精品解析：2025年山东省济南市济阳区中考一模数学试题

九年级模拟考试 数学试题 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A 2. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图2所示， 米斗的俯视图为 故选：B. 3. 2024年包头市举办了主题为“运动之城、健康之城、活力之城”的马拉松比赛，设置了马拉松、半程马拉松、欢乐跑三个比赛项目，九个国家和地区的近3万名选手报名参赛．数据3万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3万用科学记数法可表示为， 故选：C． 4. 若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为列出方程求解即可． 【详解】解；设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得：， ∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算．根据幂的运算法则，完全平方公式，合并同类项的法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为（　　）     A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角，根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 7. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） 的取值 2 0 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，分式无意义的条件，熟练掌握分式的值是求法是解题的关键．根据分式无意义及分母为0即可求出的值，根据当时分式的值为0即可求出的值，根据分式的值为1即可求出的值，根据即可求出的值． 【详解】解：当时，分式无意义， ，即， ， 故A选项不符合题意； 此时分式为， 当时，分式的值为0， ， ， 故B选项不符合题意； 此时分式为， 当分式的值为1时，， 解得，即， 故C选项错误，符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； 故选：C． 8. “非物质文化进校园”是传承和弘扬传统文化的重要举措．某校为了让学生深入了解济阳区非物质文化遗产，决定邀请“鼓子秧歌”、“黑陶艺术”、“剪纸”、“柳编”中的部分项目传承人进校园宣讲．则同时选中“鼓子秧歌”、“剪纸”两个项目的传承人进校园宣讲的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、画树状图得出所有等可能的结果数以及选中A鼓子秧歌和剪纸的相关传承人的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：把“鼓子秧歌”、“黑陶艺术”、“剪纸”、“柳编”分别记作．． 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中选中A鼓子秧歌和剪纸的相关传承人的结果有种， ∴选中A“鼓子秧歌”和“剪纸”的传承人的概率为． 故选：B 9. 如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，取的中点，连接；任取一点，使点和点位于边的两侧，以点为圆心，以的长为半径作弧，与边相交于点和，再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线，交于点．若且，则下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由作图可知，垂直平分，，利用等腰三角形“三线合一”“等边对等角”以及三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：由作图可知， ， 是的中点， ，故选项A正确； ，， ， 由作图知，垂直平分，， ， ，故B选项正确； ， ， ， ， ，故D选项正确； 现有条件不能证明，故C选项错误； 故选C． 10. 定义：在平面直角坐标系中，图形上一点，点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标逸差”，而图形上所有点的“坐标逸差”中的最大值称为图形的“坐标逸颠值”．如：点的“坐标逸差”为：；抛物线的“坐标逸差”：，所以，当时，的值最大为4，所以抛物线的“坐标逸颠值”为4．若二次函数的“坐标逸颠值”为1，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标逸差”相等，则的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义，二次函数的最值，熟练掌握新定义，是解题的关键，先求出点坐标，根据点B与点C的“坐标逸差”相等，得到B，将点B代入函数解析式得到，推出，根据二次函数的“坐标逸颠值”为1，推出，结合，进行求解即可． 【详解】解：∵点C是此二次函数的图象与y轴的交点， ∴， ∵点B与点C的“坐标逸差”相等， ∴， ∴， ∴B， 将其代入中，得， ∴， ∵， ∴， ∴① ∴二次函数的坐标逸差为：， ∴， ∵“坐标逸颠值”为1， ∴②， 将①代入②中， ， 解得， 当，， 当，． 综上：的值为：或． 故选：A． 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 将一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意得，结合 即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 13. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故答案为：． 14. 张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，分王亮提速前，王亮提速追上甲之前和王亮提速追上甲之后，三种情况列出方程进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：张华的速度为：； 王亮提速前的速度为：，提速后的速度为：； 王亮追上张华所用时间为：，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 综上：或； 故答案为：或． 15. 在矩形中，，，为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到射线，在射线上取一点，使得，连接，则的最小值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作交的延长线于点，作于点，设，证明，求得，，在中，由勾股定理得，得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点，作于点，设， 则， ∵矩形， ∴，，，四边形是矩形， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的计算，先化简各数，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 17. 解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解． 【答案】， 如图， 整数解有： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 如图， 整数解有：． 18. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥DC， ∴∠F=∠E，∠DCA=∠CAB， ∵AB=CD，FD=BE， ∴CF=AE， 在△COF和△AOE中， ∵∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB， ∴△COF≌△AOE， ∴OE=OF． 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥DC，再得出∠F=∠E，CF=AE，∠DCA=∠CAB，即可推出△COF≌△AOE，从而得到结论． 【详解】略 19. 2025年1月23日晚，济阳区文体中心上空起飞500架无人机上演“凤凰涅槃”，一名摄影爱好者记录下全过程．如图，摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内． （1）求点到地面的距离； （2）求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：， 【答案】（1）点到地面的距离为米 （2）无人机距水平地面的高度约为米． 【解析】 【分析】（1）过作与F，得米； （2）米，过作地面于，交于，过作地面，交于，交于，设米，则米，四边形为矩形，是等腰直角三角形，然后由锐角三角函数定义求出，即可解决问题． 【小问1详解】 解：过作于，如图所示： ∵， （米）； 【小问2详解】 解：过作地面于，交于，过作地面，交于，交于， ， ∴，设米，则米， ∵，且， ∴四边形为矩形，是等腰直角三角形， 米， 则米， 又∵米， ， ∵，， （米）； ， ， ， 即， 解得：， ，， ， （米） 答：无人机距水平地面的高度约为米． 20. 如图，是的直径，点，点在上，且位于的两侧，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）当平分时，若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 21. 电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破150亿，进入全球票房榜前五，为了解大家对电影的评价情况，某社团从观影后的观众中随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于7.5分． 数据共分成五组（电影评分用表示）： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： 组的数据： 9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5． ：不完整的观众评分频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的观众总人数； （2）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为 度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的观众对电影评价的中位数是 分； （5）清明假期期间某电影院有1500人参加了此次评分调查，请估计此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数． 【答案】（1）50 （2）72 （3） 补全条形统计图如下： （4）9.3 （5）930 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图中的相关知识，中位数的定义以及样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）根据A组的人数以及占比即可得出抽取的观众总人数． （2）用360度乘以C组人数的占比计算即可． （3）先求出B组的人数，即可补全条形统计图． （4）根据中位数的定义求解即可． （5）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：（人） 则随机抽取的观众总人数为50人． 【小问2详解】 解：， 扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为72度． 【小问3详解】 解：B组的人数有：（人） 【小问4详解】 解：∵一共有50名观众， ∴中位数位为第25，26名评分的中位数，且位于D组， 则中位数位为： 【小问5详解】 解：（人） 则清明假期期间某电影院1500认为电影特别优秀的观众人数为930人． 22. 新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． （1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ （2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 【答案】（1）每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元 （2）购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式和一次函数的实际应用： （1）设每辆乙型汽车的进价为万元，根据用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，根据要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，列列出不等式求出的范围，设投资总额为万元，列出一次函数解析式，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设每辆乙型汽车的进价为万元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 答：每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为10万元和12万元； 【小问2详解】 设购进乙型汽车辆时，可使投资总额最少，由题意，得：， 解得：， 设投资总额为万元，则：， ∴随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，为：； 答：购进乙型汽车40辆时，可使投资总额最少，为万元． 23. 已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）以为斜边在直线的下方作等腰直角三角形，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，求的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点代入一次函数的解析式求出，待定系数法求出的值 即可； （2）作轴，轴，于点，证明，进而求出点坐标即可； （3）平移得到，直线与反比例函数的交点即为点，求出直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得：， ∴， ∴； 故； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴，过点作轴，则：轴，，， ∴， ∵， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵将沿直线平移， ∴， ∴设的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴， 由（1）可知：反比例函数的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．与轴交于点，顶点为，抛物线：经过点． （1）当点的坐标为时，求抛物线的表达式； （2）在（）的条件下，在第二象限内抛物线上是否存在一点，使得的面积是的面积的一半？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由： （3）若抛物线和抛物线构成的封闭图形内部（不包含边界）有个整点（横、纵坐标都是整数），请求出的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）过点作 交轴于点，利用平行线间的面积处处相等，可将转化为，再根据和的关系，可得三角形底之比，从而确定点的坐标，再确定的解析式，最后求交点坐标即可得到结论； （）根据抛物线经过抛物线的顶点，从而将点代入抛物线可得，由抛物线经过抛物线的顶点，可得个整点分布在 和上，从而可得的取值范围； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，三角形的面积等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：存在，点的坐标为，理由如下： 过点作 交轴于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴点和点的中点坐标为， 即点坐标为， 设过点和的直线解析式为, 则， 解， ∴的解析式为， ∵， ∴可设的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴的解析式为， 联立，可得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴点的横坐标为， 把代入， 得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：把代入，得， ∴， ∴抛物线， ∴顶点的坐标为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， 把代入抛物线，得， ∴点也在抛物线上， 即点为抛物线和抛物线的交点， 设抛物线与轴交于点， 过点作轴，交抛物线于点，则，， 又∵，， ∴， ∵抛物线和抛物线构成的封闭图形内部(不包含边界)有个整点， ∴， ∴． 25. 某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】 如图1，在中，点为上一点，．求证：； 【内化迁移】 如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点．．若．求的长； 【学以致用】 如图3，在菱形中，．点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点．若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，列出比例式即可得出结论； （2）平行四边形的性质，得到，证明，得到，求出的值即可； （3）连接交于点，延长与的延长线交于点，证明四边形为平行四边形，得到，，旋转，得到，证明，得到，求出，过点作，三角函数求出的长，勾股定理求出的长，再根据，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接交于点，延长与的延长线交于点， ∵菱形，， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于H，则：，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，构造三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级模拟考试 数学试题 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 3. 2024年包头市举办了主题为“运动之城、健康之城、活力之城”的马拉松比赛，设置了马拉松、半程马拉松、欢乐跑三个比赛项目，九个国家和地区的近3万名选手报名参赛．数据3万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点在同一条直线上，，若，则的度数为（　　）     A. B. C. D. 7. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） 的取值 2 0 分式的值 无意义 0 1 A. B. C. D. 8. “非物质文化进校园”是传承和弘扬传统文化的重要举措．某校为了让学生深入了解济阳区非物质文化遗产，决定邀请“鼓子秧歌”、“黑陶艺术”、“剪纸”、“柳编”中的部分项目传承人进校园宣讲．则同时选中“鼓子秧歌”、“剪纸”两个项目的传承人进校园宣讲的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，取的中点，连接；任取一点，使点和点位于边的两侧，以点为圆心，以的长为半径作弧，与边相交于点和，再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，作直线，交于点．若且，则下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，图形上一点，点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标逸差”，而图形上所有点的“坐标逸差”中的最大值称为图形的“坐标逸颠值”．如：点的“坐标逸差”为：；抛物线的“坐标逸差”：，所以，当时，的值最大为4，所以抛物线的“坐标逸颠值”为4．若二次函数的“坐标逸颠值”为1，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标逸差”相等，则的值是（　　） A. 或 B. C. D. 或 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 分解因式：______． 12. 将一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为_________． 13. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为___________． 14. 张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离与出发时间的关系．当两人相距时，出发的时间是___________． 15. 在矩形中，，，为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到射线，在射线上取一点，使得，连接，则的最小值是___________． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解． 18. 已知：如图，在ABCD中，延长线AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE=OF． 19. 2025年1月23日晚，济阳区文体中心上空起飞500架无人机上演“凤凰涅槃”，一名摄影爱好者记录下全过程．如图，摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内． （1）求点到地面的距离； （2）求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：， 20. 如图，是的直径，点，点在上，且位于的两侧，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）当平分时，若，求的长． 21. 电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破150亿，进入全球票房榜前五，为了解大家对电影的评价情况，某社团从观影后的观众中随机抽取部分观众对电影进行评价，并对评分（十分制）进行统计整理，所有观众的评分均高于7.5分． 数据共分成五组（电影评分用表示）： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： 组的数据： 9.1，9.1，9.2，9.2，9.2，9.2，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5． ：不完整的观众评分频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的观众总人数； （2）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角的度数为 度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的观众对电影评价的中位数是 分； （5）清明假期期间某电影院有1500人参加了此次评分调查，请估计此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数． 22. 新能源汽车有着动力强、油耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店决定采购新能源甲型和乙型两款汽车，已知每辆甲型汽车的进价是每辆乙型汽车进价的1.2倍，若用2400万元购进甲型汽车的数量比用1800万元购进乙型汽车的数量多20辆． （1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的进价分别为多少万元？ （2）该汽车4S店决定购进甲型汽车和乙型汽车共100辆，要求购进的甲型汽车不少于乙型汽车的1.5倍，问购进乙型汽车多少辆时，可使投资总额最少？最少投资总额是多少万元？ 23. 已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）以为斜边在直线的下方作等腰直角三角形，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，求的坐标． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．与轴交于点，顶点为，抛物线：经过点． （1）当点的坐标为时，求抛物线的表达式； （2）在（）的条件下，在第二象限内抛物线上是否存在一点，使得的面积是的面积的一半？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由： （3）若抛物线和抛物线构成的封闭图形内部（不包含边界）有个整点（横、纵坐标都是整数），请求出的取值范围． 25. 某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究． 【合作探究】 如图1，在中，点为上一点，．求证：； 【内化迁移】 如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点．．若．求的长； 【学以致用】 如图3，在菱形中，．点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交的延长线于点．若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $