精品解析：云南省大理州鹤庆县第三中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

云南省大理州鹤庆县第三中学2024-2025学年上学期期末考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式一，结合特殊角的三角函数求值即可. 【详解】． 故选： 2. 给出以下集合，其中是相等集合的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，中只有一个元素， 中有两个元素，，故，不是相等的集合； 对于B，，，是空集，中有一个元素， 故，不是相等的集合； 对于C，，，和中各有一个元素，但元素不相同，故，不是相等的集合； 对于D，解一元二次方程可得，或，故， 解一元二次方程可得，或，故， 和都只有两个元素，，所以和是相等的集合． 故选：D． 3. 已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】与正切函数相交后形成的线段长为,由可得,再将代入求值即可 【详解】由题意,可知,所以,即, 所以, 故选:A 【点睛】本题考查正切型函数图象的性质,考查求正切函数值 4. 函数，的图象如图所示，则函数的所有单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】有图可知，在和两个区间单调递减，故选C． 5. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数的基本关系式求得的值，由此化简求得所求表达式的值. 【详解】由，得，由于是第二象限角，所以.所以. 故选：C 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式，属于基础题. 6. 若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分别将和两种情况作出函数图象，利用数形结合根据交点个数即可求得的取值范围，即可得出选项. 【详解】图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到， 分和两种情况分别作图. 当时，图象如下图所示： 此时需要，即， 所以； 当时，图象如下图所示： 此时需满足，都符合条件； 综上可知, 的取值范围为或， 所以的取值不可以是D. 故选：D 7. 若直角坐标平面内的两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称．则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数 ，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可作出函数图象，结合图象分析； 【详解】①当时，作 的图象(图1)，再作轴右边的图象的中心对称图形， 与轴左边图象只有一个交点，符合题意. 时，作 的图象(图2)，再作轴右边的图象的中心对称图形， 若对称的图象过点,则，所以要满足与轴左边的图象只有一个交点，则有. 故选B 【点睛】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解． 8. 已知实数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，换元得，进而利用的单调性可得即可求解. 【详解】由，得，所以， 令，则. 令，由于均为单调递增函数，则单调递增， 因为， 所以存在唯一的实数使，所以，即. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则函数的图象经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】BCD 【解析】 分析】利用对数函数性质得出其大致图象. 【详解】因为，所以过定点且在上单调递减， 其大致图象如图， 所以函数图象经过第二、三、四象限． 故选：BCD. 10. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 【答案】BC 【解析】 【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若最小正周期是，则 B. 当时，的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A选项，当的最小正周期是，即：，则，故A选项正确； 对于B选项，当时，，所以令，解得：，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项错误； 对于C选项，当时，，，，由于在单调递增，故，故C选项错误； 对于D选项，令，解得： 所以函数的单调递增区间为：，因为在区间上单调递增，所以，解得：，另一方面，，，所以，即，又因为，所以，故，故D选项正确. 故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D选项的解决先需根据正切函数单调性得，再结合和得，进而得答案. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域. 【详解】令，则， 可得：， ∵函数的对称轴为， ∴当时，函数取到最大值， 即函数的最大值为，故函数的值域为. 故答案为：. 13. 已知，若互不相等的，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】作出在上的图象，为的图象与直线y=m交点的横坐标， 利用数形结合思想即可求得M和N﹒ 【详解】作出在上的图象（如图所示） 因为，， 所以当的图象与直线相交时，由函数图象可得， 设前三个交点横坐标依次为、、，此时和最小为N， 由，得， 则，，，； 当的图象与直线相交时， 设三个交点横坐标依次为、、，此时和最大为， 由，得， 则，，； 所以. 故答案为：. 14. 在中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求和由，结合条件代入求解即可. 【详解】因为，且，所以，所以 ，且，所以，所以. 【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值； （2）根据不等式恒成立，结合二次函数的图像，讨论k的取值，求出结果即可． 【小问1详解】 由不等式的解集为， 可知，和1是一元二次方程的两根， 所以有，解得. 【小问2详解】 不等式的解集， 若，不等式为，符合题意； 若，则有，解得， 所以不等式的解集为R，求实数k的取值范围为 16. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）若集合，，求； （2）设，且在上的最小值为-7，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据是定义域为的奇函数，由，求得m，然后根据，求得集合A，再由，且，利用分式不等式的解法求得集合B，然后利用交集运算求解； （2）令，转化为，分，，根据在上的最小值为-7求解. 【小问1详解】 解：因为是定义域为的奇函数， 所以，可得， 当时，， 所以，， 所以为奇函数，所以； 由，得，即， 因为，所以， 所以，即； 由，且，得，即， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， ， 令，因为，所以， 所以， 当时，在上为减函数，在上为增函数， 所以，即， 所以， 解得，或（舍去）； 当时，在上为增函数，所以， 即，所以，解得（舍去）， 所以. 17. 已知关于的不等式 （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集和一元二次方程根的关系可直接构造方程组求得结果； （2）分别在、、、和的情况下解不等式即可. 【小问1详解】 不等式的解集为， ，且和是的两根， ，解得：. 【小问2详解】 ①当时，不等式可化为，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 若，则，或，即不等式解集为； 若，则，，即不等式解集为； 若，则，不等式解集为； 若，则，，即不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； （3）设点P在边AC上，且存在实数，使得，说明线段BP与的关系． 【答案】（1） （2） （3）线段BP为的中线 【解析】 【分析】（1）由正余弦展开式结合特殊角的三角函数求出即可； （2）由三角形的面积公式结合正弦定理得到，再由三角恒等变换化简得到面积为，最后结合锐角三角形中角的范围和正弦函数的值域求出即可； （3）作出图形，结合正弦定义和平面向量的基本定理求解即可； 【小问1详解】 因为， 所以， 整理可得， 又， 所以， 【小问2详解】 为锐角三角形，且，， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 因为为锐角三角形，， 所以，所以， 所以， 所以， 【小问3详解】 如图： 作于，取的中点，连接， 由图可得， 所以， 所以与共线， 又点P在边AC上，也在上， 所以重合， 所以线段BP为的中线. 19. 已知函数 （1）当时，解关于x的方程 （2）若函数是定义在R上的奇函数，求函数的解析式； （3）在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接将代入解方程即可； （2）先通过，求出，再代入证明其为奇函数即可； （3）先将带入条件求出，再将带入不等式，参变分离得恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，， 即，整理得， 即，得或（舍去） ； 【小问2详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 则且， ，解得， 即， 证明：， 故是定义在R上的奇函数， 【小问3详解】 在(2)的前提下， 整理得， 代入得， 即恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， 即实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省大理州鹤庆县第三中学2024-2025学年上学期期末考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ( ) A. B. C. D. 2. 给出以下集合，其中是相等集合的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数（）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 A. 0 B. C. D. 4. 函数，的图象如图所示，则函数的所有单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（ ） A. B. C. D. 3 7. 若直角坐标平面内的两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称．则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数 ，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则函数的图象经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ） A. 若m=1，则 B. 若，则≤n≤1 C. 若，则 D. 若n=1，则 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______. 13. 已知，若互不相等的，使得，若的最大值为M，最小值为N，则___________. 14. 在中，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于x的不等式． （1）若不等式解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 16. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）若集合，，求； （2）设，且在上的最小值为-7，求实数的值. 17. 已知关于不等式 （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求不等式的解集. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； （3）设点P在边AC上，且存在实数，使得，说明线段BP与的关系． 19 已知函数 （1）当时，解关于x的方程 （2）若函数是定义在R上奇函数，求函数的解析式； （3）在(2)的前提下，函数满足若对任意且不等式恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$