精品解析：2025年江苏省常州市九年级数学教学情况调研试题

九年级教学情况调研测试 数学试题 注意事项：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．学生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具；若试题计算没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号与）． 3．请将答案按对应的题号全部填写在答题纸上，在本试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 1. 若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得． 故选：D． 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：D． 3. 下图是深圳市2024年4月7~11日的天气情况，这5天中最低气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，19 D. 20，19 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用众数和中位数的知识解答．根据这5天的最低气温，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，本题得以解决． 【详解】解：这5天中最低气温从低到高排列是：18，19，19，20，23， 故这组数据的中位数是19，众数是19， 故选：A． 4. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查求概率，直接运用概率公式求解即可． 【详解】解：在4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干中，属于物理变化的是①冰化成水和④衣服晾干两张卡片， 所以，所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是， 故选：C． 5. 如图，在中，是边上一点，在边上求作一点，使得．甲的作法：过点作，交于点，则点即为所求．乙的作法：经过点，，作，交于点，则点即为所求．对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（ ） A 甲错误，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲、乙都错误 D. 甲、乙都正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定解决问题即可． 【详解】解：乙的作法正确． 理由：∵B，C，Q，P四点共圆， ∴∠B+∠CQP=180°， ∵∠AQP+∠CQP=180°， ∴∠AQP=∠B， ∵∠A=∠A， ∴△AQP∽△ABC． 甲的作法，无法证明∠AQP=∠B，故甲的作法错误． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，圆内接四边形．解决此题关键是理解有两个角对应相等的三角形相似． 6. 如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 23 C. 25 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，即可求解；掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ， ， ， 的周长为： ； 故选：D． 7. 骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距，测量裆部离地面的距离（单位：），得出的数据乘就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．设长度最合适时坐杆的长度为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的长是 B. 当时， C. 与的关系式为 D. 若某人裆部离地面的距离为，某山地车坐杆的最大调节长度为，那么他适合骑该山地车 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，由时可得，即可判定；由可得，即可判定；分别求出和时的值即可判定，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的，故正确，不合题意； ∵ ，，， ∴， 即，故正确，不合题意； 当时，故正确，不合题意； 当时，， ∵， ∴他不适合骑该山地车，故不正确，符合题意； 故选：． 8. 已知二次函数的图像经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在之间、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点，两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点， 图象开口向上，对称轴为直线 ∵对称轴为直线， ∴ ， ∴ ，即， 当时，函数的最小值是时所对应的函数值， 且为 函数的最大值是时所对应的函数值， ，， 故选：C． 二、填空题（共20分，每小题2分） 9. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 10. 若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了代数式的求值问题，解题的关键是用表示出，利用消元的思想求解． 【详解】解：， ， 故答案：． 11. 如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则____． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案． 【详解】解：∵以点为位似中心，将放大后得到，， ∴． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键． 12. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解． 详解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得 2πr=， 解得r=cm． 故答案为：． 点睛：本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 13. 如图，是的直径，弦于点，，如果，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 连接，判定为等边三角形，进而求解的长度，进而根据勾股定理求解即可； 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．若，则满足条件的k的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，写出一个小于0的值即可． 【详解】解：、两点的横坐标都为正数， 、两点在同一个象限， 又，， 随的增大而增大， ， 的值可以为， 故答案：（答案不唯一）． 15. 已知点，一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据的纵坐标相同得有一点不在同一条抛物线上，根据的横坐标相同得两点中有一点不在同一条抛物线上，即可得． 【详解】解：∵的纵坐标相同， ∴有一点不在同一条抛物线上， ∵的横坐标相同， ∴两点中有一点不同一条抛物线上， 综上，点不在抛物线上， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图像上点的坐标满足解析式． 16. 如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键． 三角形的各个顶点都在格点上，所以任意长度都可用勾股定理计算得出，本题可以采用“三边对应相等”进行判定三角形全等． 【详解】∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴坐标系原点在点A的下方3个单位，在点C的左方2个单位处，建立坐标系，如图， ∴点B的坐标为， ∴， ∵点为网格图中与全等的格点三角形的一个顶点，对应点为，在坐标轴上， ∴符合条件的点E的坐标有或或 ． 故答案为：或或 ． 17. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性和矩形的性质可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ∴， 故答案为：． 18. 如图，过圆心，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得． 条件①：平分 条件②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是________． 【答案】①③ 【解析】 分析】连接，令交于点E，由垂径定理可知，，，则，若选条件①，可得，证，可得，若选条件②，可知，得 ，设，则，，可得，，则，可得，若选条件③，可知，即可证，进而可证，得，可知，即可判断答案． 【详解】解：连接，令交于点E， ∵经过圆心是的一条弦，， ∴， 则， 若选条件①， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故①符合题意； 若选条件②， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， 则，得 ， 设，则，，，， 则， ∴，即， 故②不符合题意； 若选条件③， ∵，即，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故③符合题意； 综上，所有可以添加的条件序号是①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，能够灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键． 三．解答题（共84分，第19题6分，第20题8分，第21-25题，每题8分，第26-28题，每题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解： 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解；∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 21. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 【答案】（1）80，， （2）甲 （3）600 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径（含）以上所占比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数； 甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数． 故答案为：80，，． 【小问2详解】 解：甲的方差为： ； 乙的方差为： ， 因为， 所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐． 故答案为：甲． 【小问3详解】 解：（个）． 答：大果约有600个． 22. 在课外活动时间，甲、乙、丙做“互相踢毽子”游戏，毽子从一人传给另一人就记为一次踢毽． （1）若从甲开始，经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的概率是多少？请说明理由； （2）若经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的可能性最小，则应从______开始踢． 【答案】（1） （2）乙． 【解析】 【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． （2）分类讨论，根据树状图可得出毽子踢到乙处的概率最小的答案． 【小问1详解】 画树状图法如下： 从甲开始，经过三次踢毽后所有可能结果有8种，且是等可能的， 其中毽子踢到乙处的结果有3种． 因此，从甲开始，经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的概率P＝． 【小问2详解】 由（1）知，若从甲开始踢，则毽子踢到甲处的概率最小为，踢到乙、丙的概率均为， 所以若经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的可能性最小，则应从乙开始踢， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．常见错误有：审题不清，对游戏规则理解错误，对踢踺次数判定错误；题（1）：对树状图的画法掌握不好，不能清楚、规范、有条理地画树状图，更难以用列表法说明；对概率计算掌握不够，不能准确计数等可能次数．题（2）：说理不清，不能正确地利用树状图或者概率的大小来说理． 23. 如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由与相切于点，得，可证明，得，即可证明是的切线； （2）由，得，由勾股定理得，则，即可求得，，由，且，得，可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． 24. 如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？ 【答案】（1） （2）当时，最大值 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及二次函数的性质． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点C在一次函数的图像上，且点C的横坐标为a， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，当时，最大值． 25. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】衬衫的单价降了15元． 【解析】 【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得 （20+2x）（40﹣x）=1250， 解得：x1=x2=15， 答：衬衫的单价降了15元． 26. 如图1，平面中的线段和直线外一点，对于，，三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点为线段的“优关联点”．如图2，已知点，． （1）在点，，中，是线段的“优关联点”的是________； （2）如果直线上存在线段的“优关联点”，则求出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直线和圆的位置关系，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据所对的弧为优弧可得，进而结合图形可得结果； （2）以为直径作，求出直线与相切时b的值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵， ∵是线段的“优关联点”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，以为直径作， 当直线与相切于点A或点B时，设其分别交y轴于点D，交x轴于E， 则直线， ∵当时，；当时，， ∴直线与x轴所成的锐角是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴此时直线与y轴交于， ∴． 27. 小溢同学在复习圆中的垂径定理时，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦于点，且，． （1）复习回顾：求的长． （2）探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点． ①当点是的中点时，求证：； ②如图3，连接，，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）8 （2）①见解析；②的长为或 【解析】 【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立； ②分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图1， ∵的直径垂直弦于点E，且， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：①证明：连接，如图， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦于点E， ∴， ∴， ∴； ②当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时， 在中，， 在中，， ∴， 同理， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 28. 如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）点F是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点F的坐标及的最小值； （3）连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）F点坐标为（1，3）；的最小值为；（3）P点坐标为或； 【解析】 【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可； （2）根据对称性可知，FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，即点F为BC与对称轴交点，利用解析式和勾股定理可求坐标和最小值； （3）作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，证△MQE∽△NEP，设点P坐标，利用相似比表示出Q点坐标，代入即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，C点坐标为（0,4）， ∵抛物线经过点，，可设解析式为， 把（0,4）代入，得， 解得，， 抛物线解析式为，即， 设BC的解析式为，把，（0,4）代入， 得，解得， ∴BC的解析式为； （2）∵点F是抛物线对称轴上一点， ∴FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，最小值为BC长，此时，点F为BC与对称轴交点， 抛物线的对称轴为直线， 把代入，得， 则F点坐标为（1，3）； ，即的最小值为； （3）由（1）得，，即， 作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N， ∵∠QEP=90°， ∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PEN=90°， ∴∠MQE=∠PEN， ∴△MQE∽△NEP， ∴， 如图1，设P点坐标为， 则PN=，EN=，EM=，MQ=， 则Q点坐标为， 代入，得， 解得，，（舍去）， 把代入，得，， 故P点坐标为； 如图2，设P点坐标为， 则PN=，EN=，EM=，MQ=， 则Q点坐标为， 代入，得， 解得，，（舍去）， 把代入，得，， 故P点坐标为； 综上，P点坐标为或； 【点睛】本题考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、最短路径和直角三角形存在性问题，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学情况调研测试 数学试题 注意事项：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．学生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具；若试题计算没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号与）． 3．请将答案按对应的题号全部填写在答题纸上，在本试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 1. 若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下图是深圳市2024年4月7~11日的天气情况，这5天中最低气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，19 D. 20，19 4. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片①冰化成水，②酒精燃烧，③牛奶变质，④衣服晾干，将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取1张卡片，则所抽取的1张卡片刚好都是物理变化的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边上一点，在边上求作一点，使得．甲的作法：过点作，交于点，则点即为所求．乙的作法：经过点，，作，交于点，则点即为所求．对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（ ） A. 甲错误，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲、乙都错误 D. 甲、乙都正确 6. 如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 23 C. 25 D. 32 7. 骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距，测量裆部离地面的距离（单位：），得出的数据乘就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．设长度最合适时坐杆的长度为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的长是 B. 当时， C. 与的关系式为 D. 若某人裆部离地面距离为，某山地车坐杆的最大调节长度为，那么他适合骑该山地车 8. 已知二次函数的图像经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共20分，每小题2分） 9. 方程的根为__________ 10. 若，则_________． 11. 如图，以点为位似中心，将放大后得到，，则____． 12. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为__________． 13. 如图，是的直径，弦于点，，如果，则的长为________． 14. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．若，则满足条件的k的值可以是__________（写出一个即可）． 15. 已知点，一条抛物线经过其中三点，则不在该抛物线上的点是点_____． 16. 如图，在的正方形网格中，的3个顶点均在正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．为网格图中与全等的格点三角形（除外）的一个顶点，其对应点为．若在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，则点的坐标为______． 17. 宽与长比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为________． 18. 如图，过圆心，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得． 条件①：平分 条件②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是________． 三．解答题（共84分，第19题6分，第20题8分，第21-25题，每题8分，第26-28题，每题10分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19 计算：． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） （3）超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 22. 在课外活动时间，甲、乙、丙做“互相踢毽子”游戏，毽子从一人传给另一人就记为一次踢毽． （1）若从甲开始，经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的概率是多少？请说明理由； （2）若经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的可能性最小，则应从______开始踢． 23. 如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 24. 如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点在点左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？ 25. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 26. 如图1，平面中的线段和直线外一点，对于，，三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点为线段的“优关联点”．如图2，已知点，． （1）在点，，中，是线段的“优关联点”的是________； （2）如果直线上存在线段的“优关联点”，则求出的取值范围． 27. 小溢同学在复习圆中的垂径定理时，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦于点，且，． （1）复习回顾：求的长． （2）探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点． ①当点是的中点时，求证：； ②如图3，连接，，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 28. 如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）点F是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点F的坐标及的最小值； （3）连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $