上海市青浦区2024-2025学年高三下学期学业质量调研数学试题

2024学年第二学期高三年级学业质量调研 数学试卷 (时间120分钟，满分150分) 2025.04 学生注意： 1.本试卷包括试题纸和答题纸两部分， 2。在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题。 3。可使用符合规定的计算器答题. 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答 题纸的相应位置直接填写结果 1.已知集合A={x2x≤1，B={-1,0,1,2},则AnB= 2.函数y=2sinx-3cosx的值域是 3.1-ax)‘的二项展开式中x项的系数是20，则实数a的值 是」 68 4。如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株 2 12 2 挂果个数的中位数为 5.向量a=(310,118)在向量石=(0,2025)方向上的数量投影 是 6. 已知△ABC的角A、B、C对应边长分别为a=4,b=5,c=6, 则A=。 7.已知数列{a,}满足4=1，a,=2a,则∑a,= 8.已知随机变量5~N(3,σ2)(o>0),若P(521)=09,则P(3≤5≤5)= 9.已知复数z、w满足=2，z=(1+i)w(i是虚数单位)，则w+2的最大值是 10.已知点P是抛物线y2=8x上一动点，点2在圆(x-5)?+y2=1上运动，则P与2两点 间最短距离为 高三数学第1页共6页 11.道路通行能力指单位时间(1小时)内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏 导交通能力的指标。同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离，为了研究某 城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米： 假设2：所有车辆以相同的速度v(单位：千米/小时)匀速行驶： 假设3：安全距离d(单位：米)与车辆速度v近似满足d=3.2+0.6522v+0.01v2. 该城市道路通行能力的最大值为 (结果保留整数) D 2.如图，正方体ABCD-ABGA绕直线D8旋转行，直线 AB旋转至直线AB,则直线AB与直线B所成角的大小 为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且 只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.“函数y=sin(x+a)为偶函数”是“a=-交”的（). 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 14.若正数m,n,a均不为1，则下列不等式中与“m>n”等价的是(). A.am>a B.log。m>log.n C.m>n D.log a>log a 15.一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1,2,3,4.任意掷一次该四面体，观察它 与地面接触面上的数字，得到样本空间2=1,2,3,4，记事件A={1,2},事件B={1,3), 事件C=L,4,则（). A.事件A,B,C两两独立，事件A,B,C相互独立 B.事件A,B,C两两独立，事件A,B,C不相互独立 C.事件A,B,C不两两独立，事件A,B,C相互独立 D.事件A,B,C不两两独立，事件A,B,C不相互独立 高三数学第2页共6页 16.数学上用符号广4表示n个实数4,4，a,的积.设名，，m为，为， y0为互不相同的实数，已知】 +y小-2025=1.2.，20.则+y小 (). A.-2025 B.2025 C.-2026 D.2026 三，解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的 步骤 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 对于函数y=f(),其中f(x)=logx(a>0,a≠1). (1)若函数y=f(x)的图像过点(4,2)，求f(2x-2)<f(x)的解集： (2)求证：当a=√互时，存在x使得f(x+1)小f(小f(x+2)成等差数列. 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，已知四棱维S-ABCD的底面为菱形，∠BAD-子4S=CS. (1)求证：AC⊥平面BDS; (2)若AB=2,BS=V5,DS=1,求四棱锥 S-ABCD的体积. D 高三数学第3页共6页 19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分) 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师 选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统 计，制作了如下的2×2列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平a=0.01的独立性检验，能否认为参数调试与产品质址 有关联： (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调 试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X,求X的分 布和期望： (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其 中合格的件数为Y,求使事件“Y=k"的概率最大时k的取值 mad-bc) 参考公式及数据：X (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d P(x2名%)】 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 % 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 高三数学第4页共6页 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 面图，精题G:女+片10<b<22)与双曲线G克-少=1在第一象限的公共自 为A(x,yA)(x,>0).曲线厂由两段曲线组成：当x≤x,时，曲线厂与椭圆C重合，当x>x4 时，曲线厂与双曲线C2重合 (1)当x4=2时，求b的值： (2)已知b=√互，直线I过点D(2,0)与曲线Γ交于E、F两点，若AD.EF=2,求直线 I的方程： (3)已知A(2,),斜率为k(k21)的直线m过点P(0,1)与曲线T交于M、N两点，若 Sw=元an∠MN,求实数元的最大值. 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数y=C(实数c为常数)的导函数为y=0:反之· 若函数y=(x)的导函数为(x)=0,则(x)=c(实数c为常数)· 已知函数y=f(x)与y=g(x)定义域都是R,导函数分别为y=∫(x)和y=g(x). 若(x)=f(x),则称y=f(x)是“自导函数”：若∫(x)=g(x)且g(x)=-f(x),则称 y=f(x)与y=g(x)是“共轭互导函数”. (1)请判断函数y=ear+b(a,b∈R,a≠0)是否是“自导的数”，并说明理由： (2)若函数y=(x)是“自导函数”，且满足f(0)=1,求证：f(x)f(-x)=1: (3)若函数y=()与y=g(x)是“共轭互导函数”，满足f(O)=0.g(O)=1，求 证：(x)+g(x)=1.进而证明f(x)=sinx且g(x)=cosx. 高三数学第6页共6页青浦区2024学年第二学期高三年级第二次学业质量调研测试 数学参考答案 2075.04 一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分考生应在答题 纸相应续号的空将内直接填写结果 1. f-1.0: 2.[#B: 3. -1: 4. 21.5: 5.118: 7. 2; 8. 0.4: 9.2+2: 10.26-1: 11. 821: 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14每题4分,第15-16每题5分)每题有且 只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑 13. B :14. C; 15. B :16. A 三. 解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应病号的规定 区域内写出心要的步黑 17.(体题满分14分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分 解:(1)因为yv=f(x)的图象过(4.2),故log4=2,故=4一a=2(负舍). 而f(x)=1ogx在(0+x)上为增函数,由f(2x-2)f(x一0<2x-2<x-1<x<2. 故f(2x-2)<f(x)的解为x1<x<2 (2)因为存在x使得f(x+1)、f(、2x)、f(x+2)成差数列 所以2/(2x)-/(x+1)+/(x+2)有解, 即21og2x)-1og(x+1)+1og(x+2)有解. 7.x0: 高三数202504 所以2x②=(x+1)(x+2)在(0.+)上有解 即-3x-2-0在(0.+)上有解. 2 所以,当a=、2时,存在x使得/(x+1)、f(ax)、f(x+2)成差数列. 18.(本题满分14分)第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分 解:(1)记ACOBD=O.连结OS.因为AS=CS:所以AC1OS 由于底面ABCD为梳形,则AC1BD 因为BDOOS=Q 所以AC1平面BDS. (2)由(1)知,AO1平面BDS 所以,V-4-2V -2V_ 根据题意,得,BD-2 7,BS-5,DS-1 所以BS1DS 所以V-1 所以,四校锥S-ABCD的体积为1 19.(本题满分14分,第1小题4分,第2小题4分,第3小题6分) 解:(1)假设为H。:假设依播a=0.01的独立性检验,认为参数调试与产品质量无关联;则 80x20×40x60 故依择2一0.01的独立性检验,没有充分证播说明假设H.不成立, 高三-20250 因此可认为H,成立,即认为参数调试与产品质量无关联; (2)依题意,用分层随机抽样法抽取的8件产品中, 而从这8件产品中随机抽取3件,其中的食格品件数X的可能信有123 C23 28 14 将将 故X的分布为: 则8(×-13+21310-9. 28 x28+ _7 (3)依题意,因随机抽取调试后的产品的会格率为 #7{(1# 则P(-)_C 10-t =0.1..-.1000. _#□ ) _ 7000-7 P(=) #17( 00 +1 +1 故由- +】 因=Z,故当0k874时,P(Y=k)单调递增: 由 +1 即当k:875时。P(Y=h)单调送减 故当事件】一k”的概字大时,h-875. 20.(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分 解:(1)根据题意,得, 高三数学202504 解待-2 得.A(2.1) 于是,曲线I的方程为:当x<2时, 2 8 易得,AD-(0.-1)由于AD.EF=2,故向量EF在向量4D方向上得数量投影大小为-2. ①当直线/的斜率不存在时,/与曲线I的两个交点为(2.1)、(2.一1),取E、F两点分别为 (2.-1)、(2.1),满足条件,此时直线/的方程为x-2. ②当直线/的斜字存在时,设直线/方程为X一2一V,根摇对称性,只赞考虚当1>0的情况 因为直线/与曲线r交于E、F两点,故t=(0.、2). .(tf-2)+40+2-0解得,-212+4 2-# 1x-2- 由于4r-(2r+4)-2(f-2)<0 2- 2t+2r+4 2t+2:2+4+r-2 2-* 因为,t=(0~2),所以y>1 (r+4)y+4-4-0解得,-21-2+4 1x-2- r+4 高三202504 7+4 *+4 所以向量EF在向量AD方同上的数量投影绝对值一1 即当直线/的料字存在时,满足条件的直线/均不存在 所以,满足条件的直线/的方程为x=2. (3)根播题意,易得直线)”只能与曲线I上x2时的曲线毁相交 令线方程为V=+1(>1 得,(4+1)x+8-4 v=+1 设M(x:V),N(x.)由韦达定理,得, A-64^+16(4+1)>0 8 x+x=一- 4+1 4 高=-- 4+1 1LN inN- 由Sax =2 tan乙M4N,得: sin/M4N cos/MAN 变形,得,AM-AN-22 AM=(x-2.-1)=(tx-2. ),A=(x-2.-1)=(-2$.) 于是,(x-2)(x.-2)+^xx=2 化简。得, 高三202504 $$$-2(×+×)+4+×=$2 4+1 4+1- 4+1 6&+8,$×$1级/()-# 3x+4x 4x^+1 .x>1 4+1 求导,f()--16x}+6x+4 3X+4X在1+)是严格面数,当x1时,f(x)- 所以f(X)- 4+1 21.(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分. 解:(1)对函数y=e”求导,得 '={ 当a=1时,y=”是“自寻函数”; 当a1时,=不是“自导函数” (2)因为函数1=/(X)是“自导函数” 所以f”()=/),同时/-)=(-x) 记F()=/x)/f-x),求导,得 Fx=f(x)f(-x)+f(x(f(-x) =/f()/f(-x)-/fx)/f(-x) 高三202504 =#fqx/f-)-fqx/f-x=0 即F(x)=0. 根播已知条件得 F(X)一C(实数c为常数) 又/(0)-1 所以F(0)=f(0) f(-0)=1 故c=1: 于是fqx)/f(-x)-1 (3)&德 ( f(x)=(f(x)f(x)=f(x)f(x)+f(x)f(x)=2f(x)f(). 设G (x)=f(x)+g(x) 于是G(x)=2/f)/f()+2g(x)g$(x) 因为函数V=f)与J=g是“共辄互导函数” 所以f(x]=gx)且g(x]=-fx) 于是G(x)=2/f$x)g()-2g()/fqx)=$ 故G(x)-C(实数c为常数). 而G(0)=f(0)+g”(0)=1 所以f(x)+g(x)-1. 下面证明fx)=sinx且gx)=cosx 首先,容曼验证J=sinx和y=cosx是一对满足条件的“共题互导函数” 高三数学202504 用反证法.假设除了V一sn文和=cosx外,还存在满足条件的一对“共题互导函数” y-/(x)与y-g(x),即 /$x)=g(t):g(x)=-/f(x),同时满足/(0)=0,g(0)=1. 令(x)-f(x)sinx+g(x)cosx,则 u(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx+g(x)cosx+g(x)(-sinx) =g(x)sinx+f(x)cosx-f(x)cosx+g(x)(-sinx)=0 于是n(x)=c(实数c为数).又n(0)=1. 所以(x)1. 故 ..x).京.+.(x)x1. ................. (1) 再令z(x)=f(x)cosx-g(x)sinx,则 r'$x)=f(x)cosx+f(x)(-sinx)-g'(x)sinx一g(x)cosx=0, 于是(x)=c(实数c为常数). 7r(0)=0. 所以r(x)=0, 故f(x)cosx-g(x)sinx=0. .................................. (2 由(1)(2),得 f(x)=sinx与g(x)=cosx. 由此,满足条件的“共题互导函数”只有一对, 所以/x)-sinx且gx)-cosx 高三数学202504