精品解析：辽宁省沈阳市第十中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

2024—2025学年度（下）高二4月月考试卷 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用2B铅笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色水性笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若数列为等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，为导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 已知函数满足，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（ ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A. ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①④ 6. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ） A B. C. 505 D. 1013 7. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. B. 已知函数在R上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若等差数列，，若，则 D. 若，，则 11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将 1 到 2023 这 2023 个数中，能被 2 除余 1 且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n项和为，则下面对该数列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 共有 203 项 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线为曲线的切线，则__________. 13. 已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则______. 14. 某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，） 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知二次函数，其图象过点，且． （1）求的值； （2）设函数，求曲线在处切线方程． 16. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19. 定义：对于数列，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数，且小于或等于另一个常数，则叫作类等差数列（若，则是等差数列）． （1）若类等差数列满足，，，均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项与首项及的不等式关系，要求写出推导过程）； （2）若数列中，，．判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度（下）高二4月月考试卷 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用2B铅笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色水性笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若数列为等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据等比中项的应用，结合充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，数列为等比数列， 当时，得，故充分性成立； 当时，，解得，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 2. 已知，为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误； 将代入得：，故C错误． 故选：A． 3. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析归纳出数列周期，利用周期可得答案. 【详解】∵数列满足，，∴， ∴，，，， ∴是周期为3的周期数列，而，故． 故选：A 4. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得，令，可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则， 所以，，解得. 故选：D. 5. 在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（参考数据：）（ ） ①若的观测值满足，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系； ②若的观测值满足，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病； ③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病； ④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A. ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】由给出的数据，结合观测值的意义判定即可. 【详解】若的观测值满足，则我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系， 而得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有的可能性使推断出现错误， 但不能说明个吸烟的人中约有人患有肺病， 也不能说明每个吸烟的人有的可能性会患肺病. 故①④正确、②③错误. 故选：D 6. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ） A. B. C. 505 D. 1013 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可. 【详解】设首项为，因为成等比数列， 所以，则， 解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除， 当时，，此时令， 而其前2025项和为， . 故选：D 7. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求导公式求出函数的导数，进而得到函数在点处切线的斜率，再根据两直线垂直斜率之积为求出实数的值. 【详解】对求导可得：.  可得切线的斜率.  将直线转化为斜截式，可知直线斜率.  因为函数的图像在点处的切线与直线垂直， 根据两直线垂直斜率之积为，可得，即. 可得：， 故，即实数的值为. 故选：C. 8. 根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 分析】根据原来的经验回归方程求出，经计算可知去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，即可求出的值． 详解】因为原来的经验回归方程为，且平均数， 所以， 因为去除的两个样本点和，并且，， 所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为， 代入重新求得的经验回归方程，可得， 解得． 故选：C． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. B. 已知函数在R上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直接根据求导法则判断ACD，根据导数的定义判断B. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，由于，，解得，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若是等差数列，，若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求. 【详解】对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列， 所以，即， 解得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以是等差数列， 由得， 所以 ，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D， 因为， 所以， 所以，又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，此定理讲的是关于整除的问题，现将 1 到 2023 这 2023 个数中，能被 2 除余 1 且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n项和为，则下面对该数列描述正确的是（ ） A. B. C. D. 共有 203 项 【答案】BD 【解析】 【分析】推导出该数列中的数字被10除余1，从而，由此逐项判断即可. 【详解】现将1 到 2023 这 2023 个数中，能被 2 除余 1 且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列， 则该数列中的数字能被10除余1，故能被10整除， ，即，， 对于A选项：当时，，故A选项错误； 对于B选项：，故B选项正确； 对于C选项：，故C选项错误； 对于D选项：，即，又，解得：，故D选项正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线为曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先设点并写出曲线的切线方程，再比较两个方程的斜率与截距可得到与的方程组，解方程即可得到的值 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程为， 化简可得， 又因为是曲线y的切线，所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】由，得， 则当时，， 又满足上式，因此，， 所以. 故答案为： 14. 某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，） 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意列不等式，运算求解即可. 【详解】由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为， 则，解得， ∵，则的最小值为9， 故至少经过9次过滤才能达到市场要求. 故答案为：9. 【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序： （1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题； （2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）； （3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知二次函数，其图象过点，且． （1）求的值； （2）设函数，求曲线在处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数和已知条件得出关于的方程组，求解即可； （2）求出得切点坐标，再求出得切线的斜率，利用点斜式即可求得所求的切线方程. 【小问1详解】 由题意可得，即为， 又，可得， 解得． 【小问2详解】 由（1）知， 则， 则曲线在处的切线斜率为， 又∵，∴切点为， 则曲线在处的切线方程为，即为． 16. 已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得结果； （2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：，即， 且，解得， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）可得， 可得 ， 所以. 17. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 （1）根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ （2）某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关 （2）（i）；（ii）人 【解析】 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第轮获得优秀”， “员工经过培训能应用”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关. 【小问2详解】 （i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 ， 所以员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 所以视频部最多可以调人到其他部门. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 定义：对于数列，若从第2项起，每一项与它的前一项之差都大于或等于同一个常数，且小于或等于另一个常数，则叫作类等差数列（若，则是等差数列）． （1）若类等差数列满足，，，均为已知数，请类比等差数列的通项公式，求出数列的通项不等式（即第项与首项及的不等式关系，要求写出推导过程）； （2）若数列中，，．判断数列是否为类等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用累加法求得数列的通项不等式； （2）根据“类等差数列”的定义，计算，然后通过单调性求得，从而证得结论成立. 【小问1详解】 依题意有：，，，， 将这个不等式相加，得， 经检验成立，从而，； 【小问2详解】 数列是类等差数列，理由如下： 法一：因为， 所以， 即， 因为，所以，则是递减数列，最大项为， 所以， ， 所以， 所以， 所以递减数列，故其最大项为，且， 所以， 所以数列类等差数列． 法二：， 又，所以，则是递减数列，最大项为， 由于数列为递减数列，则为递增数列，且， 所以是递减数列，故其最大顶为，所以， 又由法一知，所以，所以， 所以数列是类等差数列． 【点睛】关键点点睛：理解“类等差数列”的定义，是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$