精品解析：河北省邢台市名校协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023级高二年级考试 数学试卷 试卷满分：150 考试时间：150分钟 一､单项选择题 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 2. 下列说法中，错误的命题是（ ） A. 在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C. 设随机变量服从正态分布，则 D. 对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小 3. 某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则为（ ） A. 180 B. 150 C. 120 D. 200 5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 A. 40种 B. 60种 C. 100种 D. 120种 6. 已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（ ） X 1 2 3 P a b 2b—a A. B. 3 C. 6 D. 5 7. 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲盒中有2个球且都为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中 （1）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为； （2）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题 9. 在某次数学测试中，学生的成绩，则（ ） A. B. 若越大，则越大 C. D. 10. 下列选项中正确的有（ ）. A. 随机变量，则 B. 将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”， “至少出现一个6点”，则概率 C. 口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球个数为随机变量.则的数学期望 D. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为 11. 已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第5次取出的球是红球的概率为 D. 前3次取球恰有2次取到红球的概率是 三､填空题 12. 若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为________． 13. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________. 14. 某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是__________名. 附：若随机变量服从正态分布，则， 四､解答题 15. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） （1）无重复数字的四位偶数； （2）无重复数字且为5的倍数的四位数； （3）无重复数字且比1230大的四位数． 16. 已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求： （1）展开式中二项式系数最大项项； （2）展开式中系数最大的项； （3）展开式中所有有理项. 17. 某市为吸引大学生人才来本市就业，大力实行人才引进计划，提供现金补贴，为了解政策的效果，收集了2011-2020年人才引进就业人数数据（单位：万），统计如下（年份代码1-10分别代表2011-2020年）其中，，,. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 引进人数 3.4 5.7 7.3 8.5 9.6 10.2 10.8 11.3 11.6 11.8 （1）根据数据画出散点图，并判断，，，哪一个适合作为该市人才引进就业人数y关于年份 代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） 5.5 9.02 2.14 1.51 82.5 4.84 72.2 967 1841 （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（所有过程保留两位小数） （3）试预测该市2022年的人才引进就业人数. 参考公式：，. 18. 2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关； 项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计 捐款超过500元 60 捐款不超过500元 10 总计 100 （2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望和方差． 附：，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响. （1）求甲前3次答题的得分之和为70分的概率． （2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为． （ⅰ）求，，，并猜想当时，与之间的关系式； （ⅱ）若，求n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二年级考试 数学试卷 试卷满分：150 考试时间：150分钟 一､单项选择题 1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 2. 下列说法中，错误的命题是（ ） A. 在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C. 设随机变量服从正态分布，则 D. 对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小 【答案】B 【解析】 【分析】由的值与回归模型的关系可判断A选项；由相关系数的概念可判断B，利用正态分布密度曲线的对称性可判断C选项；利用独立型检验可判断D选项. 【详解】对于A：在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好，正确； 对于B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，错误； 对于C：由正太密度曲线的对称性可知：，正确； 对于D：对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小，正确. 故选：B 3. 某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出事件、的概率，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可得， 事件男生甲与两名女生被选中，则， 因此，. 故选：B. 4. 已知，则为（ ） A. 180 B. 150 C. 120 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合通项公式即可求解. 【详解】因， 其通项公式为：， 令，可得：. 故选：A 5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 A. 40种 B. 60种 C. 100种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，首先从5人中抽出两人星期五参加活动，有种情况， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况， 则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 =60种. 故选B． 6. 已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（ ） X 1 2 3 P a b 2b—a A. B. 3 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率和为得到求得，根据分布列求得，求的最大值，再求的最大值即可. 【详解】因为分布列中概率和为，故可得，解得， 又， 则， 又，故可得， 则当时，的最大值为， 又，故的最大值为. 故选：C. 7. 从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据表中的数据求出，代入中求出的值，从而可得，而，所以，则可求得，再将代入可求得答案 【详解】由表格数据知：，， 代入，得， ，即， ，时，， 故选：B． 8. 已知甲盒中有2个球且都为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中 （1）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为； （2）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得两种情况下的,,,比较可得结论. 【详解】从乙盒中取1个球时，甲盒红球个数记为，则的所有可能取值为2，3， 则 从乙盒中随机抽取1个篮球放入甲盒中的概率是,乙盒中随机抽取1个红球放入甲盒中的概率是, 从乙盒中取2个球时，甲盒红球数记为，则的可能取值为， , ． 故选：A． 二､多项选择题 9. 在某次数学测试中，学生的成绩，则（ ） A. B. 若越大，则越大 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性结合选项逐个分析可得答案. 【详解】因为，所以，A正确； 当时，，当时，，B不正确； 因为，所以，C正确； 根据正态曲线的对称性，D不正确. 故选：AC. 10. 下列选项中正确的有（ ）. A. 随机变量，则 B. 将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”， “至少出现一个6点”，则概率 C. 口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量.则的数学期望 D. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用二项分布定义求解即可；对于B，代入条件概率公式即可；对于C，写出的所有可能取值，列出分布列计算即可；对于D，代入次独立重复试验中恰好发生次的概率公式即可． 【详解】对于A，随机变量服从二项分布，． 则，故A正确； 对于B，根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率， 即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率， “至少出现一个6点”的情况数目为， “两个点数都不相同”则只有一个6点，共种， 故，故B错误； 对于C，的所有可能取值为0，1，2， ， 可得，，． 的分布列 0 1 2 ，故C正确； 对于D，某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为，故D错误． 故选：AC． 【点睛】本题考查了二项分布、条件概率、相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式、次独立重复试验中恰好发生次的概率等，知识点较多，但难度不大，仔细分析每一个选项即可． 11. 已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 第5次取出的球是红球的概率为 D. 前3次取球恰有2次取到红球的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意求出，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，即可求出第次取出红球的概率，即可得到，从而可判断各个选项. 【详解】依题意， 设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为， 对于第次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为， 对应，即，故B错误； 所以， 令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以， 故，所以，故选项A，C正确； 第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为， 第3次取出球是红球的概率为， 前3次取球恰有2次取到红球的概率是， 故D错误； 故选：AC． 三､填空题 12. 若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为________． 【答案】15 【解析】 【详解】试题分析：在二项展开式中二项式系数和为，故，，展开式通项为，要求常数项，则令，，因此常数项为. 考点：二项展开式的通项与二项式系数. 13. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得. 【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件， 设学生答对试题为事件，则，，， ，，， 所以， 所以. 故答案为： 14. 某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是__________名. 附：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】1587 【解析】 【分析】由本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，，87分以上共有228人，结合原则，求得，再由甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，利用概率公式求解即得. 【详解】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布， 由题意可得． ，而 即，解得． 甲市学生在该次考试中成绩为76分，且， 又，即． 学生在甲市本次考试的大致名次为1587名． 故答案：1587 四､解答题 15. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答） （1）无重复数字的四位偶数； （2）无重复数字且为5的倍数的四位数； （3）无重复数字且比1230大的四位数． 【答案】（1）个 （2）个 （3）个 【解析】 【分析】（1）分个位数字为0，2，4，三种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可； （2）分个位数字为0，5，两种情况分别应用排列计算结合分类加法原理计算即可； （3）分首位数字，百位数字，十位数字，个位数字比1230大分类讨论列排列数结合加法原理计算求解. 【小问1详解】 符合要求的四位偶数可分为两类． 第一类，0在个位时有个； 第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）． 【小问2详解】 符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个； 第二类：5在个位时有个． 故满足条件的四位数共有（个）． 【小问3详解】 符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个； 第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个； 第三类：形如124□，125□，共有个； 第四类：形如123□，共有个． 由分类加法计数原理知， 无重复数字且比1230大的四位数共有（个）． 16. 已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求： （1）展开式中二项式系数最大项的项； （2）展开式中系数最大的项； （3）展开式中所有有理项. 【答案】（1） （2）和 （3）和 【解析】 【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项； (2)设第项系数最大，列不等式组求，由此确定系数最大的项； (3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项. 【小问1详解】 因为展开式的通项公式为，， 所以 依题意得，即，由已知, 所以， 所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以或， 所以展开式中系数最大的项为和. 【小问3详解】 由为有理项知，为整数，得，， 所以展开式中所有有理项为和. 17. 某市为吸引大学生人才来本市就业，大力实行人才引进计划，提供现金补贴，为了解政策的效果，收集了2011-2020年人才引进就业人数数据（单位：万），统计如下（年份代码1-10分别代表2011-2020年）其中，，,. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 引进人数 3.4 5.7 7.3 8.5 9.6 10.2 10.8 11.3 11.6 11.8 （1）根据数据画出散点图，并判断，，，哪一个适合作为该市人才引进就业人数y关于年份 代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） 5.5 9.02 2.14 1.51 82.5 4.84 72.2 9.67 18.41 （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（所有过程保留两位小数） （3）试预测该市2022年的人才引进就业人数. 参考公式：，. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数据直接做图，并根据图判断函数类型； （2）根据回归方程计算公式和已知数据求解即可得出方程； （3）将代入回归方程即可求解． 【小问1详解】 图像 适合作为该市人才引进就业人数y关于年份 代码x的回归方程类型 【小问2详解】 （2） 【小问3详解】 （3）将x=12代入得． 18. 2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关； 项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计 捐款超过500元 60 捐款不超过500元 10 总计 100 （2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望和方差． 附：，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格数据见解析，能 （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，可补全表格数据；零假设：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元无关，计算出参照附值表可得答案； （2）由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，求出的可能取值且，可得分布列及、. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，补全表格数据如下： 项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计 捐款超过500元 60 20 80 捐款不超过500元 10 10 20 总计 70 30 100 零假设：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失否超过4000元无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ， 从而ξ的分布列为： 0 1 2 3 P ，. 19. 某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响. （1）求甲前3次答题得分之和为70分的概率． （2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为． （ⅰ）求，，，并猜想当时，与之间的关系式； （ⅱ）若，求n的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意，得到前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），进而求得得分之和为70分的概率； （2）（ⅰ）根据题意，分别求得，，，结合题意，得到，即可完成猜想； （ⅱ）由（i）得到为等差数列，求得，结合和 ，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），所以甲前3次答题的得分之和为70分的概率为. 【小问2详解】 解：（ⅰ）甲第1次答题得分20分，10分的概率分别为，则， 甲第2次答题得分40分，20分，10分的概率分别为， 则， 甲第3次答题得分80分，40分，20，10嗯分的概率分别为， 则， 当时，因为甲第次答题所得分数的数学期望为， 所以第次答对题所得分数为，答错题所的分数为分，其概率为， 所以， 可猜想：. （ⅱ）由（i）知数列是以15为首项，5为公差的等差数列， 根据等差数列的求和公式，可得， 当时，，当时，， 所以实数最小值为. 【点睛】方法点睛：对于离散型随机变量的期望与方差的综合问题的求解策略： 1、理解随机变量的意义，写出可能取得得全部数值； 2、根据题意，求得随机变量的每一个值对应的概率； 3、列出随机变量的分布列，利用期望和方差的公式求得数学期望和方差； 4、注意期望与方差的性质的应用； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$