精品解析：湖南省益阳市赫山区箴言龙光桥学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

箴言龙光桥学校2024年下学期期中质量检测卷数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式，，，，，其中分式共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若三角形三个内角度数之比为，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 分式的值为0，则x的值是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 或4 5. 如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（   ） A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 6. 如果把分式中的和都同时扩大倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小 D. 扩大倍 7. 如图，等边的两条高和相交于点O，则度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 3或 B. 3或 C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算：___________． 12. 计算：_____________． 13. 纳米是非常小的长度单位，纳米米，某种病菌的长度约为纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果是______米． 14. 若，则________． 15. 等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个等腰三角形的周长是______． 16. 命题：“若，，则”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 17. 如图，中，D、E分别是，的中点，的面积是16，则阴影部分的面积是 ___________． 18. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是___________． 三、解答题（共66分） 19. ． 20. 解分式方程：； 21. 先化简，再从，1，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 22. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种植A、B两种树苗共1000株，其中A树苗的数量比B树苗的数量的一半多220株． （1）请问A、B两种树苗各多少株： （2）该村将46名青年志愿者分成两队种植这批树苗．其中第一队种植A树苗，每人每天平均能种植A树苗24株；第二队种植B树苗，每人每天平均能种植B树苗20株．要使两队同时完成任务，第一队应安排多少名青年志愿者． 23. 如图，，点D在边上，与相交于点O； （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC． （1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由； （2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB． ①求证：△BPM是等腰三角形； ②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）． 25. 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，分式是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，. (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2) 若分式的值为整数，求的整数. 26. 已知，平分，平分， （1）求的度数． （2）如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； （3）如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 箴言龙光桥学校2024年下学期期中质量检测卷数学 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式，，，，，其中分式共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义“如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义即可得． 【详解】解：是多项式，属于整式， 和都是单项式，属于整式， 和都是分式， 所以分式共有2个， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，逐一判断选项，即可． 【详解】A. a2、a3不是同类项，不能合并，故该选项错误， B. ，故该选项正确， C. ，故该选项错误， D. ，故该选项错误， 故选B． 【点睛】本题主要考查合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则，熟练掌握上述运算法则，是解题的关键． 3. 若三角形三个内角度数之比为，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】若三角形三个内角的度数之比为1：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是20°，60°，100°，则这个三角形一定是钝角三角形． 【详解】设三角分别为x，3x，5x， 依题意得x+3x+5x=180°， 解得x=20°， ∴三个角的度数分别为20°，60°，100°， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选C． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，熟练掌握这个定理是解答此题的关键． 4. 分式的值为0，则x的值是（ ） A. 0 B. C. 4 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得． 故选：B 5. 如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（   ） A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，③中有两个完整的角和它们的夹边，利用可以得到唯一三角形，故最省事的是带③去； 故选C． 6. 如果把分式中的和都同时扩大倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小 D. 扩大倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，先根据题意列出算式，再根据分式的性质进行化简即可，能灵活运用分式的性质进行变形是解题的关键． 【详解】解：， 即如果把分式中的和都同时扩大倍，那么分式的值扩大倍， 故选：． 7. 如图，等边的两条高和相交于点O，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质，首先根据题意得到，，然后利用三角形外角的性质求解即可，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【详解】∵等边的两条高和相交于点O， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵不一定成立， ∴故C错误，符合题意，A、B、D正确，不符合题意． 故选：C． 9. 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，设每套《水浒传》连环画的价格为x元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设每套《水浒传》连环画的价格是元．则《三国演义》连环画的价格是元．根据“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍”列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 3或 B. 3或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根”解出的值，再根据分式方程无解的概念即可求解，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵关于的分式方程无解， ∴且，或， ∴且，或， 当时，， 解得，， ∴的值为或，   故选：A ． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的整数指数幂，积的乘方，根据积的乘方法则“先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘”，即可求解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 计算：_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同分母的分式加法法则进行计算即可． 【详解】解： = = =1 故答案为：1 【点睛】本题考查了同分母分式的加法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13. 纳米是非常小的长度单位，纳米米，某种病菌的长度约为纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果是______米． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：纳米． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 14. 若，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意得到且，然后把代入中求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确得到是解题的关键． 15. 等腰三角形的一边长是，另一边长是，则这个等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为时，，所以不能构成三角形； 当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：（cm）． 故答案为：． 16. 命题：“若，，则”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题，进行求解即可． 【详解】解：“若，，则”的逆命题为：“若，则，”，这是一个假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题主要考查了判定命题的真假和命题的逆命题，解题的关键在于能够熟练掌握逆命题的定义． 17. 如图，中，D、E分别是，的中点，的面积是16，则阴影部分的面积是 ___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中线将三角形分成面积相等的两部分可知：是阴影部分的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，由此可解． 【详解】解：点D、E分别是，的中点， ，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查根据三角形中线求面积，掌握“三角形中线将三角形分成面积相等的两部分”是解题的关键． 18. 如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是___________． 【答案】2或4##或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ， ∴，， 解得，； ②当时 ∴，， 解得，， 综上所述，t的值是2或4， 故答案为：2或4． 三、解答题（共66分） 19. ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和幂的运算，熟练掌握幂的运算和有理数的混合运算是解题的关键． 先利用幂的运算化简，再根据有理数混合运算法则进行计算． 【详解】解：原式 ． 20. 解分式方程：； 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，首先，找最简公分母；其次，去分母化为整式方程；再次，解整式方程；最后，验根，把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否是零；使最简公分母为零的根是原方程的增根，舍去；使最简公分母不为零的根是原方程的根． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 21. 先化简，再从，1，2中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】先把括号内的整式写成分母是的分式，然后相加减，再把除式的分母分解因式，把除法化成乘法，进行约分，最后判断取何值分式有意义，并代入化简后的式子进行计算即可．本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分和几种常见的分解因式的方法． 【详解】解：原式 ， 当和2时，分式无意义， 只能取1， 当时，原式． 22. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种植A、B两种树苗共1000株，其中A树苗的数量比B树苗的数量的一半多220株． （1）请问A、B两种树苗各多少株： （2）该村将46名青年志愿者分成两队种植这批树苗．其中第一队种植A树苗，每人每天平均能种植A树苗24株；第二队种植B树苗，每人每天平均能种植B树苗20株．要使两队同时完成任务，第一队应安排多少名青年志愿者． 【答案】（1）A树苗种了480株，B树苗种了520株 （2）第一队应安排20名青年志愿者种植 【解析】 【分析】（1）设A树苗种了x株，B树苗种了y株，根据题意列出方程组并解之即可； （2）设第一队应安排z名青年志愿者种植，则第二队有名青年志愿者种植，根据题意列出分式方程即可． 【小问1详解】 解：设A树苗种了x株，B树苗种了y株， 根据题意得：， 解得：， 答：A树苗种了480株，B树苗种了520株； 【小问2详解】 解：设第一队应安排z名青年志愿者种植，则第二队有名青年志愿者种植， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且满足题意； 答：第一队应安排20名青年志愿者种植． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与分式方程的实际应用，根据题意列出方程或方程组是关键． 23. 如图，，点D在边上，与相交于点O； （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质： （1）由“”可证； （2）由，根据三角形的外角性质，即可求的度数． 熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC． （1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由； （2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB． ①求证：△BPM是等腰三角形； ②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）． 【答案】（1） △AMN是是等腰三角形， 理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵MN∥BC， ∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴AM＝AN， ∴△AMN是等腰三角形； （2） ①证明：∵BP平分∠ABC， ∴∠PBM＝∠PBC， ∵MN∥BC， ∴∠MPB＝∠PBC ∴∠PBM＝∠MPB， ∴MB＝MP， ∴△BPM是等腰三角形； ②a﹣b． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，由平行线的性质得到∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，于是得到∠AMN=∠ANM，根据等角对等边即可证得结论； （2）①由角平分线的定义得到∠PBM=∠PBC，由平行线的性质得到∠MPB=∠PBC，于是得到∠PBM=∠MPB，根据等角对等边即可证得结论； ②由①知MB=MP，同理可得：NC=NP，故△AMN的周长=AB+AC，再根据已知条件即可求出结果． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 ①略． ②由①知MB＝MP， 同理可得：NC＝NP， ∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC， ∵△ABC的周长为a，BC＝b， ∴AB+AC+b＝a， ∴AB+AC＝a﹣b ∴△AMN的周长＝a﹣b． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，列代数式，能够灵活应用这些性质是解决问题的关键． 25. 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，分式是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，. (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2) 若分式的值为整数，求的整数. 【答案】（1）2﹣；（2）x=﹣2或0． 【解析】 【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】解：（1）由题可得，； （2）， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴x+1=±1， ∴x=-2或0． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 26. 已知，平分，平分， （1）求的度数． （2）如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； （3）如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论； （3）延长交于F，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，设，，根据，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交于F，     ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $