精品解析：贵州省贵阳市第六中学联盟校2024-2025学年高二下学期4月联考数学试题

数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天的票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 4. 的展开式中为常数项的是（ ） A. 第1项 B. 第2项 C. 第3项 D. 第4项 5. 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 定义域为的可导函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是一个偶函数 B. 在区间内，函数的单调性为先减再增 C. 函数至少有五个零点 D. 函数有两个极大值 7. 化简，其结果等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前10项和为 10. 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波、唐胜杰、江新林）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求神舟十七号乘组3名航天员相邻，则这6名航天员共有144种不同的排法 B. 若要求两个乘组航天员相间排列，则这6名航天员共有96种排法 C. 若要求神舟十七号乘组3名航天员互不相邻，则这6名航天员共有144种排法 D. 若要求航天员叶光富不在排头也不在排尾，则这6名航天员共有480种排法 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 与的图象有且仅有一个交点 B. 函数在其定义域上单调递增 C. 若方程有实数根，则 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与的夹角为，，，则______． 13. 若函数，则______． 14. 罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为 ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，它的二项式系数之和为64． （1）求n的值； （2）求的值． 16. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 17. 如图，在圆锥中，底面圆的直径，母线，若点是上靠近点的三等分点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值． 18. 为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访． （1）每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？ （2）如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？ （3）若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？ 19. 在光学中，透镜的设计需要考虑光线的传播路径．假设光线的传播路径由函数描述，光线的曲率决定了光线的聚焦能力．曲率越大，光线的聚焦能力越强；曲率为零时，光线无聚焦能力．曲率的计算公式为：． 其中，是函数的导函数，是函数的导函数．通过分析光线的曲率，可以优化透镜的设计，使其在不同位置具有不同的聚焦能力．已知函数，定义在区间上．假设光线的传播路径由该函数描述，光线的曲率决定其聚焦能力． （1）若，求函数在处的曲率k； （2）已知实数，对于任意的，若恒成立， i.求a的值； ⅱ.证明：对于任意，曲率满足不等式，并解释其光学意义．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以. 故选：B 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：A 3. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天的票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位线、百分位的定义计算可得. 【详解】对于A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故A错误； 对于B：上映前十天的票房极差为（亿），故B错误； 对于C：上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以上映前十天的票房中位数为（亿），故C正确； 对于D：因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故D错误. 故选：C 4. 的展开式中为常数项的是（ ） A. 第1项 B. 第2项 C. 第3项 D. 第4项 【答案】B 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令，求出，即可得解. 【详解】展开式的通项为，（）， 令，解得， 所以的展开式中为常数项的是第2项. 故选：B 5. 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意设双曲线方程为，再由离心率求出，即可得解. 【详解】椭圆的焦点为， 依题意设双曲线方程为， 又双曲线的离心率，所以，解得， 所以双曲线方程为. 故选：C 6. 定义域为的可导函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是一个偶函数 B. 在区间内，函数的单调性为先减再增 C. 函数至少有五个零点 D. 函数有两个极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象得到函数的单调性，即可得到函数的极值点，即可判断. 【详解】由导函数的图象可知，当或时，当时（仅在处取等号）， 所以在，，上单调递增， 当或时， 所以在，上单调递减， 所以在、处取得极大值，即函数有两个极大值，故D正确，B错误； 若为偶函数，则，所以， 则为奇函数，显然不为奇函数，故A错误； 由于只知道的单调性，不知道其函数值的特征，故无法判断其零点，故C错误. 故选：D 7. 化简，其结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理，对所给式子进行变形，然后结合二项式定理的形式求出结果． 【详解】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 8. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数的单调性进而可以即可求解. 【详解】设函数，定义域为，则， 因为当时，，所以当时，， ∴在上单调递增， ∵函数是定义在上的奇函数，， ∴， ∴函数是定义域为的偶函数， ∴的单调递减区间为， ∵，∴，， 当时，等价为，即，解得， 当时，等价为，即，解得， 当时，不符合题意， 综上不等式的解集是， 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前10项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】对于A：因为，，成等比数列，所以，即， 解得，所以，则，故A正确； 对于B：的前项和为，故B错误； 对于C：因为， 所以的前100项和为 ，故C错误； 对于D：因为， 所以的前10项和为，故D正确. 故选：AD 10. 北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波、唐胜杰、江新林）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 若要求神舟十七号乘组3名航天员相邻，则这6名航天员共有144种不同的排法 B. 若要求两个乘组航天员相间排列，则这6名航天员共有96种排法 C. 若要求神舟十七号乘组3名航天员互不相邻，则这6名航天员共有144种排法 D. 若要求航天员叶光富不在排头也不在排尾，则这6名航天员共有480种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用捆绑法求解判断即可；对于B，分神舟十七号乘组在奇数位，神舟十八号乘组在偶数位或神舟十七号乘组在偶数位，神舟十八号乘组在奇数位，两种情况求解判断即可；对于C，利用插空法求解判断即可；对于D，先从除叶光富外的5名航天员中选2名排在排头和排尾，再剩下4名航天员全排列，进而求解判断即可； 【详解】对于A，先将神舟十七号航天员乘组3名航天员看成一个整体， 再与神舟十八号乘组3名航天员进行排列， 因此共有种不同的排法，故A正确； 对于B，有两种情况：神舟十七号乘组在奇数位，神舟十八号乘组在偶数位； 或者神舟十七号乘组在偶数位，神舟十八号乘组在奇数位， 因此共有种不同的排法，故B错误； 对于C，先排神舟十八号乘组3名航天员，在其前后会留下4个空位， 再将神舟十七号乘组3名航天员插入空位中， 因此共有种不同的排法，故C正确； 对于D，先从除叶光富外的5名航天员中选2名排在排头和排尾，再剩下4名航天员全排列， 因此共有种不同的排法，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 与的图象有且仅有一个交点 B. 函数在其定义域上单调递增 C. 若方程有实数根，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A，C，利用特殊值判断B，由A选项可知恒成立，当且仅当时取等号，从而得到，即可判断D. 【详解】对于A：令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即有且仅有一个零点，所以与的图象有且仅有一个交点，故A正确； 对于B：，定义域为， 当时，当时， 所以在定义域上不可能单调递增，故B错误； 对于C：若方程有实数根，即与有交点， 由A可知在上单调递减，在上单调递增， 且，当时， 所以，故C正确； 对于D：由A可知恒成立，即恒成立， 则恒成立，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即，即， 所以，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量与的夹角为，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 所以， 所以 . 故答案为： 13. 若函数，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】先对原式进行变形，使其符合导数定义的形式，再结合复合函数求导法则求出的导数，进而求出极限值. 【详解】已知，给分子分母同时乘以，可得： 令，当时，，则上式可化为. 根据导数的定义可知，所以. 已知，根据复合函数求导法则， 得. 将代入，可得. 可得. 故答案为：6. 14. 罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ 其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为，405表示为 ）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】将5根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用5根火柴表示数字，所有搭配情况如下： 5根火柴：表示数字，此时表示的数有个（）； 1根火柴和4根火柴：1根火柴可表示的数为1；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数共有个； 2根火柴和3根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数有个. 1根火柴、1根火柴和3根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，3根火柴可表示的数为3、4、6、9， 所以能表示的数有个； 1根火柴、2根火柴和2根火柴：其中1根火柴可表示的数为1，2根火柴可表示的数为2、5， 所以能表示的数有个； 综上可知，可组成的三位数共有 个. 故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，它的二项式系数之和为64． （1）求n的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）728 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数之和的性质求出的值， （2）通过赋值法求出的值. 【小问1详解】 根据二项式系数之和的性质：可得，即，所以． 【小问2详解】 已知，且， 则． 令，可得，即．  令，可得，即．  将代入，可得，移项可得． 16. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 17. 如图，在圆锥中，底面圆的直径，母线，若点是上靠近点的三等分点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图连接， 因为底面圆的直径，所以为的中点， 因为点为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图取的中点，连接，则， 如图建立空间直角坐标系，因为底面圆的直径，母线， 所以，又点是上靠近点的三等分点，连接，则， 所以，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 18. 为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访． （1）每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？ （2）如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？ （3）若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照分步乘法计数原理计算可得； （2）先分组，再分配，部分平均分组，需要除以组（平均的组）数的全排列； （3）分小区安排一位老师与两位老师两种情况讨论，按照先分组、再分配的做法计算可得. 【小问1详解】 每位老师都只安排到一个住宅小区， 则每位老师都有种安排方法， 所以不同的安排方法有种； 【小问2详解】 先将人分成人数为或的三组， 再将分好的三组安排到三个小区， 则不同的安排方法有种； 【小问3详解】 分两种情况， 第一种情况：先从数学、物理、化学老师中选一人去A小区， 再将其余四人分成人数为的三组安排到B，C，D三个小区， 则不同的安排方法为种； 第二种情况：先从数学、物理、化学老师中选两人去A小区， 再将其余三人安排到B，C，D三个小区，不同的安排方法为种， 所以不同的安排方法种数为种. 19. 在光学中，透镜的设计需要考虑光线的传播路径．假设光线的传播路径由函数描述，光线的曲率决定了光线的聚焦能力．曲率越大，光线的聚焦能力越强；曲率为零时，光线无聚焦能力．曲率的计算公式为：． 其中，是函数的导函数，是函数的导函数．通过分析光线的曲率，可以优化透镜的设计，使其在不同位置具有不同的聚焦能力．已知函数，定义在区间上．假设光线的传播路径由该函数描述，光线的曲率决定其聚焦能力． （1）若，求函数在处的曲率k； （2）已知实数，对于任意的，若恒成立， i.求a的值； ⅱ.证明：对于任意，曲率满足不等式，并解释其光学意义．（参考数据：） 【答案】（1）0 （2）i.1； ⅱ.答案见解析 【解析】 【分析】（1）需要先求出函数的一阶导数和二阶导数，再代入曲率公式计算； （2）i.要根据函数单调性求出最小值，结合不等式恒成立求出的值；ii.先求出曲率表达式，再令，则原命题等价于，证明： .分类讨论，再证明即可，并解释光学意义. 【小问1详解】 当时，. 求一阶导数. 求二阶导数可得. ，. 代入曲率公式，得到. 【小问2详解】 i.求的一阶导数， 因为，，所以，即在上单调递增. 则在上的最小值. 因为对于任意的，恒成立，所以. 令，，求导. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，则， 又因为，所以，即. ii.由前面计算可知时，，，. 代入曲率公式可得：. 令，则原命题等价于，，证明： . 首先证明：： 因为，对于，绝对值， 分母，，所以. 再来证明： 因为， 当，；当，； 当，，分母（当时取等号）， 所以. 当，， 所以分子最大值小于, 分母最小值大于， 则. 当时，. 综上所得，， . 即对于任意，曲率满足不等式. 光学意义：曲率满足表示在这个区间内， 光线的聚焦能力在到之间变化，当时，光线无聚焦能力； 当时，光线聚焦能力最强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $