精品解析：2025年黑龙江省绥化市海伦市九年级中考第二次模拟考试数学试题

初四数学第二次模拟测试题 一．选择题（共12小题） 1. 下列各数中与2互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，还考查了求一个数的绝对值、立方根，算术平方根．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：A. 与2不是相反数，故此选项错误，不符合题意． B. ，2互为相反数，故该选项正确，符合题意； C. ，与2是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意． D. ，与2是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 3. 中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法：用科学记数法表示较大的数时，注意中a的范围是，n是正整数，n与原数的整数部分的位数m的关系是，反过来由用科学记数法表示的数写出原数时，原数的整数部分的数位m比10的指数大1．（即） 【详解】解：亿= 故选C 【点睛】本题考查的是利用科学记数法表示绝对值较大的数，掌握该知识点是本题关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，平方差公式，积的乘方运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，幂的乘方，平方差公式，积的乘方运算法则判定即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选：D ． 5. 三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 【详解】解：从正面看是一层两个正方形，在每个正方形的中间有一条纵向的虚线． 故选：B． 【点睛】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形． 6. 如图，在 中，，若，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：， 设，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 7. 下列说法正确的是( ) A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式 B. 如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖 C. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 D. “任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小分别进行判断即可． 【详解】解：A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，故此选项正确，符合题意； B．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定一定会中奖，故选项错误，不符合题意； C．若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则＜，则甲组数据较稳定，故选项错误，不符合题意； D．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7” 是不可能事件，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小，关键是熟练掌握各知识点． 8. 有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据关键描述语：“有两块面积相同的试验田”得到等量关系为：第一块的亩数=第二块的亩数，而亩数=总产量÷单产量．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，则第一块试验田的亩数为： ，第二块试验田的亩数为： ．那么所列方程为：=. 故选C 点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：亩数=总产量÷单产量． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线 的中点和顶点．若菱形 的面积为 ，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和菱形的性质，关键在于菱形的对角线相互平分且垂直．首先设出、点的坐标，再根据菱形的性质可得点坐标，再根据点在反比例函数上，再结合面积等于 ，解方程即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 则，点的坐标为， ∴， 解得，， 故选：D． 10. 下列命题为真命题的是（　　） A. 三角形的外心是三条角平分线的交点 B. 圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆 C. “长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件 D. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是： 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题，选项根据三角形的外心的定义判断即可；选项 根据圆锥的三视图判断即可；选项 根据三角形的三边关系判断即可；选项 根据第四象限的点的特点判断即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：．三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，原命题是假命题，故本选项不符合题意； ．正立的圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆（带圆心），原命题是假命题，故本选项不符合题意； ．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件，是真命题，故本选项符合题意； ．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选： ． 11. 二次函数 的对称轴是 ，图像与负半轴交于点，与 轴交于点，且．则下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根为， 则．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图形与性质是解题关键．根据抛物线开口方向、对称轴以及抛物线与 轴的交点位置，确定的取值范围，即可判断结论①；由抛物线的顶点的纵坐标大于0，可知，即可判断结论②；首先确定，结合可知，进而可得抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有 ，即可判断结论③；由抛物线与轴的两个交点坐标，可得方程的两个根为，，即可判断结论④． 【详解】解：∵该抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线与 轴的交点在正半轴上， ∴ ， ∴，所以①正确； 由该二次函数的图像可知，其顶点的纵坐标大于0，即， ∴，所以②错误； 对于二次函数， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵对称轴为 ， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，可有 ， 即， ∴，所以③正确； ∵抛物线与轴的两个交点分别为，， ∴方程的两个根为，， ∴， ∴，所以④正确． 综上所述，正确的结论是①③④，共3个． 故选：B． 12. 如图所示，边长为4的正方形中，对角线， 交于点O，点E在线段上，连接，作交于点F，连接交 于点H，则：①；②；③；④若，则．正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，连接 ，根据正方形的性质，证明，得到 ，再证明，即可得到结论； 对于②，证明，再根据相似三角形的性质推理即可； 对于③，先证明，得到，再证明，得到，即可证明结论； 对于④，过点E作于点N，于点M，先证明，再求出，即可逐步求得及 的值． 【详解】解：如图，连接 ， ∵四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ，故①正确； ，， 又 ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ∴， ， ，故③正确； 过点E作于点N，于点M，连接 ， 则四边形是矩形， ， ，， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 13. 因式分解：m2-n2-2m+1=___ ． 【答案】（m-1+n）（m-1-n） 【解析】 【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可． 【详解】原式=m2-2m+1-n2 =（m-1）2-n2 =（m-1+n）（m-1-n）． 故答案为（m-1+n）（m-1-n）． 【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键． 14. 若，是方程的两根，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再将代入中进行变形求解，最后集体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∵是方程的根， ∴将 代入得，即， 再将其代入到中得 ， 将，代入得 ， 故答案为：12． 15. 某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加：①为父母做一次饭；②洗一次衣服；③倒一次生活垃圾．小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 【详解】解：列表如下： ①为父母做一次饭 ②洗一次衣服 ③倒一次生活垃圾 ①为父母做一次饭 ①① ①② ①③ ②洗一次衣服 ②① ②② ②③ ③倒一次生活垃圾 ③① ③② ③③ 由表知，共有9种等可能结果，其中小宇和大明选择同一项家务劳动的有3种结果， （选择一样）． 故答案为：． 16. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 17. 当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，根据特殊角的三角函数值进行计算得出，进而根据分式的混合运算化简代数式，最后将代入，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故答案为：． 18. 若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则这个圆锥的母线长是______ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长的计算，设这个圆锥的母线长是，先求得扇形的弧长，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设这个圆锥的母线长是， 依题意得：圆锥的底面周长为：， 则展开后扇形的弧长为， 即：， 解得：， 这个圆锥的母线长是， 故答案为：6． 19. 如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点 位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为______米．（结果取整数，参考数据：．） 【答案】102 【解析】 【分析】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程求解．在中，由求得，在 中，由求得，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， ， 在 中， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 20. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是__． 【答案】 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论． 【详解】如图，作DE⊥AB于E点，连接BD ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120° ∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形 ∴∠MAE=30° ∴AM=2ME ∵MD=MB ∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE 根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小 ∵菱形的边长为6 ∴AB=6，AE=3 ∴ ∴ ∴MA+MB+MD最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键． 21. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律，即可求解. 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的边长的比为， ∴矩形的面积和矩形的面积的比, 故答案为：. 22. 如图，在 中，，点D为的中点，点E为上一点，把沿 翻折得到，若与的直角边垂直，则的长为______． 【答案】或3或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：若，且点F与点C在直线异侧；若；若，且点F与点C在直线同侧，即可求解． 【详解】解：如图1，若，且点F与点C在直线异侧，设 交于点G， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图2，若， ∵ ， ， ∴， ， ∴ ， ； 如图3，若，且点F与点C在直线同侧，设 交于点H， ∵， ， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，BE的长为或3或， 故答案为：或3或． 【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、垂直于同一条直线的两条直线平行、等腰三角形的判定、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 23. 如图，已知平分，点M是上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作，使得圆心O在射线上，并与射线相切于点M，切点为M，求证：射线与相切；（作图保留痕迹） （2）在（1）的条件下，设与相切于点N，若，则劣弧与所围成的图形的面积为______． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点M作的垂线，交于O，以点O为圆心，为半径画圆，则圆O即为所求； 如图所示，过点O作于N， ∵平分，， ∴， ∴射线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）过点M作的垂线，交于O，以点O为圆心，为半径画圆，则圆O即为所求；过点O作于N，由角平分线的性质得到，由此即可证明射线与相切； （2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则和都是等腰直角三角形，由此得，即，再根据的劣弧与所围成图形的面积进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和 为的切线， ∴，，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，即， ∴的劣弧与所围成图形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质于判定，切线长定理，角平分线的性质，求不规则图形面积等等，熟知切线的性质与判定是解题的关键． 24. 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有______人，抽测成绩的众数是______； （2）请你将图2中的统计图补充完整； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有______人体能达标？ （4）中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项． ①每位考生有______种选择方案； ②用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用、、、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程） 【答案】（1）， （2） 补全图形如下， （3）该校名九年级男生中估计有 人体能达标 （4）① ；② 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念和计算，理解扇形图和条形图的信息，掌握根据样本估算总体数量，众数的概念，根据调查数据作决策等知识是解题的关键． （1）根据4次的人数和百分比即可求出样本容量，由此可求出5次的人数，根据众数的定义即可求解众数； （2）根据5次的人数即可补全图形； （3）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解； （4）①先列举出每位考生可选择所有方案：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用表示）；共用4种选择方案． ②利用数形图展示所有16种等可能的结果，其中选择两种方案有12种，根据概率的概念计算即可． 【小问1详解】 解：4次的有10人，百分比为， ∴ （人）， ∴5次的人数为： （人）， ∴众数是5， 故答案为：50，5； 【小问2详解】 解：由（1）可知，5次的人数为16人， 【小问3详解】 解： （人）， ∴该校350名九年级男生中估计有 人体能达标； 【小问4详解】 解：①每位考生可选择：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用表示）；共用4种选择方案． 故答案为：4． ②用、、、代表四种选择方案． 用树状图分析如下： 两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有4种， 所以小明与小刚选择同种方案的概率 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及求随机事件概率的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 25. 一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数； （2）求图中线段 所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 【答案】（1）70，300 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键． （1）利用时间、速度、路程之间的关系求解； （2）利用待定系数法求解； （3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，甲车小时行驶的路程为， 甲车行驶的速度是， ∴A、C两地的距离为：， 故答案为：70；300； 【小问2详解】 解：由图可知E，F的坐标分别为，， 设线段 所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 线段 所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由题意知，A、C两地的距离为：， 乙车行驶的速度为：， C、B两地的距离为：， A、B两地的距离为：， 设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍， 分两种情况，当甲乙相遇前时： ， 解得； 当甲乙相遇后时： ， 解得； 综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 26. 已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接. （1）求证：直线是的切线； （2）点为轴上任意一动点，连接交于点 ，连接： ①当时，求所有点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 【答案】 （1）证明：连接 ，则： ∵为直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵轴 ∴ ∴ ∴直线为的切线. （2）①， ；② 的最大值为. 【解析】 【分析】（1）连接 ，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“位于上”和“位于的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作于点，证明 ，得，从而得解. 【详解】（1）略 （2）①如图1，当位于上时： ∵ ∴ ∴设 ，则 ∴ ∴，解得： ∴ 即 如图2，当位于的延长线上时： ∵ ∴设，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 即 ②如图，作于点， ∵是直径 ∴ ∴ ∴ ∵ 半径 ∴ ∴的最大值为. 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 27. 【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边 、上，连接 与交于点O，若 ，且， ，则 ______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边 、上，连接 与交于点O，当 与满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，， ， ，，点E在边 上，连接与交于点O，当 时，求的值． 【答案】（1）； （2）当 时，成立，理由如下： ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）证明 ，根据相似比即可求解； （2）当 时，可证明 得到，再证明 ，得到，由此可得，即； （3）如图所示，过点C作 交延长线于N，过点D作 交 延长线于M，则四边形 是平行四边形，证明 ，则，再证 ，得，则，在 上取一点P，使 ，连接 ，证 是等边三角形，得 ， ，然后证 ，得，设 ，则 ， ，进而由，得出方程，求出 ，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图所示，过点C作 交延长线于N，过点D作 交 延长线于M，则四边形 是平行四边形， ∴ ， ，， 同（2）可得， 在 上取一点P使得 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 设 ，则 ， ， ∴， ∵， ∴， 解得 ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 28. 如图，直线与轴交于点，与 轴交于点，抛物线经过、两点． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值； （3）在（2）的结论下，连接 ，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （4）如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】（1） （2）的周长的最大值为 （3）存在，或或 （4） 【解析】 【分析】（1）由一次函数与坐标轴交点坐标特点求出、两点坐标，代入二次函数解析式即可求解； （2）设 ，则可用表示出点、点坐标，由两点间的坐标公式，可用表示出周长，再证明 ，则由周长比等于相似比，即可表示出周长，将得到的式子配成顶点式并利用二次函数性质即可求解； （3）由（2）可知、点坐标，则可分成为边和为对角线去求解即可； （4）在 轴上截取 ，连接 ，可证得：，则可得当 、 、共线时，有最小值，且最小值为 ，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点，与 轴交于点， 令 ，则； 令 ，则 ， ， 抛物线经过、两点， ， 解得： ， ； 【小问2详解】 设，则 ， ， ， ， ， 点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合）， ， ， 的周长为： ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为： ，， 时，的周长最大值为 ； 【小问3详解】 存在点，或或； 由（2）可知： ， 此时可得： ， ， 抛物线的对称轴为： ， 则点的横坐标为 ， ， ， 设 ， ①当为平行四边形的边时，且点在点的左侧， 此时： ， 点先向右平移 个单位，再向上平移个单位到， 则点先向右平移 个单位，再向上平移个单位到， 点的横坐标为 ， ， 将其代入抛物线解析式得： ， ， ②当为平行四边形的边时，且点在点的右侧， 同理可知：将点先向右平移 个单位，再向上平移个单位到， 此时 ， 代入抛物线解析式得： ， ， ③当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得： ， ， 代入抛物线解析式得： ， 综上所述：或或； 【小问4详解】 在 轴上截取 ，连接 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 当 、 、共线时，有最小值，且最小值为 ， 在直角三角形中， ， 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和三角形的综合问题，点到点的距离，相似三角形判定与性质，最值问题，平行四边形的存在性问题，熟练掌握基础知识并会综合应用，掌握分类讨论的数学思想方法，作辅助线构造相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学第二次模拟测试题 一．选择题（共12小题） 1. 下列各数中与2互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中， ，若，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是( ) A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式 B. 如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖 C. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则乙组数据较稳定 D. “任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件 8. 有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线 的中点和顶点．若菱形 的面积为 ，则的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 下列命题为真命题的是（　　） A. 三角形的外心是三条角平分线的交点 B. 圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆 C. “长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件 D. 已知点在平面直角坐标系的第四象限，则 的取值范围是： 11. 二次函数 的对称轴是 ，图像与负半轴交于点，与 轴交于点，且．则下列结论： ①； ②； ③； ④若方程的两根为， 则．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. 如图所示，边长为4的正方形中，对角线， 交于点O，点E在线段 上，连接，作交 于点F，连接交 于点H，则：①；②；③；④若，则．正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二．填空题（共10小题） 13. 因式分解：m2-n2-2m+1=___ ． 14. 若 ，是方程的两根，则的值为______． 15. 某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加：①为父母做一次饭；②洗一次衣服；③倒一次生活垃圾．小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是______． 16. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 17. 当时，______． 18. 若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，则这个圆锥的母线长是______ ． 19. 如图，在龟山附近的小山 的顶部有一座通讯塔 ，点 位于同一直线上．在地面 处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔 的高度为29米，则小山 的高度为______米．（结果取整数，参考数据：．） 20. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是__． 21. 如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为______． 22. 如图，在 中，，点D为 的中点，点E为 上一点，把沿 翻折得到，若与的直角边垂直，则的长为______． 三．解答题（共6小题） 23. 如图，已知平分，点M是上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作 ，使得圆心O在射线上，并与射线相切于点M，切点为M，求证：射线与 相切；（作图保留痕迹） （2）在（1）的条件下，设与 相切于点N，若，则劣弧与所围成的图形的面积为______． 24. 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有______人，抽测成绩的众数是______； （2）请你将图2中的统计图补充完整； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有______人体能达标？ （4）中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目；另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项． ①每位考生有______种选择方案； ②用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用、、、…或①、②、③、…等符号来代表可简化解答过程） 25. 一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数； （2）求图中线段 所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 26. 已知在平面直角坐标系中，点，以线段 为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接 . （1）求证：直线 是的切线； （2）点 为轴上任意一动点，连接交于点 ，连接： ①当时，求所有 点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 27. 【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边 、 上，连接 与交于点O，若 ，且， ，则 ______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边 、 上，连接 与交于点O，当 与满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，， ， ，，点E在边 上，连接 与交于点O，当 时，求的值． 28. 如图，直线与轴交于点，与 轴交于点，抛物线经过、两点． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，点在线段 上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交 于点，作，交于点 ，交 于点，求的周长的最大值； （3）在（2）的结论下，连接 ，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以 、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由． （4）如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $