精品解析：四川省自贡市富顺县代寺镇中，中石九年制学校、骑龙镇九年制学校2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

代寺学区2024-2025学年（下期）第1次学情调研 八年级数学试题 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥－2 B. x＞－2 C. x≥2 D. x≤2 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C. 若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等 D. 全等三角形的对应边相等 7. 如图，已知矩形中，分别是上的点，、分别是、的中点，当在上从向移动而不动时，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不改变 D. 线段的长不能确定 8. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1 B. 2026 C. 2025 D. 2024 9. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，平分交于点，作，垂足为．连接，小明得到三个结论：①；②；③；则三个结论中一定成立的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 比较大小：_______． 12. 如果+（b﹣7）2=0，则的值为___________． 13. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 14. 如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为_________． 15. 如图，在矩形中，，是上的一点，将矩形沿折叠后，点落在边的点上，则的长为_________. 16. 如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是_____． 三、解答题（本题有5个小题，每小题6分，共计30分） 17. 计算： 18. 已知，分别求下列代数式的值： （1） （2）． 19. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简：． 20. 如图所示，有一条等宽的小路穿过长方形的草地ABCD，若AB=60m，BC=84m，AE=100m，则这条小路的面积是多少？ 21. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE 求证：四边形BECD是矩形． 四、解答题（本题有3个小题，每小题7分，共计21分） 22. 如图，在四边形中，，且． （1）求的度数； （2）若，则四边形的面积为_____． 23. 我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 24. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，求． 五、解答题（本题共有2个小题，25题9分，26题12分，共21分） 25. 在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ； ， ， ， ； 请利用以上方法，解决下列问题： （1）求； （2）若，求的值． 26. 如图，在矩形中，，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，于，连结． （1）当在线段上时 ①若，求的长； ②若，求证：； （2）连结，在点的运动过程中，设运动时间为秒，当为何值时，是以为底的等腰三角形? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 代寺学区2024-2025学年（下期）第1次学情调研 八年级数学试题 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥－2 B. x＞－2 C. x≥2 D. x≤2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据二次根式的意义，x-2≥0,解得x≥2. 故选C. 考点：二次根式的意义. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式．把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：∵，，与， ∴与是同类二次根式， 故选：A． 4. 下列各式计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A选项中，∵不是同类二次根式，不能合并，∴本选项错误； B选项中，∵，∴本选项正确； C选项中，∵，而不是等于，∴本选项错误； D选项中，∵，∴本选项错误； 故选B. 5. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C. 若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等 D. 全等三角形的对应边相等 【答案】C 【解析】 【分析】先分别写出原命题的逆命题，然后再判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意； B、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意； C、逆命题为：若两实数的绝对值相等，则这两个数也相等，错误，是假命题，符合题意； D、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查了逆命题的真假，写出原命题的逆命题是解答本题的关键． 7. 如图，已知矩形中，分别是上的点，、分别是、的中点，当在上从向移动而不动时，那么下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不改变 D. 线段的长不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，连接．由三角形中位线定理得出，即可得出答案，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵、分别是、的中点，， ∴为的中位线， ∴． ∵不动， ∴的长度不变， ∴线段的长不改变． 故选：C． 8. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知，“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和=原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和=第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026； 故选：B． 9. 如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm， ； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm， ； ③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm， ； ∵， 所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平面展开——最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 10. 如图，在平行四边形中，，平分交于点，作，垂足为．连接，小明得到三个结论：①；②；③；则三个结论中一定成立的有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，本题需要添加辅助线，构造出全等三角形，这是解题的关键．由垂直的定义得到，根据平行线的性质即可得到，故①正确；延长交的延长线与，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换的，故②错误；由于，，于是得到，故③正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴，故①正确； 如下图所示，延长交的延长线于， 又∵在平行四边形中，， ∴， ∵与交于点，两相交直线对顶角相等， ∴， 又∵平分， ∴， 而平行四边形中，，平行线之间内错角相等， ∴， ∴，故为等腰三角形，其中， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，故②错误； 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∴三个结论中一定成立的有个 故选：． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 比较大小：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．先比较得，进而可得． 【详解】解：∵ ∴即 ∴ 故答案为：． 12. 如果+（b﹣7）2=0，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：根据非负数的性质，可知a-2=0，b-7=0，然后可求得a=2，b=7，然后代入． 故答案为：3． 13. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查实数，勾股定理与数轴的结合．根据直角三角形的勾股定理可知，两直角边已知，求出斜边，再结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为2、1， ∴直角形的斜边长为：， ∴点A所表示的数a的值为：． 故答案为：． 14. 如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴是斜边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，在矩形中，，是上的一点，将矩形沿折叠后，点落在边的点上，则的长为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】首先求出DF的长度，进而求出AF的长度；根据勾股定理列出关于线段AE的方程即可解决问题． 【详解】设AE=x, 由题意得： FC=BC=10，BE=EF=8-x； ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D=90°，DC=AB=8， 由勾股定理得： DF2=102-82=36， ∴DF=6，AF=10-6=4； 由勾股定理得： EF2=AE2+AF2， 即（8-x）2= x2+42 解得：x=3， 即AE=3. 故答案为3． 【点睛】该命题以正方形为载体，以翻折变换为方法，以考查勾股定理、全等三角形的性质为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断或解答． 16. 如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，可得O是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4． 【详解】解：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，则O是DC的中点， 过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH， ∵PD∥CQ， ∴∠PDC=∠DCQ， ∴∠ADP=∠QCH， 又∵PD=CQ， 在Rt△ADP与Rt△HCQ中， ∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）， ∴AD=HC， ∵AD=1，BC=3， ∴BH=4， ∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查梯形的中位线的性质，注意掌握梯形的中位线等于两底和的一半且平行于两底． 三、解答题（本题有5个小题，每小题6分，共计30分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义、零指数幂以及二次根式的性质先将每一项化简，再进行实数的加减混合运算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了绝对值的意义、零指数幂以及二次根式的性质等知识，去括号时，要注意，括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 18. 已知，分别求下列代数式的值： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解决本题的关键是根据整式的运算法则进行化简，然后把字母的值代入化简后的代数式计算求值即可． 首先提公因式可得：原式，然后再把，代入化简后的代数式计算求值； 首先利用完全平方公式把代数式整理可得：原式，然后再把，代入化简后的代数式计算求值． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解： ． 19. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】化简得a 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出的符号，再利用绝对值的意义化简运算即可，利用数轴确定出的符号是解题的关键． 【详解】由题意得：， ， ∴ ． 20. 如图所示，有一条等宽的小路穿过长方形的草地ABCD，若AB=60m，BC=84m，AE=100m，则这条小路的面积是多少？ 【答案】这条小路的面积是240m2 . 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得BE的长，再根据路等宽，可得FD，根据矩形的面积减去两个三角形的面积，可得路的面积． 【详解】解：路等宽，得BE=DF， △ABE≌△CDF， 由勾股定理，得BE==80（m） S△ABE=60×80÷2=2400（m2） 路的面积=矩形的面积﹣两个三角形的面积 =84×60﹣2400×2 =240（m2）． 答：这条小路的面积是240m2． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，先求出直角三角形的直角边的边长，再求出直角三角形的面积，用矩形的面积减去三角形的面积． 21. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE 求证：四边形BECD是矩形． 【答案】 证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD=CD． ∵四边形ABED是平行四边形， ∴，BE=AD， ∴BE=CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∴▱BECD是矩形． 【解析】 【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形． 四、解答题（本题有3个小题，每小题7分，共计21分） 22. 如图，在四边形中，，且． （1）求的度数； （2）若，则四边形的面积为_____． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）连接，设、、、分别为、、、，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可； （2）根据（1）的结论，利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：连接， 设、、、分别为、、、， ，， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ，，， 由勾股定理得， 由（1）知： ∴． 23. 我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】（1） A城会受到这次台风的影响，理由如下： 如图：过A作，垂足为，则， 在中，， ∴， ∵， ∴A城会受台风影响． （2）6小时 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过A作，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设上点，使千米， 是等腰三角形， ， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，千米， ∴（千米）， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：（小时）． 24. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，求． 【答案】（1） 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴； ∵，， ∴； （2） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质及等角的补角相等即可证明； （2）由平行四边形的性质得，由（1）所证及，即可证明； （3）由（2）及已知得，，进而得；即可得；证明，则；过E作于G，分别在中由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图，过E作于G， 则， ∴，； 在中，，由勾股定理得， 在中，，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，题目不难，灵活运用这些知识是关键． 五、解答题（本题共有2个小题，25题9分，26题12分，共21分） 25. 在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ； ， ， ， ； 请利用以上方法，解决下列问题： （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）仿照题例解答即可； （）两边平方整理后，再平方求解即可； 本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，看懂题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：设， 两边平方得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 两边平方得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，在矩形中，，若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动，于，连结． （1）当在线段上时 ①若，求的长； ②若，求证：； （2）连结，在点的运动过程中，设运动时间为秒，当为何值时，是以为底的等腰三角形? 【答案】（1）①； ②证明：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）当或时，是以为底的等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）①在矩形中，，，，由勾股定理求得的长，即可求得的长； ②证明，可得，从而可得，即可得到； （2）分两种情况点在线段上、点在延长线上两种情况分别讨论即可得 【小问1详解】 ①解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴； ②略． 【小问2详解】 解：①当点在线段上时，，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，，如图所示， ∵， ∴， 在矩形中， ∴， ∴， 综上所述，可知或； ∴当或时，是以为底的等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活用相关知识是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $