精品解析：贵州省黔东南州榕江县忠诚中学2024-2025学年八年级上学期期中质量监测数学试卷

榕江县忠诚中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测八年级数学试卷 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的意义．解答本题掌握好轴对称图形的意义，轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴． 根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行选择即可． 【详解】A中图形是轴对称图形； B中图形不是轴对称图形； C中图形不是轴对称图形； D中图形不是轴对称图形． 故选：A． 2. 我们用如图的方法来修理一条摇晃的凳子是根据（ ） A. 两点之间线段最短 B. 矩形的对称性 C. 矩形的四个角都是直角 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：如图的方法来修理一条摇晃的凳子是根据三角形具有稳定性． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过转化为三角形而获得． 3. 已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，熟知“三角形任何一条边大于其它两边之差且小于其它两边之和”是解题的关键． 根据三角形三边之间的关系即可解答． 【详解】解：根据三角形三边的关系得：， 即， 故选：D． 4. 如图，画边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的概念，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念判断即可． 【详解】解：过点A作边的垂线段，即画边上的高，如图， 故选：C． 5. 如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ） A. 70° B. 80° C. 65° D. 60° 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，∵直线l1∥l2，∠1=140°， ∴∠1=∠4=140°， ∴∠5=180°﹣140°=40°． ∵∠2=70°， ∴∠6=180°﹣70°﹣40°=70°． ∵∠3=∠6， ∴∠3=70°． 故选∶A． 6. 如图，已知，.若要得到，则下列条件中不符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，，故只需添加一组角相等或者BC=EF即可. 【详解】解：A：添加，则可用AAS证明； B：添加，则可用ASA证明； C：添加，不能判定全等； D：添加，则，即BC=EF，满足SAS，可证明. 故选C. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，注意ASS不能判定全等． 7. 等腰三角形的两边长为6cm和8cm，则它的周长为（　　） A. 20cm B. 22cm C. 20cm或22cm D. 18cm、20cm或22cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题已知了等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论． 【详解】解：当三边是8cm，8cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是22cm； 当三边是8cm，6cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是20cm． 因此等腰三角形的周长为22cm或20cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 8. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　） A. 3：2 B. 9：4 C. 2：3 D. 4：9 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. ∵AD为∠BAC的平分线， ∴DE=DF，又AB:AC=3:2， 故选A. 点睛：角平分线上的点到角两边的距离相等. 9. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（　　） A. 36° B. 54° C. 18° D. 64° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数． 【详解】解：∵AB=AC，∠ABC=72°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∴∠A=36°， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB=90° ∴∠ABD=90°-36°=54°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般． 10. 如图所示，七边形中，，的延长线相交于点O，若图中，，，的和为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和的知识，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．由外角和内角的关系可求得，由多边形内角和公式可求得五边形的内角和，则可求得． 【详解】解：∵的和为， ∴， ∵五边形内角和， ∴． 故选：D． 11. 如图，，点是内的一定点，点分别在上移动，当的周长最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过P点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解. 【详解】解： 过P点作OB的对称点，过P作OA的对称点,连接，交点为M,N，则此时PMN的周长最小，且△和△为等腰三角形. 此时∠=180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠-x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N在什么位子△PMN周长最小是解此题的关键. 12. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，E是的中点，平分，如图所示，则下列说法正确的个数有（ ） ①平分；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定与性质即可判断（1）、（3）和（4）正确；根据平行线的判定即可判断（5）正确；假设，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，据此即可判断（2）错误． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，（等腰三角形的三线合一），则说法①和④正确； 又∵，，， ∴，则说法③正确； 假设， ∴， ∴， ∴， ∴，，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即说法②⑥错误； ∵， ∴， ∴，则说法⑤正确； 综上，说法正确的有4个． 故选：． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108° ∴每一个外角为72° ∵多边形的外角和为360° ∴这个多边形的边数是：360÷72=5 故答案为：5 14. 点关于x轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：关于x轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 15. 某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五角的五个顶点），则图中的度数是 ________度． 【答案】36 【解析】 【详解】本题主要考查了多边形内角和、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．正五角星中，五边形是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得，然后根据三角形的内角和定理可求得的度数． 【分析】解：如图， ∵正五角星中，五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：36． 16. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________． 【答案】2-180° 【解析】 【分析】先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数． 【详解】解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC， ∴MB＝MA，NA＝NC， ∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC， 在△ABC中，， ∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−， 即∠MAB＋∠NAC＝180°−， 则∠MAN＝∠BAC−（∠MAB＋∠NAC）＝−（180°−）＝2-180°． 故答案是：2-180°． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在中，，平分，为边上的高，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，由三角形角平分线可得，进而由三角形内角和定理可得，由根据三角形的高可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上求作一点P，使的值最小（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，. （2） （3）如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了轴对称作图、网格求三角形的面积、轴对称求最短路径等知识，准确作图是解题的关键． （1）找到关于y轴对称的对应点，顺次连接即可得到，并写出A1，B1，C1的坐标即可； （2）用长方形的面积减去周围直角三角形的面积即可； （3）找到点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 略 19. 如图，在△ABC中． （1）作△ABC的中线CD．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的度数． 【答案】（1） 作△ABC的中线CD，如图， （2） 【解析】 【分析】（1）作AD的垂直平分线垂足为点D，连接CD即可； （2）根据垂直平分线的性质和已知条件可得CD=BD=AD，所以∠A=∠ACD，∠B=∠DCB，进而可以解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵CD=BD=AD， ∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCB， ∴∠A+∠B=∠ACD+∠DCB=∠ACB， ∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠ACB=90°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的中线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 如图，一艘轮船以每小时40海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里？ 【答案】当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了40海里. 【解析】 【详解】试题分析:因为∠CBD是△ABC的外角,所以∠BCA=∠CBD－∠A=60°－30°=30°,所以BC =AB=2×40=80(海里),在Rt△BDC中, ∠CBD=60°,所以∠BCD=30°,所以BD==40(海里). 试题解析:∵CD⊥DB,∠CBD＝60°, ∴∠DCB＝30°, ∴DB＝BC, ∴BC＝2DB, 又∵∠BCA＝60°－30°＝30°, ∴BC＝BA, ∴BC＝2×40＝80(海里), ∴DB＝40海里, 答:当轮船到达灯塔C的正东方向D处时,又航行了40海里. 21. 综合与实践： 【问题情境】如图所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】同学们想出了如下的两种方案： 甲同学：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离； 乙同学：如图（2）所示，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． 【问题解决】请你选择一位同学的方案，判断其是否可行，并说明理由． 【答案】 方案①可行，理由如下： 在和中，， ∴， ∴， ∴方案①可行； 方案②可行，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故方案②可行． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．甲同学方案：根据证明，根据全等三角形的性质即可得证；乙同学方案：根据证明，进一步即可得证． 【详解】略 22. 如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下： 证明：在和中， ∵， ∴．……第一步 ∴．……第二步​ （1）小红的证明过程从第 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 【答案】（1）一 （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质等知识点， （1）题中所给的条件满足“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明，可知小红的证明从第一步开始出现错误，于是得到问题的答案； （2）由，得，而，可推导出，得AC＝BC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明 能判定出题中所给的条件是“两边和其中一边的对角分别相等”，不能由此直接证明，是解题时的关键． 【小问1详解】 ∵由不能证明， ∴从第一步开始出现错误， 故答案为：一． 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 度； （2）若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 24. 如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）． （1）用代数式表示的长度； （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等．当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1） （2） 解：与全等，理由如下： 当秒时，厘米，厘米，厘米， ∵点D为的中点， ∴厘米， 在与中， ∴； （3）当点Q的运动速度a为时，能够使与全等 【解析】 【分析】本题考查了三角形的动点运动问题，全等三角形的判定，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接根据时间和速度表示的长； （2）根据“”证明即可； （3）因为点P、Q的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，列出二元一次方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为t（秒），根据题意得，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结合（2）得，若点P、Q的运动速度不相等， 则此时当时，结合，则， ∴， 解得， ∴当点Q的运动速度a为时，能够使与全等． 25. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　 　；线段BE与AD之间的数量关系是　 　； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）60°，BE＝AD； （3）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM，理由： 同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝45°， ∴∠BEC＝∠ADC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， ∵∠DCE＝90°， ∴DM＝ME＝CM． ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 【解析】 【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵△ABC和△ADE均是等边三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵∠CDE＝60°， ∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∵∠CED＝60°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°， 故答案为：60°，BE＝AD； （3）略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榕江县忠诚中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测八年级数学试卷 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我们用如图的方法来修理一条摇晃的凳子是根据（ ） A. 两点之间线段最短 B. 矩形的对称性 C. 矩形的四个角都是直角 D. 三角形具有稳定性 3. 已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，画边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ） A. 70° B. 80° C. 65° D. 60° 6. 如图，已知，.若要得到，则下列条件中不符合要求的是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形的两边长为6cm和8cm，则它的周长为（　　） A. 20cm B. 22cm C. 20cm或22cm D. 18cm、20cm或22cm 8. 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　） A. 3：2 B. 9：4 C. 2：3 D. 4：9 9. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（　　） A. 36° B. 54° C. 18° D. 64° 10. 如图所示，七边形中，，的延长线相交于点O，若图中，，，的和为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，点是内的一定点，点分别在上移动，当的周长最小时，的值为（ ） A. B. C. D. 12. 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：，E是的中点，平分，如图所示，则下列说法正确的个数有（ ） ①平分；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 14. 点关于x轴的对称点的坐标是______． 15. 某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五角的五个顶点），则图中的度数是 ________度． 16. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则____________． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在中，，平分，为边上的高，若，求的度数． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上求作一点P，使的值最小（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在△ABC中． （1）作△ABC的中线CD．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求的度数． 20. 如图，一艘轮船以每小时40海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里？ 21. 综合与实践： 【问题情境】如图所示，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】同学们想出了如下的两种方案： 甲同学：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使，，最后量出的距离就是的距离； 乙同学：如图（2）所示，过点B作的垂线，在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出的长即是的距离． 【问题解决】请你选择一位同学的方案，判断其是否可行，并说明理由． 22. 如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下： 证明：在和中， ∵， ∴．……第一步 ∴．……第二步​ （1）小红的证明过程从第 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 23. 如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若，则的度数是 度； （2）若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 24. 如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）． （1）用代数式表示的长度； （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等．当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 25. 小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为　 　；线段BE与AD之间的数量关系是　 　； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $