精品解析：黑龙江省伊春市2024-2025学年七年级下学期第一次（4月）月考数学试题

月考测试卷（一） 时间：90分钟 满分：120分考试 范围：相交线与平行线 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 直线l外有一点P，直线l上有三点 A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（ ） A. 不小于2cm B. 不大于2cm C. 大于2cm D. 小于2cm 2. 已知，直线，均与直线相交，且，则下列四个图形中，不能推出与相等的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，已知，点E在上，连接，作平分交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四条线段，，，中一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下面结论正确的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是内错角 C. 和是同旁内角 D. 和是内错角 6. 如图，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，则∠AEC的大小为（　　） A. 70° B. 150° C. 90° D. 100° 7. 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，，，，，则的度数是（ ） A B. C. D. 8. 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知BE＝4，EF＝8，CG＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 16 B. 20 C. 26 D. 12 9. 如图，直线，于点C，若，则为（ ） A. 62° B. 108° C. 118° D. 128° 10. 在同一平面内，若与两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4度数是_____． 12. 下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若，，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是________． 13. 如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线、，使，与边BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD的度数为 __________ . 14. 如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，若EC＝2，BF＝10，则BE＝___． 15. 生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则______． 16. 如图，在中，，顶点、分别在两平行线和上，平分，交直线于点，则的大小为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 18. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断该命题的真假． （1）负数与负数的和是负数； （2）直角三角形的两个锐角互余． 19. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）； （1）画出； （2）连接，那么与的关系是 ； （3）的面积是 ； 20. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD． （1）如果∠AOC＝50，求∠DOE的度数； （2）如图，作OF⊥OE，试说明OF平分∠BOD． 21. 如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠FAB＝55°，求∠1的度数． 22 如图，平分，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为线段上一点，连接，求证：． 23. 如图，已知∠A＝90°+x°，∠B＝90°﹣x°，∠CED＝90°，4∠C﹣∠D＝30°，射线EF∥AC． （1）判断射线EF与BD的位置关系，并说明理由； （2）求∠C，∠D的度数． 24. 已知，点M为直线AC上的动点（点M不与点A，C重合），交直线CD于E． （1）如图1，当点M在CA上时，若，则 ； （2）如图2，当点M在CA的延长线上时，与有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由； （3）当点M在AC的延长线上时，与有怎样的数量关系？请直按写出结论． 25. 已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C的度数； （2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论； （3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 月考测试卷（一） 时间：90分钟 满分：120分考试 范围：相交线与平行线 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 直线l外有一点P，直线l上有三点 A、B、C，若PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm，那么点P到直线l的距离（ ） A. 不小于2cm B. 不大于2cm C. 大于2cm D. 小于2cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答． 【详解】解：∵PA＝4cm，PB＝2cm，PC＝3cm， ∴P点到直线l的距离不大于2cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义以及垂线段最短的性质，熟记概念与性质是解题的关键． 2. 已知，直线，均与直线相交，且，则下列四个图形中，不能推出与相等的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及对顶角相等的性质进行判断． 【详解】解：A、∵， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），故本选项不符合题意； B、∵， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），故本选项不符合题意 C、如图， ∵， ∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2＝∠3（对顶角相等）， ∴∠1＝∠2，故本选项不符合题意； D、∵， ∴∠1＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 不能判断∠1＝∠2，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 3. 如图，已知，点E在上，连接，作平分交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行内错角相等得出，再利用角平分线的意义得出，最后再根据平角的意义进行求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的意义，熟练运用知识点是解题的关键． 4. 如图，四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺，判断该线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断， 本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义． 【详解】解：用直尺分别作，，，，的延长线， 其中只有的延长线不与相交， 故选：． 5. 如图，下面结论正确的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是内错角 C. 和同旁内角 D. 和是内错角 【答案】D 【解析】 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答 【详解】解：A、由同位角的概念可知，∠1与∠2不是同位角，故A选项错误； B、由内错角的概念可知，∠2与∠3不是内错角，故B选项错误； C、 和 是对顶角，故C错误； D、由内错角的概念可知，∠1与∠4是内错角，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念；解题的关键是理解三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 6. 如图，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，则∠AEC的大小为（　　） A. 70° B. 150° C. 90° D. 100° 【答案】C 【解析】 【分析】如图：过点E作EF//AB，可得∠BAE+∠AEF＝180°，根据AB//CD，可得EF//CD，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点E作EF//AB， ∴∠BAE+∠AEF＝180°， ∵∠BAE＝120°， ∴∠AEF＝60°， ∵AB//CD， ∴EF//CD， ∴∠FEC＝∠DCE＝30°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝60°+30°＝90°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质定理和判定定理成为解答本题的关键． 7. 三角板是我们学习数学好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形内角和等于180º求出∠ABC和∠EDF的度数，再根据平行线的性质可得∠ABD=∠EDF，利用角的和差即可求出∠CBD的度数． 【详解】∵△ABC中，∠ACB=90º，∠A=60º， ∴∠ABC=180º-90º-60º=30º． ∵△DEF中，∠F=90º，∠E=45º， ∴∠EDF=180º-90º-45º=45º． ∵AB∥CF， ∴∠ABD=∠EDF=45º． ∴∠CBD=∠ABD-∠ABC =45º-30º =15º． 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理和平行线的性质定理是解题的关键． 8. 如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF．已知BE＝4，EF＝8，CG＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 16 B. 20 C. 26 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质可知，S△ABC＝S△DEF，EF＝BC＝8，再由S阴＝S梯形EFGB求解即可得到答案． 【详解】由平移的性质可知，S△ABC＝S△DEF，EF＝BC＝8， ∵CG＝3， ∴BG＝BC﹣CG＝5， ∴S阴＝S梯形EFGB＝ （5+8）×4＝26， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，梯形面积计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9. 如图，直线，于点C，若，则为（ ） A. 62° B. 108° C. 118° D. 128° 【答案】C 【解析】 【分析】在△ABC中根据内角和可计算出∠ABC的度数，然后利用平行线的性质计算出∠BDE，在计算出∠2即可． 【详解】解：∵于点C， ∴∠ACB=90°， ∵∠1=28°， ∴∠ABC=180°-∠ACB-∠1=180°-90°-28°=62°， ∵， ∴∠ABC=∠BDE=62°， ∴∠2=180°-∠BDE =118°． 故选：C 【点睛】本题主要考查平行线性质，结合三角形内角和互补关系式解题的关键． 10. 在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．分两种情况画出图形，先证明或，又由比的3倍少，即可求解． 【详解】解：如图1所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得， 如图2所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得， 综上所述，的度数为或， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是_____． 【答案】110° 【解析】 【分析】先由平行线的判定得到a//b，再根据平行线的性质得到∠3=∠5，再根据邻补角的性质得到∠4的度数． 【详解】解：∵∠1=∠2， ∴， ∴∠5=∠3=70°， ∴∠4=180°-∠5=180°-70°=110°， 故答案为：110°． 【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握平行线的判定定理及性质定理是解决此题的关键． 12. 下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若，，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是________． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据平行线的定义及平行公理和两点间的距离定义进行判断． 【详解】解：两点之间的距离是两点间的线段的长度，故①正确； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误； 两点之间的所有连线中，线段最短，故③正确； 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故④错误； 只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，故⑤正确； 综上分析可知，正确的是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题主要考查了对平面几何中概念理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 13. 如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线、，使，与边BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD的度数为 __________ . 【答案】142° 【解析】 【详解】分析：先根据平行线的性质，得到∠ADP的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠BPD的度数． 详解：∵l1∥l2，∠1=38°，∴∠ADP=∠1=38°． ∵矩形ABCD的对边平行，∴∠BPD+∠ADP=180°，∴∠BPD=180°﹣38°=142°． 故答案为142°． 点睛：本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 14. 如图，△ABC沿BC所直线向右平移得到△DEF，若EC＝2，BF＝10，则BE＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平移的性质可得BE=CF，再由已知BF=2BE+EC=10，即可求得BE的长． 【详解】由平移的性质可得：BE=CF ∵BF=2BE+EC=10，EC=2 ∴BE=4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平移的性质，线段的和差关系等知识，关键是掌握平移的性质． 15. 生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则______． 【答案】##270度 【解析】 【分析】过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 【详解】解：过点B作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，顶点、分别在两平行线和上，平分，交直线于点，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得，再根据对顶角相等可得． 【详解】平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，灵活运用以上性质定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，垂直的定义： （1）根据可得，等量代换可得，再根据平角的定义即可求解； （2）根据角的和差关系可得，根据垂直的定义可得，进而可得，则． 【小问1详解】 解： ， ． ， ， ． 【小问2详解】 解：， ． ， ， ， ． 18. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断该命题的真假． （1）负数与负数的和是负数； （2）直角三角形的两个锐角互余． 【答案】（1）如果一个数是两个负数的和，那么这个数是负数，该命题是真命题 （2）如果两个角是直角三角形的两个锐角，那么这两个角互余，该命题是真命题 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，以及真假命题的判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． （1）先改写成“如果……，那么……”的形式，再根据加法法则判断真假即可； （2）先改写成“如果……，那么……”的形式，再根据直角三角形的性质判断真假即可； 【小问1详解】 解：如果有两个数是负数，那么它们的和是负数，该命题是真命题； 【小问2详解】 解：如果两个角是直角三角形的两个锐角，那么这两个角互余，该命题是真命题． 19. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）； （1）画出； （2）连接，那么与的关系是 ； （3）的面积是 ； 【答案】（1）见解析 （2）平行且相等 （3）7.5 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质，画出A、B、C的对应点即可； （2）根据平移的性质进行判断； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积和一个小正方形的面积去计算△ABC的面积． 【小问1详解】 解：如图，△A′B′C′为所求； 【小问2详解】 解：如图，AA′＝CC′，AA′∥CC′； 故答案为：平行且相等； 【小问3详解】 解：△ABC的面积＝5×5﹣×4×1﹣×4×1﹣1﹣×5×5＝7.5． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 20. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD． （1）如果∠AOC＝50，求∠DOE的度数； （2）如图，作OF⊥OE，试说明OF平分∠BOD． 【答案】（1）65；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据邻补角求出∠AOD＝130，再根据角平分线求∠DOE的度数即可； （2）根据等角的余角相等证明∠DOF＝∠BOF即可． 【详解】解：（1）∵∠AOC＝50， ∴∠AOD＝180-∠AOC＝130， ∵OE平分∠AOD， ∴∠DOE＝∠AOD＝65； （2）∵OF⊥OE， ∴∠EOF＝90， ∴∠DOE+∠DOF＝90， ∴∠AOE+∠BOF＝90， ∵∠AOE＝∠DOE， ∴∠DOF＝∠BOF， ∴OF平分∠BOD． 【点睛】本题考查了角平分线、邻补角和垂线的定义，解题关键是准确识别图形，明确角之间的关系，正确进行推理证明和计算． 21. 如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠FAB＝55°，求∠1的度数． 【答案】（1）见解析；（2）70° 【解析】 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，得到∠2＝∠ADC，等量代换得出∠ADC+∠3＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解； （2）由CE⊥AE，AD∥CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC＝∠2＝35°，再根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠ADC， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°， ∴AD∥CE； （2）解：∵CE⊥AE于E， ∴∠CEF＝90°， 由（1）知AD∥CE， ∴∠DAF＝∠CEF＝90°， ∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB， ∵∠FAB＝55°， ∴∠ADC＝35°， ∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC， ∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 22. 如图，平分，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为线段上一点，连接，求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可； （2）过F作FMAB，求出ABFMCD，根据平行线的性质得出∠BAF＋∠AFM＝180°，∠DEF＋∠EFM＝180°，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵∠CAE＝∠CEA， ∴∠CEA＝∠BAE， ∴ABCD； （2）证明：过F作FMAB，如图， ∵ABCD， ∴ABFMCD， ∴∠BAF＋∠AFM＝180°，∠DEF＋∠EFM＝180°， ∴∠BAF＋∠AFM＋∠DEF＋∠EFM＝360°， 即∠BAF＋∠AFE＋∠DEF＝360°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 23. 如图，已知∠A＝90°+x°，∠B＝90°﹣x°，∠CED＝90°，4∠C﹣∠D＝30°，射线EF∥AC． （1）判断射线EF与BD的位置关系，并说明理由； （2）求∠C，∠D的度数． 【答案】（1）EF∥BD，见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由∠A+∠B＝180°，得到AC∥BD，由EF∥AC，得到EF∥BD. （2）由已知条件得到∠C+∠D＝90°，又因为4∠C﹣∠D＝30°，由两式可得∠C，∠D的度数． 【详解】（1）EF∥BD， ∵∠A+∠B＝（90+x）°+（90﹣x）°＝180°， ∴AC∥BD， ∵EF∥AC， ∴EF∥BD； （2）∵AC∥EF∥BD， ∴∠CEF＝∠C，∠DEF＝∠D， ∵∠CED＝90°， ∴∠C+∠D＝90°， 联立， 解得． 【点睛】本题考查平行线的判定和二元一次方程组的应用，掌握平行线的判定，由题目得到二元一次方程组是解题的关键. 24. 已知，点M为直线AC上的动点（点M不与点A，C重合），交直线CD于E． （1）如图1，当点M在CA上时，若，则 ； （2）如图2，当点M在CA的延长线上时，与有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由； （3）当点M在AC的延长线上时，与有怎样的数量关系？请直按写出结论． 【答案】（1）44°；（2）∠MAB=90°+∠MEC，理由见解析；（3）∠MAB+∠MEC=90° 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到∠MCE=∠MAB=46°，再根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余证明数量关系即可； （3）如备用图，同样根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余得出结论． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∠MAB=46°， ∴∠MCE=∠MAB=46°， ∵ME⊥AC， ∴∠MCE+∠MEC=90°， ∴∠MEC=90°﹣∠MCE=90°-46°=44°， 故答案为：44°； （2）∠MAB=90°+∠MEC，理由为：, 如图2，∵AB∥CD，∠MAB+∠BAC=180°， ∴∠MCE=∠BAC=180°﹣∠MAB， ∵ME⊥AC， ∴∠MCE+∠MEC=90°， ∴180°﹣∠MAB+∠MEC=90°， 即∠MAB=90°+∠MEC； （3）∠MAB+∠MEC=90°，理由为： 如备用图，∵AB∥CD， ∴∠MCE=∠MAB， ∵ME⊥AC， ∴∠MCE+∠MEC=90°， ∴∠MAB+∠MEC=90°． 【点睛】本题考查平行线的性质、垂线定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质和直角三角形的两锐角互余是解答的关键． 25. 已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F． （1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C的度数； （2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论； （3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°） 【答案】（1）50° （2）∠APC=∠A+∠C，证明见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO=∠A=20°，∠C=∠CPO，代入求出即可； （2）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO=∠A，∠C=∠CPO，求出即可； （3）分三种情况讨论：①当P在线段EF的延长线上运动时，②当点P在线段FE的延长线上运动时，③当点P在线段EF上运动时，根据平行线的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∵∠A=20°，当点P在线段EF上运动时， ∴∠APO=∠A=20°，∠C=∠CPO， ∵∠APC=70°， ∴∠C=∠CPO=∠APC-∠APO=70°-20°=50°； 【小问2详解】 解：∠A+∠C=∠APC， 证明：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO， ∴∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C； 小问3详解】 解：①当P在线段EF的延长线上运动时，不成立，关系式是：∠A-∠C=∠APC， 理由是：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO， ∴∠A-∠C=∠APO-∠CPO=∠APC， 即∠A-∠C=∠APC； ②当点P在线段FE的延长线上运动时，关系为∠C=∠APC+∠A． 理由：设AB与CP相交于Q，则∠PQB=∠APC+∠A． ∵AB∥CD， ∴∠C=∠PQB， ∴∠C=∠APC+∠A； ③当点P在线段EF上运动时，成立，关系式为∠A+∠C=∠APC， 证明：过P作PO∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PO∥CD， ∴∠APO=∠A，∠C=∠CPO， ∴∠APC=∠APO+∠CPO=∠A+∠C； 综上所述，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论不一定成立．当P在线段EF的延长线上运动时，关系式是：∠A-∠C=∠APC；当点P在线段FE的延长线上运动时，关系为∠C=∠APC+∠A；当点P在线段EF上运动时，关系式为∠A+∠C=∠APC． 【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$