精品解析：辽宁省沈阳市第一三四中学2024—2025学年八年级下学期4月月考数学试卷

沈阳市第一三四中学2024-2025学年度下学期八年级数学学科4月份核心素养学情调研 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我校积极开展“师生参与垃圾分类，共享环保低碳生活”宣传活动．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾进行分类，分别投入相应标识的收集容器内．下面有关垃圾分类的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是　　 A. B. C. D. 3. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是(　 　) A B. C. D. 6. 分解因式时，应提取的公因式是　　 A. 3xy B. C. D. 7. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列结论中正确的个数是（ ） ①AD是的平分线；②；③；④点D在的垂直平分线上；⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的一个内角为，则它的底角为________． 12. 已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为______． 13. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．（不添加字母和辅助线） 14. 2025年3月，第18届国际田径联合会世界室内田径锦标赛在南京举办，比赛期间某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元价格出售，锦标赛结束后，商店准备将这批服装降价处理，打x折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式：______． 15. 如图，在 Rt△ABC 中，C 为直角顶点，∠ABC=20°，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至 OP，当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为________________． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）； （2） 18. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿，某商家推出A、B两种类型哪吒纪念娃娃．已知A种娃娃进价元，每个B种娃娃进价元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进A、B两种娃娃共个，那么最多购买A种娃娃多少个？ 19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，求的值是多少？ 20. 阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），请完成以下画图并填空． （1）将先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于原点O成中心对称； （3）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的，则的坐标为________． 22. 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系，即可求得的长为______； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳市第一三四中学2024-2025学年度下学期八年级数学学科4月份核心素养学情调研 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我校积极开展“师生参与垃圾分类，共享环保低碳生活”宣传活动．生活垃圾应按照厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾进行分类，分别投入相应标识的收集容器内．下面有关垃圾分类的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 若，则下列不等式正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐个分析即可. 【详解】若，则 ,,, . 故选C 【点睛】本题考核知识点：不等式的性质.解题关键点：熟记不等式的基本性质. 3. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 【详解】A、是因式分解，选项正确； B、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； C、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 4. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 5. 不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是(　 　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】2x-6＞0， 移项得：2x＞6， 把x的系数化为1：x＞3， 故选A． 6. 分解因式时，应提取公因式是　　 A. 3xy B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：6x3y2-3x2y3=3x2y2（2x-y）， 因此6x3y2-3x2y3的公因式是3x2y2． 故选D. 【点睛】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的. 7. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用以上知识点对各选项分别判断，即可求解． 【详解】解：A、由，设，则，，，得，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、由，得，根据三角形内角和定理，，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、由，可得，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、由，得最大角，不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC； 又∵AB+BC+AC=8， ∴四边形ABFD周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10． 故选C． 9. 如图，函数与图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 10. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列结论中正确的个数是（ ） ①AD是的平分线；②；③；④点D在的垂直平分线上；⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知平分，判断①，三角形的内角和定理，结合角平分线求出，进而求出，判断②，等角对等边判断③和④，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，判断⑤． 【详解】解：由作图可知：平分，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，，，故②③正确； ∴点D在的垂直平分线上，，故④正确，⑤错误； 故选C． 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 等腰三角形的一个内角为，则它的底角为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查是等腰三角形的性质，由于等腰三角形的一个内角为，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：分以下两种情况： ①当是顶角时，底角； ②当是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为：． 12. 已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据长方形的周长和面积，可以得到和的值，然后将所求式子因式分解，即可求得所求式子的值． 【详解】解：，分别是长方形长和宽，它的周长为，面积为， ，， 即， ， 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．（不添加字母和辅助线） 【答案】AB=DC或AC=DB 【解析】 【分析】:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据定义添加条件即可． 【详解】∵：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 又∵ , ∴再添加：或即可证明 故答案为：或 【点睛】本题考查证明直角三角形全等的方法，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解题关键． 14. 2025年3月，第18届国际田径联合会世界室内田径锦标赛在南京举办，比赛期间某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，锦标赛结束后，商店准备将这批服装降价处理，打x折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列不等式，根据利润等于售价减进价，等于进价乘以利润率，结合每件衣服的利润不低于，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，； 故答案为：． 15. 如图，在 Rt△ABC 中，C 为直角顶点，∠ABC=20°，O 为斜边的中点，将 OA 绕着点 O 逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至 OP，当△BCP 恰为轴对称图形时，θ的值为________________． 【答案】40°或 100°或 70° 【解析】 【分析】如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×50°=100°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=70°． 【详解】∵△BCP恰为轴对称图形， ∴△BCP是等腰三角形， 如图1，连接AP， ∵O为斜边中点，OP=OA， ∴BO=OP=OA， ∴∠APB=90°， 当BC=BP时， ∴∠BCP=∠BPC， ∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°， ∴∠ACP=∠APC， ∴AC=AP， ∴AB垂直平分PC， ∴∠ABP=∠ABC=20°， ∴θ=2×20°=40°， 当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H， ∵BC=CP，BO=PO， ∴CH垂直平分PB， ∴∠CHB=90°， ∵OB=OC， ∴∠BCH=∠ABC=20°， ∴∠CBH=70°， ∴∠OBH=50°， ∴θ=2×50°=100°； 当PB=PC时，如图3， 连接PO并延长交BC于G，连接OC， ∵∠ACB=90°，O为斜边中点， ∴OB=OC， ∴PG垂直平分BC， ∴∠BGO=90°， ∵∠ABC=20°， ∴θ=∠BOG=70°， 综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40°或100°或70°， 故答案为40°或100°或70°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 三、解答题 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 17. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）； （2） 【答案】（1），图见解析 （2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式（组）的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）去括号，移项，合并，系数化1，进行求解后，在数轴上表示出解集即可； （2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ∴； 在数轴上表示解集如图： 【小问2详解】 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集如图： 18. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿，某商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知A种娃娃进价元，每个B种娃娃进价元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进A、B两种娃娃共个，那么最多购买A种娃娃多少个？ 【答案】个 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系建立不等式，并通过解不等式找到符合实际意义的整数解．设最多购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个，列不等式，解得：，再取其中的最大整数值，即可求解． 【详解】解：设最多购买A种娃娃个，则购买B种娃娃为个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为， 答：最多购买A种娃娃个． 19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，求的值是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造出含角的直角三角形是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴ 20. 阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解方法的应用，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． （1）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后求的值； （2）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后根据三角形三边关系即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出边长的最大值，进而求出的周长的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ，， ，， ； 【小问2详解】 ， ， ， ，， ，， 的边长的范围为：， 即， 、、都是正整数， 的最大值为， 的周长的最大值为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），请完成以下画图并填空． （1）将先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于原点O成中心对称的； （3）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的，则的坐标为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）作出A、B、C关于原点对称的对应点、、，顺次连接即可； （3）将点A，B，C绕点O顺时针旋转得到点，，，再首尾顺次连接得出图形，然后写出坐标即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 如图所示，即为所求； ∴的坐标为， 故答案为:． 22. 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【小问1详解】 解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． 【小问2详解】 解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴， ∴m的整数解为． 23. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系，即可求得的长为______； 【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地ABC，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量，，，请直接写出线段的长． 【答案】5；【理解应用】，理由见解析；【类比迁移】． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． 根据提示易得等边三角形和直角三角形，继而得解； 理解应用：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解； 类比迁移：通过旋转易得等腰直角三角形和直角三角形，继而得解． 【详解】解：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：5； 理解应用：解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴在中，，即， ； 类比迁移：解：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ∴点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$