精品解析：广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试题

惠州市惠阳区丰湖高级中学 2024-2025学年第二学期第一次段考数学试卷 一、单选题（每题5分，总40分） 1. 下列各量中是向量的为（ ） A. 时间 B. 体积 C. 重力 D. 密度 2. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A B. C. 1 D. 2 3. 化简得（ ） A. B. C. D. 4. 复数在复平面点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知向量 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 7. 在中，，则的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 8. 在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，总18分） 9. 在中，已知，，，则角的度数为（ ） A. B. C. 30° D. 10. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B C. D. 在复平面内对应点在第一象限 11. 正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为 B. 最大值为1 C. 最大值是 D. 的最大值为 三、填空题（每题5分，总15分） 12. 已知向量 ，则 _____. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______． 14. 已知为复数，且，则的最大值为____________. 四、解答题（总77分） 15. 已知i为虚数单位，计算以下各题： （1） （2） 16. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 17. （1）在中，内角所对的边分别为，且，且.求角A，C的大小； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求的面积. 18. 锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求周长取值范围. 19. 如图，与存在对顶角，，，且. （1）试指出点O在上的具体位置，并说明理由； （2）若，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州市惠阳区丰湖高级中学 2024-2025学年第二学期第一次段考数学试卷 一、单选题（每题5分，总40分） 1. 下列各量中是向量的为（ ） A. 时间 B. 体积 C. 重力 D. 密度 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义判断可得出结论. 【详解】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量. 故选：C. 2. 已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解可得. 【详解】因为（为虚数单位）是纯虚数， 所以，解得. 故选：D 3. 化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加法、减法法则求解. 【详解】. 故选：A 4. 复数在复平面的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限. 故选：D. 5. 已知向量 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可得出， 解出即可. 【详解】，∴ ∴. 故选： C. 6 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示的公式即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 故选：D 7. 在中，，则的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理计算出边，再由面积公式计算即可得. 【详解】， ， 即， 解得或（舍）， ， ， . 故选：C 8. 在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围. 【详解】由和，可得， 由正弦定理，，即， 因，故得， 因锐角三角形，故，则有，从而，. 又由正弦定理，， 即得 于是 ， 由可得， 则，故， 故的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题. 解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可. 二、多选题（每题6分，总18分） 9. 在中，已知，，，则角的度数为（ ） A. B. C. 30° D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦定理计算求出角即可. 【详解】由正弦定理可得, , 或 故选：AB 10. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD. 【详解】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误. 故选：ABC 11. 正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为 B. 最大值为1 C. 最大值是 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数性质即可对选项进行判定. 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ，，，，，设，， 则，，，由， 得，则，解得， 对于A，，其中锐角由确定， ，则当时，，A错误； 对于B，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，其中锐角由确定， ，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，，则 ，而，当时，取得最大值为，D错误. 故选：BC 三、填空题（每题5分，总15分） 12. 已知向量 ，则 _____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合数量积运算计算求解. 【详解】因为向量  ，则 ， 所以. 故答案为：1. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角化简得解. 【详解】在中，由及正弦定理，得，而， 所以. 故答案为： 14. 已知为复数，且，则的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设，得到，则，利用复数的模的几何意义，即可得解. 【详解】由题意设，则 ，，即， 即的模的轨迹可理解为以为圆心，半径为2的圆. 则，可理解为求点到点之间的距离， 数形结合可知，的最大值为4． 故答案为： 四、解答题（总77分） 15. 已知i为虚数单位，计算以下各题： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的加减法即可得到答案； （2）根据复数的除法即可得到答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 . 16. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值； （2）利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得向量在向量方上的投影向量. 【小问1详解】 ∵，且 ，则. 【小问2详解】 由（1）得 所以在上的投影向量为. 17. （1）在中，内角所对的边分别为，且，且.求角A，C的大小； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求的面积. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出角，再求角即可； （2）由余弦定理结合题设条件求出，即可求得的面积. 【详解】（1）因，则，由余弦定理，， 因，则，； （2）由余弦定理，，代入整理得， 因则，解得， 故的面积为 18. 锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再由两角和的正切公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理得到，，从而转化为关于的三角函数，再结合的范围计算可得. 【小问1详解】 由， 可得， 又为锐角三角形，则， 所以， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理知，， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以， 故的面积， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 由正弦定理知， 所以，，则的周长为. 因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 故周长的取值范围为. 19. 如图，与存在对顶角，，，且. （1）试指出点O在上的具体位置，并说明理由； （2）若，求的长. 【答案】（1）O为中点，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过设线段长度，利用余弦定理分别表示出和，再根据得到等式，最后化简等式得出线段中点的结论.（2）先通过证明三角形全等得到边与角的关系，再利用三角函数公式化简等式求出和，进而求出，最后根据正弦定理求出的长度. 小问1详解】 O为中点，设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：.故O为中点. 【小问2详解】 如图： 过D点做，交与E. 则. 由. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$