精品解析：河南省信阳市信阳高级中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解； 【详解】由，解得， 所以． 所以的虚部为1． 故选：C． 2. 已知在三角形中，，且，则角所对边的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求解. 【详解】由余弦定理可得：， 所以. 故选：C 3. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将直观图还原为原图，然后即可求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为， 故选：B． 4. 给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量概念可依次判断各个选项. 【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B 5. 非零向量满足，且向量在向量上投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 6. 在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 6或 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理化简可得，再结合条件即可求得答案. 【详解】由得，即， 又，，故，（舍）， 故选：C 7. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】   以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 故选：A. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合可得，，，且，再由，可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】函数的图象如下所示： 因为，且，令， 则，由图可知，，，且、关于对称， 所以， 又，则， 所以， 因为，所以，即的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是数形结合得到、，从而将目标式子转化为关于的函数. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在中，内角的对边分别为，且满足，则（ ） A. 一定为直角三角形 B. 可能为等腰三角形 C. 角A可能为直角 D. 角A可能为钝角 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理化简条件式得，讨论是否为0即可判定选项. 【详解】由余弦定理可得，化简可得． 当时，，此时为直角三角形； 当时，可得，即，此时为等腰三角形，即B、C选项正确. 故选：BC． 10. 已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角形的重心坐标公式即可求得点坐标，利用共线向量的坐标计算公式易得点坐标，利用平面向量的夹角公式计算即得，通过平面向量的线性运算求出的坐标，易得其模长. 【详解】 对于A项，如图，点是的重心，点，，，设点，则，故A选项正确； 对于B项，因点是上靠近点的三等分点，则设则 即,解得，故B项正确； 对于C项，因为，则， 故,即，故C项错误； 对于D项，因则，故D项错误. 故选:AB. 11. 如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】在中由正弦定理得求出可判断BA；求出，由正弦定理求出可判断C；在中，由正弦定理求出可判断D． 【详解】在中，，， ，由正弦定理得，， 即，所以，，故B正确； 且，故A错误； 故， 在中，，， 由正弦定理得，， 所以，故C错误； 对于D，在中，，， ，代入， 所以，故D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用正弦定理解三角形. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算求解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为： 13. 如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量基本定理及共线和向量定理的推论列式计算. 【详解】在中，由及，得， 由三点共线，得，所以. 故答案为： 14. 在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为___________. 【答案】18 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式得出，再利用基本不等式求最值. 【详解】在中，由的平分线交于点，得， 而且，则， 化简得，即，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为18. 故答案为：18 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. （1）求A的大小； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得，再结合三角形角的范围求解即可； （2）根据已知利用余弦定理求得，利用完全平方和求得，即可得解. 【小问1详解】 因为向量，且满足， 所以，所以， 又，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理及，得， ，所以，所以，所以， 所以的周长为. 16. 已知平面向量，. （1）若，且，求坐标； （2）若与的夹角为锐角.求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出，利用平行关系和模长列出方程组，求出，得到答案； （2）写出，根据与的夹角为锐角，得到方程和不等式，求出实数的取值范围.. 【小问1详解】 设，， 因为，所以6x＝－y，因为，所以， 解得或，所以或； 【小问2详解】 ，， 因为与的夹角为锐角，所以，， 解得且，即. 17. 已知复数（）. （1）若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； （2）为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出对应点的坐标，再出不等式求解. （2）（i）由复数相等求出，利用方程根的意义，结合复数相等求出另一根；（ii）由（i）的信息，结合复数的几何意义求出范围. 【小问1详解】 复数在复平面上对应点落在第四象限， 则，解得， 所以实数m范围是. 【小问2详解】 （i）由，得， 由，得，解得， 则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根， 则，即， 于是，解得，，原方程为， 即，解得， 所以该方程的另一复数根为. （ii）由（i）知，为，表示复平面内复数对应点与点的距离为1， 因此在复平面内复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而表示点到原点的距离，又， 则，即， 所以的范围是. 18. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 【答案】（1）表面积，体积 （2）， （3）当时，. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算即可得出关系式； （3）先写出全面积公式再结合二次函数得出最大值. 【小问1详解】 由，，得， 所以，， 故 ， ； 【小问2详解】 由相似可得，得，； 【小问3详解】 记圆柱得全面积为S， ， ∵，∴当时，. 19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式求解. （2）由余弦定理得，结合的周长，求得,再求出三角形的面积． （3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，即，于是, 所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 由周长为6，得，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 在锐角中，由，得，，则， ，则，， 由正弦定理得 ， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知在三角形中，，且，则角所对边的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 8 4. 给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）. A. 4 B. 5 C. 6 D. 6或 7. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在中，内角的对边分别为，且满足，则（ ） A. 一定为直角三角形 B. 可能为等腰三角形 C. 角A可能为直角 D. 角A可能为钝角 10. 已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则__________． 13. 如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________． 14. 在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为___________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量，且满足. （1）求A的大小； （2）若，，求的周长. 16. 已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）若与的夹角为锐角.求实数的取值范围. 17. 已知复数（）. （1）若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； （2）为的共轭复数，且. （i）若是关于x的方程（a，）的一个根，求该一元二次方程的另一复数根； （ii）若，求的范围. 18. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱全面积最大，最大全面积为多少？ 19. 在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $