精品解析：天津市第九十五中学2024-2025学年高一下学期第一次学习情况调查（4月）数学试题

九十五中学2024-2025学年度第二学期 第一次学习情况调查 高一年级数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】对复数进行运算化简得，再进行模的计算，即可得答案； 【详解】， 故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错. 【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确； 时，只说明向的长度相等，无法确定方向， 所以B，C均错； 时，只说明方向相同或相反，没有长度关系， 不能确定相等，所以D错. 故选：A. 【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题. 3. 已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共线建立等式，解得的值. 【详解】因与共线，所以存在实数使得，， 所以，即． 因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得， 故选：C． 4. 在中，角所对的边长分别为.若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，则，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以或. 故选：D. 5. 已知向量与夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，再根据在方向上的投影向量为计算可得. 【详解】因为向量与的夹角为，且，， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：C 6. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 7. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可以得到然后分与两种情况，若可直接判断，若，则得到，结合正弦定理边化角即可判断. 【详解】由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 8. 在中，内角的对边分别为，若，则角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析： 因为， 那么结合， 所以cosA==， 所以A=，故答案为A 考点：正弦定理与余弦定理 点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题. 9. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数的共轭复数为，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由复数的模的性质求解即可. 【详解】. 故答案为：. 11. 已知向量的夹角为30°，且，则______ 【答案】 【解析】 分析】根据模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 12. 已知向量，则 ， 夹角的余弦值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 13. 在中，，，，则边长________， 则的外接圆半径______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】求出的值，进而可得出的值，利用余弦定理可求出的值，再利用正弦定理可求出的值. 【详解】在中，，，， 所以，，则为钝角，且， 由余弦定理可得， 由正弦定理可得，故. 故答案为：；. 14. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是___________. 【答案】，且. 【解析】 【分析】考虑和，同向两种情况可得结果. 【详解】由得，又当时，，同向， 故的取值范围是，且. 故答案为：，且. 15. 在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以为的中点即，∵， ∴， ∴ 考点：向量线性运算与数量积的几何运算. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知复数 (i为虚数单位)，求适合下列条件的实数的值. （1）z为实数; （2）z为纯虚数. （3）若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由虚部为零，计算可得； （2）由实部为零，虚部不为零计算可得； （3）由实部小于零，虚部大于零计算可得. 【小问1详解】 由题意可得，解得或. 【小问2详解】 由题意可得，解得. 【小问3详解】 由题意可得，解得. 17. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求的值； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角恒等变换求得，由此得解； （2）利用（1）的结论求得，再结合三角形的面积公式以及余弦定理，即可得解． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 即， 因为，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 又，所以， 因为的面积为， 所以，得， 又，所以由，得， 所以，即， 又，所以. 19. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求向量的坐标； （3）若向量与相互垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可得答案； （2）设，由， 得，解方程组可得答案； （3）求出向量与在坐标，利用向量垂直的坐标运算可得答案. 小问1详解】 ，，. 【小问2详解】 设，由，且得， 解得，或，故，或. 【小问3详解】 若向量与相互垂直，则， 即，所以， 即，故． 20. 中，，. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）求出，再利用正弦定理即可； （3）根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可； 【小问1详解】 在中，，， 设，则，， ， 解得， ； 【小问2详解】 由（1）得，，， 由正弦定理得，即， 解得. 【小问3详解】 ，，是锐角，且， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九十五中学2024-2025学年度第二学期 第一次学习情况调查 高一年级数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则=（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 在中，角所对的边长分别为.若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知向量与夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 在中，内角的对边分别为，若，则角为 A. B. C. D. 9. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数的共轭复数为，则______. 11. 已知向量的夹角为30°，且，则______ 12. 已知向量，则 ， 夹角的余弦值为______________. 13. 在中，，，，则边长________， 则的外接圆半径______. 14. 已知向量，，且与夹角为锐角，则的取值范围是___________. 15. 在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_____. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知复数 (i为虚数单位)，求适合下列条件的实数的值. （1）z为实数; （2）z为纯虚数. （3）若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 17. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 18. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足. （1）求的值； （2）若，且的面积为，求的值. 19. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求向量的坐标； （3）若向量与相互垂直，求实数的值． 20. 中，，. （1）求； （2）求； （3）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $