精品解析：重庆市2025届高三下学期第二次联合诊断检测(康德卷)数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 高三第二次联合诊断检测 数学 数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，依据并集的定义计算即可. 【详解】解：由已知集合，所以. 故选：C 2. 某高校全体大一新生参加一项体能测试，将测试结果转换为相应分值，满分为100分，统计发现得分．若得分在的学生有300人，则得分在的学生人数满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算判断. 【详解】因为得分，所以， 又因为若得分在的学生有300人， 又， 所以得分在的学生人数满足. 故选：B. 3. 已知双曲线，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得直线斜率，即可根据垂直得，进而求解离心率，根据充要条件的定义即可判断. 【详解】的渐近线方程为， 当的渐近线互相垂直时，则，故，因此离心率为, 故“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的充要条件， 故选：A 4. 若是关于的方程的虚数根，且，则（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程中，即可根据且求解. 【详解】将代入可得， 化简可得， 故且，解得，， 故选：C 5. 已知等差数列前4项为，，2，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项可得，即可求解公差，进而利用等差数列的性质求解. 【详解】由题意可知，2，成等差，故，解得， 故公差， 故， 故选：A 6. 已知是定义在的奇函数，且．若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知函数的一个周期为4，结合奇函数可得，，进而可得，，再根据周期性即可得结果. 【详解】因为，可得， 可知函数一个周期为4， 又因为是定义在的奇函数，则， 则，即， 令，可得； 令，可得，即， 则， 所以. 故选：C. 7. 已知直线与圆相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形和三角形的面积公式可得，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】设，由题意可知:圆心为坐标原点，半径为， 则劣弧与弦围成的图形面积， 由于故在单调递增， 又，所以，则， 所以圆心到直线的距离为1，即，解得 故选：D 8. 已知函数，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分、和三种情况讨论，当时，利用导数法求得，从而将题意转化为恒成立的问题，构造函数，利用导数法研究单调性，即可求解的取值范围. 【详解】当时，，符合题意； 当时，存在，使得，即，显然不满足题意； 当时，由得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 由得， 设，则， 所以在上单调递减，又，所以， 综上，，即的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，按选项逐个判断即可． 【详解】已知，，， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，，若，则，，所以不一定成立，故C错误； 对于D，，由，则，所以，，，故D正确. 故选：ABD. 10. 从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（ ） A. 当代谢时间时，血液中乙醇含量最低 B. 血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数 C. 若执意驾车，完全不可能被认定酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D. 若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 【答案】BD 【解析】 【分析】整理可得，结合对勾函数性质分析单调性和最值，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，则， 由对勾函数可知：在内单调递减，在内单调递增， 则在内单调递增，在内单调递减，故B正确； 当时，取到最大值1， 即当代谢时间时，血液中的乙醇含量最高为， 即每血液中乙醇含量为，故A错误； 因为，可知饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C错误，D正确； 故选：BD. 11. 已知为坐标原点，曲线的焦点为，是的准线上一点，过点的直线与有且仅有一个交点，则（ ） A. 若与轴平行，则 B. 若与轴平行，则 C. 若与轴不垂直，则 D. 若与轴不垂直，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由抛物线的定义即可判断；对于B，利用向量数量积的坐标运算即可判断；对于C，利用向量数量积的坐标运算可得，即可判断；对于D，由坐标运算表示出，换元后利用导数求出其最小值，即可得到，即可判断； 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A，与轴平行时，由抛物线的定义得，所以，故A正确； 对于B，设，则，又， 则，， 所以，故B错误； 对于C，若与轴不垂直，直线与有且仅有一个交点，则直线是的切线， 设点在轴上方，设，则， 则，所以，则， 若点在轴下方，由对称性同理可得，故C正确； 对于D，若与轴不垂直，直线与有且仅有一个交点，则直线是的切线， 设点在轴上方，设，直线的斜率为， 则直线的方程为，与联立， 消去得，由其解得， 则直线的方程为，令，解得， 则，所以， 则， 令，，则， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以， 若点在轴下方，由对称性同理可得，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若二项式展开式的所有项系数之和为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式所有项系数的求法，通过赋值，即可求得. 【详解】令得，二项式展开式的所有项系数之和为，解得. 故答案为： 13. 函数的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，分析可知函数为偶函数，可知函数的值域与的值域相同，进而分析的周期和对称性，取，利用辅助角公式结合正弦函数有界性分析求解. 【详解】设，可知函数的定义域为， 因为，可知函数为偶函数， 当时，， 可知函数的值域与的值域相同， 因为， 可知的一个周期为， 又因为， 可知关于直线对称， 且， 可知关于直线对称， 则可取，则，可得， 因为，则， 可得，即， 可知的值域为，所以的值域为. 故答案为：. 14. 在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面的夹角. 【详解】 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，， 则， 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面的一个法向量， 则有，令，则，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式以及同角关系即可求解， （2）利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由和正弦定理可得， 因为,所以， 则有, 由于，所以有 【小问2详解】 由得，因为, 则有， 由余弦定理可得，所以， 16. 已知，函数． （1）若，判断的单调性； （2）若，求． 【答案】（1）在上单调递增，在上递减. （2） 【解析】 【分析】（1）计算的导函数，求以及的解，从而得出的单调性； （2）依据第（1）问结论，当时，求时的取值，并判断时不成立可得结果. 【小问1详解】 解：函数，定义域为， ，因为， 令，解得：，所以当时，；当时， ， 所以在上单调递增，在上递减. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减. 若，则，即， 代入可得：， 令，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且 所以，即. 当时，恒成立，即在上单调递增，又，所以不恒成立，故不成立，所以. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线的斜率为1且与的另一个交点为，的周长为8． （1）求的方程及的值； （2）如图，将沿轴折起，使得折叠后平面平面，求到平面的距离． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解，，进而联立直线与椭圆的方程，求解方程的根，即可利用弦长公式求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据点到平面的向量法求解. 【小问1详解】 设，其中， 因为的周长为8，所以，故， 又，所以， 故椭圆方程为， 所以，联立方程可得， 所以， 故 【小问2详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以，， 设平面的法向量为，则 ,即，取，则， 所以到平面的距离 18. 若抛掷一枚硬币，每次落地后正面向上的概率为，张华同学思考了以下抛掷硬币问题： （1）一共抛掷硬币4次，求恰有2次正面朝上且第2次抛掷是反面朝上的概率； （2）如果抛掷硬币前约定“双上次原则”：即最多抛掷硬币次，当出现两次正面朝上时就不再抛掷，抛掷硬币次后即使没有出现两次正面朝上也不再抛掷．设表示“双上次原则”中抛掷硬币的次数． ①若，求； ②若（为整数）表示抛掷硬币次时恰有2次正面朝上的概率，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）根据出现的情况有两种，即可根据独立事件的概率乘法公式求解①，根据以及期望的计算公式即可求解②. 【小问1详解】 抛掷硬币4次，恰好有2次正面朝上且第2次是反面朝上，则在1，3，4次中有两次是正面朝上，则概率为 【小问2详解】 ①若，则出现的情况有两种， 情况一：前四次抛掷均为反面，第五次无论何种情况均符合题意， 情况二:前四次抛掷出现一次正面，第五次无论何种情况均符合题意， 所以, ②由题意可得的所有取值有 , 所以， 因为,由于，则， 所以, 故，得证. 19. 已知数列的各项均为正数，若从第二项起，的每一项都大于其相邻两项的等比中项，则称为新质数列． （1）判断正整数数列是否为新质数列，并说明理由； （2）已知函数，若的各项系数都是正数且存在3个不同零点，证明：数列，，，为新质数列； （3）设数列的前项和为，记．如果对于数列中任意三个不同项，，，都使得式子的计算结果为一个常数，当时，证明：数列为新质数列． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作差，即可根据新质函数的定义即可求解， （2）求导，根据，可得判别式为正数，利用换元，即可求证， （3）根据，进而得，可得数列是等差数列，进而利用作差法求解得解. 【小问1详解】 由题意可得新质数列满足且即， 显然，且， 即所以正整数数列是新质数列. 【小问2详解】 因为,且， 由题意必有两个不相等的实数根，所以， 即，又因为3个零点都不为0， 由可化为， 令，说明关于的方程存在3个不同零点， 同理可得，所以数列,,,为新质数列 【小问3详解】 设式子的计算结果为常数， 由题意将第项互换得， 故， 又取得， 所以，所以，数列是等差数列， 又因为，所以， 因为，公差， 所以，所以， 当时， 所以，故数列为新质数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 高三第二次联合诊断检测 数学 数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某高校全体大一新生参加一项体能测试，将测试结果转换为相应分值，满分为100分，统计发现得分．若得分在的学生有300人，则得分在的学生人数满足（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若是关于的方程的虚数根，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知等差数列的前4项为，，2，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知是定义在的奇函数，且．若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 7. 已知直线与圆相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知，，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，， 10. 从2024年3月1日起，新酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（ ） A. 当代谢时间时，血液中乙醇含量最低 B. 血液中乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数 C. 若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D. 若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 11. 已知为坐标原点，曲线焦点为，是的准线上一点，过点的直线与有且仅有一个交点，则（ ） A. 若与轴平行，则 B. 若与轴平行，则 C. 若与轴不垂直，则 D. 若与轴不垂直，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若二项式展开式的所有项系数之和为，则______． 13. 函数的值域为________． 14. 在正四棱柱中，，，是的中点，则平面与平面夹角的余弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，求． 16. 已知，函数． （1）若，判断的单调性； （2）若，求． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线的斜率为1且与的另一个交点为，的周长为8． （1）求的方程及的值； （2）如图，将沿轴折起，使得折叠后平面平面，求到平面的距离． 18. 若抛掷一枚硬币，每次落地后正面向上的概率为，张华同学思考了以下抛掷硬币问题： （1）一共抛掷硬币4次，求恰有2次正面朝上且第2次抛掷是反面朝上的概率； （2）如果抛掷硬币前约定“双上次原则”：即最多抛掷硬币次，当出现两次正面朝上时就不再抛掷，抛掷硬币次后即使没有出现两次正面朝上也不再抛掷．设表示“双上次原则”中抛掷硬币的次数． ①若，求； ②若（为整数）表示抛掷硬币次时恰有2次正面朝上的概率，证明：． 19. 已知数列的各项均为正数，若从第二项起，的每一项都大于其相邻两项的等比中项，则称为新质数列． （1）判断正整数数列是否为新质数列，并说明理由； （2）已知函数，若的各项系数都是正数且存在3个不同零点，证明：数列，，，为新质数列； （3）设数列的前项和为，记．如果对于数列中任意三个不同项，，，都使得式子的计算结果为一个常数，当时，证明：数列为新质数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$