裂项相消求和证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），故 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $