精品解析：广东省广州市越秀区广州大学附属中学2024-2025学年下学期九年级4月质量检查数学试题

2024-2025学年九年级4月质量检查数学（问卷） 考试时间：120分钟 满分120分 命题：蒋吟秋 审题：李幸儿 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在，，，2中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：，，2是有理数，是无理数， 故选：B． 2. 根据教育部教育考试院及官方公布的消息，2024年全国高考报名人数共有1342万人，1342万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 3. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，正确判别视图是解题的关键，确定出三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同， 故选A． 4. 如图，在的正方形网格中的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，结合图形构造直角三角形是解题的关键．过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为1，则，，利用勾股定理求出的长，再利用正弦的定义即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为， 设小正方形的边长为1，则，， ， 在中，， ． 故选：D． 5. 学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入扇形的面积公式直接进行计算即可． 【详解】解：钢板的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，解答本题的关键是熟练记忆扇形的面积的计算公式及公式内字母表示的含义． 6. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点B、C分别落在直线a、b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据已知条件得出 ，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 7. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 8. 2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题列分式方程，设原计划每天整改千米，得到实际施工时每天整改千米，由等量关系结果提前5天完成这一任务，即可列出分式方程，读懂题意，准确找到等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设原计划每天整改千米，实际施工时每天整改千米，则 ， 故选：B． 9. 物理课上，王老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B漏出水面的高度与铁块A的质量，可得它们之间满足一次函数关系，记录数据如下，据此可知当铁块A的质量为时，木块B漏出水面的高度h为（ ） 实验次数 一 二 三 铁块A的质量 25 50 75 高度 45 40 35 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用待定系数法求出高度与铁块的质量的关系式是解此题的关键．设，利用待定系数法求出，当时，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， 将，代入解析式得：， 解得：， 高度与铁块的质量的关系式为：， 当时，， 当铁块质量为时，木块浮在水面上的高度为， 故选：B． 10. 已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题． 【详解】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 如图， 可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点， ， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键． 先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 13. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表可得共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种，进而根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，共2种， 两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 故答案为：． 14. 已知一元二次方程的两根为，，则________． 【答案】54 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，．根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式变形计算即可得到答案 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴． 故答案为：54． 15. 如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，中点坐标，矩形的性质，求出矩形的面积是解题的关键； 根据题意，可设出点P、M的坐标，然后利用反比例函数的性质和矩形的性质即可求得k的值． 【详解】解：反比例函数的图象恰好经过点M、P， 设点P的横坐标为a，则纵坐标为，点M的横坐标为b，则纵坐标为， 在矩形和矩形中，轴，轴， M为的中点， 点C的横坐标为b，则纵坐标为， A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，阴影部分面积为8， ，，，， 阴影面积， 解得：， 故答案为：8. 16. 如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】由题意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，则问题可判定；对于②：把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，则有HF=EF，则可判定；对于③：连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易证△AOP∽△ABF，进而问题可求解；对于④：过点A作AN⊥EF于点N，则由题意可得AN=AB，若△AEF的面积为定值，则EF为定值，进而问题可求解；对于⑤由③可得，进而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°， ①∵， ∴由四边形内角和可得， ∴点A、B、F、P四点共圆， ∴∠AFP=∠ABD=45°， ∴△APF是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示： ∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE， ∴， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AHF（SAS）， ∴HF=EF， ∵， ∴，故②正确； ③连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，如图所示： ∵点O是对角线的中点， ∴OB=OD，， ∴OP=OM，△AOB等腰直角三角形， ∴， 由①可得点A、B、F、P四点共圆， ∴， ∵， ∴△AOP∽△ABF， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④过点A作AN⊥EF于点N，如图所示： 由②可得∠AFB=∠AFN， ∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF， ∴△ABF≌△ANF（AAS）， ∴AN=AB， 若△AEF的面积为定值，则EF为定值， ∵点P在线段上， ∴的长不可能为定值，故④错误； ⑤由③可得， ∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG， ∴△APG∽△AFE， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述：以上结论正确的有①②③⑤； 故答案为①②③⑤． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先算平方差公式，立方根，以及特殊三角函数值，再计算即可得到答案． 详解】解： ． 18. 先化简再求值：，其中使反比例函数的图象分别位于第二、四象限． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后对分式进化简，然后再求解即可． 【详解】解：∵使反比例函数的图象分别位于第二、四象限， ∴， ∴ = =． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象与性质及分式的化简求值，熟练掌握反比例函数的图象与性质及分式的运算是解题的关键． 19. 如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论. 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与y轴的负半轴交于点B，且． （1）求a，k和b的值； （2）请直接写出不等式的解集． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． （1）根据点坐标求出反比例函数解析式，和点的坐标，待定系数法求出一次函数的解析式； （2）图象法解出不等式即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； ∵，，点B在y轴负半轴上， ∴点． 把点、代入中， 得， 解得：，即，； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数解析式为；一次函数的解析式为； 不等式，即：反比例函数在第一象限内，反比例函数值大于一次函数值， ∵， 如图： 令，则， ∴点； 由图象知：反比例函数图象在一次函数图象的上方在点的左侧，直线与x轴交点的右侧， ∴不等式的解集为：． 21. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）在图中画出沿x轴翻折后的； （2）以点为位似中心，将放大到原来的2倍，得到，在网格内画出； （3）与的周长比是________，与的面积比是________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，作位似图形，相似图形的性质，掌握坐标与图形的特点，位似图形的作法及相似图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似比作图即可； （3）根据坐标与图形可得点的坐标，由位似比即为相似比，根据周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 解：如图，为所求； 【小问2详解】 解：如图，为所求； ； 【小问3详解】 解：∵位似比为， ∴周长比为，面积比为，即， 故答案为：． 22. 在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分． （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______； （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值． 【答案】（1）；； （2）被调查同学阅读量的平均数为8.7本，中位数为本； （3）的最大值为3． 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图、条形统计图、中位数及众数，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解答． （1）由扇形统计图和条形统计图可知读9本课外读物的人数8且占，可以求出总人数，然后求出8本占总人数的百分比，最后乘以360即可求出答案； （2）根据平均数的算法及中位数的算法即可作答； （3）先确定原来阅读量的众数为9本，再根据阅读量的众数没改变，列不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由统计图可得平均数为本， 被调查同学阅读量的平均数为8.7本， 该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本， 阅读量的中位数为（本） 【小问3详解】 解：原来阅读量的众数为9本 ，解得， 为正整数， 的最大值为3． 23. 如图，在中，，以为直径的圆O交于点，点是边上的中点，连接． （1）求证：与圆O相切； （2）连接交于点，若圆O的半径为4，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质以及中位线定理的运用： （1）连接，先证，再证明，即可证出，即可证出与相切； （2）连接，先求出的长，证明与相切，根据相似三角形的性质求出，再证明是的中位线，得出比例式即可求出的值． 【小问1详解】 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是半径 ∴与相切； 【小问2详解】 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴AC=， ∵， ∴与相切， ∴， ∵ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴， ∵O是的中点，D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图，抛物线：经过点和点．已知直线的解析式为．． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图1，若直线将线段AB分成1：3两部分，求k值； （3）如图2，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为． ①直接写出新图象，当y随x的增大而增大时x的取值范围； ②直接写出直线与图象有四个交点时k的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）①当或时新图象随的增大而增大；②． 【解析】 【分析】（1）先求点再利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）先确定分点的坐标，代入直线的解析式求的值； （3）①观察图象上升的部分对应的范围； ②直线过，利用数形结合观察有四个交点的情形，求出临界值，再写的范围． 【小问1详解】 直线的解析式为， ， 经过点和点， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设直线与轴的交点为， 点和点， ， 直线将线段分成两部分， 或， 或，代入得或； 【小问3详解】 ①的对称轴是直线，点和点， 当或时新图象随的增大而增大； ②如图所示，当直线夹在两条虚线之间时直线与图象有四个交点，把代入得； 的顶点是， 将抛物线在轴上方的部分沿轴折叠到轴下方后，顶点变为， 折叠后的抛物线表达式为， 联立和得， ，即， △， 或， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，结合了对称变换，渗透了数形结合的思想，对于（3）②，关键是找到并求出的临界值． 25. 如图，在中，，，是边上的动点（不与点，重合），是边上的动点（不与点重合），且，过点作，交射线于点，连接，过点作，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，连接，若，求的值； （3）连接，，在点，的运动过程中，对于每个不同的，线段的长度都存在一个最小值，求此时的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，点与点重合，证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）过点作，垂足为，首先证明是等腰直角三角形，易得，设，可得，再证明，由相似三角形的性质可得，进而可得，结合可证明，可得，然后证明，易得，即有，求得，，即可求得答案； （3）取的中点，连接，，则，首先确定点在以点为圆心、为直径的圆上，并作出图形，由题可知，当一定时，点随着点运动的轨迹是，圆心是点，连接，，，，再画出，对于每个不同的，线段都存在一个最小值，则，，三点共线，然后求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意可知，当时，点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过点作，垂足为， 则， ∵在中，，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，取的中点，连接，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴点在以点为圆心、为直径的圆上， 画出如图2所示， 由题可知，当一定时，点随着点P运动的轨迹是，圆心是点，连接，，，， 画出如图2所示．对于每个不同的，线段都存在一个最小值，则，，三点共线，如图3所示， 在中， ∵， ∴， 在中，同理可得， 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 由对称性可知，垂直平分， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴． 中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、圆周角等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级4月质量检查数学（问卷） 考试时间：120分钟 满分120分 命题：蒋吟秋 审题：李幸儿 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在，，，2中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 根据教育部教育考试院及官方公布消息，2024年全国高考报名人数共有1342万人，1342万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 如图，在的正方形网格中的顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 学校图书馆阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点B、C分别落在直线a、b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 8. 2023年3月底，国道深圳宝安段(下称“107国道”)正式启动先行段的市政化改造，它纵贯宝安区，沿线是广深科技创新走廊的核心地段，千余家国家高新技术企业密布其间，被视为“鹏城一翼”“湾区动轴”．它全长为31.4千米，这条94岁的国道路面需整改，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加，结果提前5天完成这一任务，设原计划每天整改千米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 物理课上，王老师让同学们做这样的实验：在放水的盆中放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块B全程保持漂浮状态，通过测量木块B漏出水面的高度与铁块A的质量，可得它们之间满足一次函数关系，记录数据如下，据此可知当铁块A的质量为时，木块B漏出水面的高度h为（ ） 实验次数 一 二 三 铁块A的质量 25 50 75 高度 45 40 35 A. B. C. D. 10. 已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 13. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是__________． 14. 已知一元二次方程的两根为，，则________． 15. 如图，矩形、矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为的中点，反比例函数（，k为常数，）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为________． 16. 如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 先化简再求值：，其中使反比例函数图象分别位于第二、四象限． 19. 如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与y轴的负半轴交于点B，且． （1）求a，k和b的值； （2）请直接写出不等式的解集． 21. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）在图中画出沿x轴翻折后的； （2）以点为位似中心，将放大到原来的2倍，得到，在网格内画出； （3）与的周长比是________，与的面积比是________． 22. 在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分． （1）条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______； （2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数； （3）随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值． 23. 如图，在中，，以为直径的圆O交于点，点是边上的中点，连接． （1）求证：与圆O相切； （2）连接交于点，若圆O的半径为4，，求的值． 24. 如图，抛物线：经过点和点．已知直线的解析式为．． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图1，若直线将线段AB分成1：3两部分，求k的值； （3）如图2，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为． ①直接写出新图象，当y随x增大而增大时x的取值范围； ②直接写出直线与图象有四个交点时k的取值范围． 25. 如图，在中，，，是边上的动点（不与点，重合），是边上的动点（不与点重合），且，过点作，交射线于点，连接，过点作，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，连接，若，求的值； （3）连接，，在点，的运动过程中，对于每个不同的，线段的长度都存在一个最小值，求此时的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$