17.1.1三角形的边（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）七年级数学下册 第17章 三角形 17.1三角形的有关概念 17.1.1三角形的边 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类. 2.掌握三角形的三边关系.（难点） 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点） 从这几幅图片中，你能发现哪些熟悉的几何图形呢？                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    下面哪个是三角形？ 结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的. 什么是三角形？ 新知探究 注意： （1）三条线段 （2）不在同一直线上 （3）首尾顺次相接 不在同一直线上的三点用线段两两连接而成的图形叫作三角形． 三角形的定义 概念归纳 三角形用符号“△”表示，如图的三角形， 记作“△ABC”，读作“三角形ABC ”. 注意：表示三角形时，字母没有先后顺序. 即：可以记作△ABC，也可记作△ACB. A B C 三角形的表示 概念归纳 如图，△ABC的三个顶点分别是：A，B，C. △ABC的三条边分别是：AB，BC，CA. 它的三个内角（简称三角形的角）分别是： A，B，C. 三角形的顶点、边、内角 概念归纳 不在同一直线上的三点可以用线段两两连接构成一个三角形，是不是任意三条线段都可以组成一个三角形呢？ 新知探究 给定三条线段，尝试用直尺和圆规作出一个三角形． （１）线段的长分别是７ｃｍ、１２ｃｍ、１５ｃｍ； （２）线段的长分别是７ｃｍ、９ｃｍ、１５ｃｍ； （３）线段的长分别是７ｃｍ、８ｃｍ、１５ｃｍ； （４）线段的长分别是７ｃｍ、７ｃｍ、１５ｃｍ 通过操作可以知道，第（１）（２）组中的三条线段能作出三角形，第（３）（４）组中的三条线段不能作出三角形． a b c 当 b+c < a 时 不能构成三角形 a b c 当 b+c=a 时 不能构成三角形 a b c 任意的三条线段都能构成三角形吗？ 只有当 b+c>a 时 三条线段能构成三角形 三角形的三边具有什么关系呢？ 为什么？ b+c>a 两点之间线段最短 C B 同理，得 a+b>c c+a>b 三角形的三边关系 a b c A 三角形的三边具有什么关系呢？ a –ｂ < c ｃ –a < ｂ b –c < a |b – c |< a < b + c |a – c |< b < a + c |a – b| < c < a + b 确定第三边的取值范围 如果两条线段之和小于等于第三条线段，那么这三条线段不能组成一个三角形，我们基于此给出如下公理： 公理 三角形任意两边的和大于第三边 概念归纳 此公理也称为“三角不等式”，其确切意思是：如果三角形的三条边长分别是a、b、c,即a+b＞c；b+c＞a;c+a＞b; 利用不等式的性质，由上述公理可以推出: 三角形任意两边的差小于第三边． 由这个公理，如果三条线段的长度不满足“三角不等式”，那么它们不能组成一个三角形；如果三条线段的长度满足“三角不等式”，那么它们可以组成一个三角形． 概念归纳 例1有两根长度分别为５ｃｍ、７ｃｍ的木棒，用长度为１３ｃｍ的木棒与它们能拼成一个三角形吗？用长度为２ｃｍ的木棒呢？ 解：用长度为１３ｃｍ的木棒时，因为５＋７＝１２＜１３，所以这三根木棒不能拼成三角形； 用长度为２ｃｍ的木棒时，因为２＋５＝７，所以这三根木棒也不能拼成三角形． 例题讲解 思考如图,各三角形的内角有什么特征? 观察图中各三角形的三个内角,可以发现，三角形ABC 的三个内角均为锐角;三角形 DEF 有一个内角是直角;三角形 GHI 有一个内角是钝角. 锐角三角形 三个角都是锐角 锐角 锐角 锐角 先按角来分 直角三角形 有一个角是直角 锐角 锐角 直角 钝角三角形 有一个角是钝角 锐角 锐角 钝角 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形 在直角三角形中，直角的两条边叫作直角边，直角所对的边叫作斜边.直角三角形可用符号“Rt”表示，例如直角三角形ABC 可以表示为“Rt△ABC ”，读作“直角三角形 ABC ”. 概念归纳 钝角三角形 ____________ 直角三角形 ____________ 锐角三角形 ____________ 三角形按照角的大小分类： 概念归纳 通过量一量，你能说出下列三角形各自的特点吗？ 解：①两条边相等；②三条边都相等；③三条边都不相等. 你能找出下列三角形各自的特点吗？ 等腰三角形 等边三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 既是等腰三角形又是直角三角形的三角形叫作等腰直角三角形.例如，有45°角的三角尺的形状是等腰直角三角形. 三角形按边分类 不等边三角形 等腰三角形 腰和底不等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等 的三角形） 概念归纳 探究3三角形的分类 判断： （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） （1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ） √ × （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） × （4）等边三角形是锐角三角形.（ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ） × √ 课堂练习 1.下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（ ） A.23cm、10cm、8cm; B.15cm、23cm、8cm; C.18cm、10cm、23cm; D.18cm、10cm、8cm. C 2.如果一个等腰三角形的一边长为5cm,周长为17cm，那么其他两边的长分别可能是多少？ 解：当腰长为5cm时，底边长为17-5x2=7cm， 三边长为5cm，5cm，7cm, 能构成三角形， 当底边长为5cm时，腰长为(17-5)-2=6cm， 三边长为5cm，6cm，6cm， 能构成三角形， 因此其他两边长为5cm，7cm或6cm，6cm。 知识点1 三角形的定义 1. [2024石家庄期中]观察下列图形，其中是三角形的是(B　) A B C D B 分层练习 基础题 2. [2024沧州期中]如图，以线段 AB 为边的三角形有(　B　) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 B 3. 如图，在△ BCE 中，边 BE 所对的角是 ， ∠ CBE 所对的边是 ；在△ AEC 中，边 AE 所对的角 是 ，∠ AEC 所对的边是 ；以∠ A 为 内角的三角形有 ⁠. ∠ BCE 　 CE 　 ∠ ACE 　 AC 　 △ ABD ，△ ABC ，△ ACE 　 知识点2 三角形的分类 4. 三角形按边分类可分为(　D　) A. 不等边三角形、等边三角形 B. 等腰三角形、等边三角形 C. 不等边三角形、等腰三角形、等边三角形 D. 不等边三角形、等腰三角形 D 知识点3 三角形的三边关系 5. [2023承德期末]下列长度的三条线段能组成三角形的是 (　D　) A. 1，2，3 B. 1，1.5，3 C. 3，4，8 D. 4，5，6 D 6. 如图，为估计池塘两岸 A ， B 间的距离，一位同学在池塘 一侧选取一点 P ，测得 PA ＝18 m， PB ＝16 m，那么 A ， B 之间的距离不可能是(　D　) A. 18 m B. 16 m C. 30 m D. 34 m D 7. 【易错题】已知三条线段长分别为2 cm，5 cm， a cm， 若这三条线段首尾顺次连接能围成一个等腰三角形，则 a 的取值可以是(　B　) A. 2 B. 5 C. 7 D. 2或5 B 8. [2024唐山期末]如果一个三角形的一边长为5 cm，另一边 长为2 cm，且第三边长为 x cm. (1) x 的取值范围为 ⁠. 3＜ x ＜7　 (2)当第三边的长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形(按边分类). 解：∵第三边的长为奇数，∴第三边的长为5 cm. ∴三角形的周长＝5＋5＋2＝12(cm). ∵两条边的长为5 cm，另外一条边的长为2 cm， ∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形. 9. [教材P3知识变式][2024邯郸期末]有下列两种图示均表示 三角形的分类，则正确的是(　B　) A. ①对，②不对 B. ②对，①不对 C. ①②都不对 D. ①②都对 B 能力提升题 10. [2023石家庄裕华区三模]用螺丝将五根不能弯曲的木棒 围成一个五边形木框，不计螺丝之间的距离，其中木棒 长如图所示，若在不破坏木框的前提下，任意改变木框 的内角大小，那么其中两顶点之间能达到的最大距离是 (　C　) C A. 12 B. 11 C. 9 D. 8 11. 现有2 cm，4 cm，5 cm，8 cm长的四根木棒，任选 三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的选法 有 种. 2　 12. 【新考法·操作探究】[2023邢台期中]如图，过 A ， B ， C ， D ， E 五个点中的任意三点画三角形. (1)其中以 AB 为一边可以画出 个三角形； (2)其中以 C 为顶点可以画出 个三角形. 3　 6　 13. 已知△ ABC 的三边长分别是 a ， b ， c ，则化简 ｜ a ＋ b － c ｜－｜ b － a － c ｜的结果是 ⁠. 点拨：∵△ ABC 的三边长分别是 a ， b ， c ， ∴ a ＋ b ＞ c ， b － a ＜ c ，∴ a ＋ b － c ＞0， b － a － c ＜0， ∴｜ a ＋ b － c ｜－｜ b － a － c ｜＝ a ＋ b － c － (－ b ＋ a ＋ c )＝ a ＋ b － c ＋ b － a － c ＝2 b －2 c . 2 b －2 c 　 14. 小明、小芳和小兵三位同学同时测量△ ABC 的三边长， 小明说：“三角形的周长是11.”小芳说：“有一条边长 为4.”小兵说：“三条边的长度是三个不同的整数.”请 你回答，三边的长度应该分别是 ⁠. 2，4，5　 15. [教材P3例题变式]用一根长度为20 cm的细绳围成一个等 腰三角形. (1)如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，那么此 时的底边长度是多少？ 解：(1)设底边长度为 x cm. ∵腰长是底边长的2倍，∴腰长为2 x cm. ∴2 x ＋2 x ＋ x ＝20，解得 x ＝4. ∴此时的底边长度是4 cm. (2)所围成的等腰三角形的腰长不可能等于4 cm，请简单 说明原因. 解：(2)原因：假设可以围成腰长为4 cm的等腰三角 形，则该三角形的三边长分别为4 cm，4 cm，12 cm， ∵4＋4＜12，∴无法构成三角形， 故所围成的等腰三角形的腰长不可能等于4 cm. (3)若所围成的等腰三角形的腰长为 a cm，请求出 a 的取 值范围. 解：(3)∵等腰三角形的腰长为 a cm， ∴等腰三角形的底边长为(20－2 a ) cm， 由得 ∴ a 的取值范围为5＜ a ＜10. 16. [2023张家口模拟]已知一个三角形的第一条边长为3 a ＋ b ，第二条边长为2 a － b . (1)求第三条边长 m 的取值范围；(用含 a ， b 的式子表示) 解：(1)∵三角形的第一条边长为3 a ＋ b ，第二条边长 为2 a － b ， ∴第三条边长 m 的取值范围是3 a ＋ b －(2 a － b )＜ m ＜3 a ＋ b ＋(2 a － b )，即 a ＋2 b ＜ m ＜5 a . 拓展创新题 解：(2)∵ a ， b 满足｜ a －5｜＋( b －2)2＝0， ∴∴ ∴5＋2×2＜ m ＜5×5，即9＜ m ＜25，三角形的周长 为3 a ＋ b ＋(2 a － b )＋ m ＝5 a ＋ m ＝25＋ m . ∵ m 为整数，∴ m 可取的最大值为24， 此时这个三角形周长的最大值为25＋24＝49. (2)若 a ， b 满足｜ a －5｜＋( b －2)2＝0，第三条边长 m 为整数，求这个三角形周长的最大值. 三角形 概念 分类 性质 三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边． A B C a b c 边、顶点、内角 按边分 按角分 (直角、锐角、钝角)三角形 课堂小结 $$