精品解析：吉林省长春市力旺实验初级中学2024-2025学年九年级下学期中考一模数学试题试卷

2024-2025学年度下学期模拟诊断 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 根据有理数除法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的除法，根据有理数的除法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从上面看，得到的图形是 故选：B． 3. 下列式子正确的是( ) A. a3+a2＝a5 B. a2∙a3＝a5 C. （﹣a2）3＝a6 D. 2a3∙（﹣a2）＝2a5 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，单项式与单项式相乘对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、a2•a3＝a5，符合题意； C、（-a2）3＝-a6， 选项错误，不符合题意； D、2a3×(-a2)＝-2a5，选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，单项式与单项式相乘，解题的关键是熟练的掌握各个运算法则． 4. 下列叙述不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的数，不等号方向改变，由此逐项判断即可． 【详解】解：A，∵，∴，故A正确，不符合题意； B，∵，∴，故B错误，符合题意； C，∵，∴，故C正确，不符合题意； D，∵，∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握仰角定义是解题的关键． 在中，利用正切即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴（米）， 故选：A． 6. 如图，已知、、是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，由正方形的性质和周角的定义可得，则根据多边形内角和定理可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选；D． 7. 如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点：③分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；④作射线，交直线于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，平分，得到，，得到，利用三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，平分， ，， ， ，，， ， ， 故选：D． 8. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 多项式的次数是____________． 【答案】三##3 【解析】 【分析】此题主要考查了多项式的概念，解题的关键是掌握多项式次数的计算方法．“多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数”． 【详解】解：多项式的次数是三． 故答案为：三． 10. 计算．______． 【答案】 【解析】 【分析】分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的化简，二次根式的加减法计算法则是解题的关键． 11. 如果抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴有公共点，可以得到，从而可以得到m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴有公共点， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12. 一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为_____． x … m … y … n 2 4 … 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把点代入，得出，求出即可． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得：， 把②代入③得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：． 故答案为：1． 13. 如图，如图，和是两个完全重合的直角三角板，，长为．三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据三角形内角和和含度的直角三角形三边的关系得到，，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可． 【详解】解：，，， ， ， 三角板绕直角顶点顺时针旋转，点落在边上， ∴， ∴为等边三角形， ∴ 弧的长度， 即点所转过的路径长． 故答案为：． 14. 如图，在正方形，点在边上，且，垂足为，且交于点，与交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有_____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用证明，得，说明①正确；利用，得，即，可知②正确；证明，得，得，且，可知③错误；根据，可知，作于，根据，得，可知④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，故①正确； ， ，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ∵， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据同分母分式加减法法则计算，并约分计算，再代入数值计算. 【详解】解：原式， 当时，原式． 16. 如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止． （1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ． （2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率的公式计算，用偶数的等可能性除以所有等可能性即可； （2）画树状图计算即可 【详解】（1）∵指针一共有4种等可能性，其中指向偶数有2种等可能性， ∴转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是=； 故答案为：； （2）根据题意，画树状图如下： 根据图，知一共有12种等可能性，数字之和为5的可能性有3种， ∴分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率是=． 【点睛】本题考查了概率的计算公式，画树状图或列表法求概率，熟记公式，准确画出树状图或列表是解题的关键． 17. 我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 【答案】甲有63只羊，乙有45只羊 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 根据题意，可得， 解得． 答：甲有63只羊，乙有45只羊． 18. 如图，已知点是平行四边形中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且．求证：四边形为矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 又∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】该题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用判定，从而得到，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形是矩形． 【详解】略 19. 为增进学生对数学文化的了解，某校开展了两次数学文化知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是将这20名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成． （1）学生甲第二次活动成绩是75分，则该生第一次活动成绩是_____________分，这20名学生的第一次活动成绩的中位数为_____________分． （2）请在图中画一条直线，使得该直线上方的点表示两次活动的平均成绩高于90分． （3）假设全校有2000名学生参加活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数． 【答案】（1）70，80 （2） 解：如图所示； （3）600人 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标，中位数和利用样本估计总体，解题关键是熟练掌握频数分布直方图的基本知识． （1）根据统计图坐标以及中位数的定义解答即可； （2）根据统计图坐标解答即可； （ 3 ）用2000 乘样本中两次活动平均成绩不低于90 分的学生所占比例解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，学生甲第二次活动成绩是75分，则该生第一次活动成绩是70分， 这20名学生的第一次活动成绩的中位数为（分）； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两次活动平均成绩不低于90 分的学生人数大约有 600 人． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，使； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使； （3）在图③中先确定线段的中点，再在的边上确定一点，点不与点重合，连接，使． 【答案】（1）解：点M即为所求； （2）解：点N即为所求； （3） 解：与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质； （1）取格点J，连接交于点M，即为所求； （2）在网格上找P，Q两点，连接，与交于点N，即为所求； （3）与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的关系如图所示 （1）进水速度为_____________，出水速度为_____________． （2）求时，与的函数关系式． （3）若水量在某一段时间内刚好用6分钟上升了，直接写出这段时间开始时的值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解图象，求出函数解析式是解题的关键． （1）由函数图象可得前5分钟只进水，5-15分钟既进水又出水，则前5分钟的水量除以时间即为进水速度，用进水速度减去5-15分钟既进水又出水时净速度即为出水速度，即可求解； （2）运用待定系数法求解； （3）分两种情况讨论，当时，由题意得：，解方程即可；当时，，故不可能进水． 【小问1详解】 解：由题意得，进水速度为，出水速度为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设与的函数关系式为， 由图象可得： 解得：， ∴解析式为：； 【小问3详解】 解：当时， 由题意得：， 解得：； 当时，，故不可能进水， ∴． 22. 【问题感知】 如图1，中，分别以、为边向上作等腰直角和等腰直角，使，，连接，可以通过全等三角形的知识证得； 【深入探究】 （1）如图2，中，分别以、为边向上作等腰和等腰，使，连接、，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，以为直角边，点为直角顶点向上作等腰直角，连接，若，此时_____________； （3）若将（2）中的“”改为，其他条件不变，那么当_____________时，的长可以取得最大值，此时_____________． 【答案】 （1），理由： ∵和是等腰三角形， ， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）； （3）135， 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质解得，继而可证及，再由全等三角形对应边相等解答即可； （2）过A作交于点，连接，先证明是等腰直角三角形，得到 ，，再证明，由全等三角形的性质得到，接着在等腰直角三角形中，由勾股定理解得，最后在中，由勾股定理即可解得的长； （3）过A作，且，连接，则，，，证明得到，，由三角形的三边关系可得，当D、E、C共线时取等号，此时，利用三角形的外角性质可得，进而利用三角形的内角和定理得到当时，的长可以取得最大值，此时． 【详解】解：（1）略 （2）如图（1）所示，过A作交于点，连接， ， 是等腰直角三角形， ，,， 又是等腰直角三角形， ， ， 即：， 在和中 ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 在中，由勾股定理得：， 故答案为：； （3）过A作，且，连接，，如图， 则，，， 是等腰直角三角形， ， ， 即：， 在和中 ， ，， ∵，当D、E、C共线时取等号， ∴的最大值为； 此时，如图， ∵， ∴， ∴． 故当时，的长可以取得最大值，此时． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系、三角形的外角性质和三角形的内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 23. 如图，在中，，，，为边的中点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动．当点不与点重合时，连结，作点关于的对称点，顺次连结、、、四个点，组成四边形，设点的运动时间为秒． （1）、两点之间的距离为_____________． （2）用含的代数式表示线段的长． （3）在点运动过程中，若四边形是中心对称图形，求的值． （4）当点在的内部时，设四边形对角线的交点为，若点落在的角平分线上，则的值为_____________（写出一个即可）． 【答案】（1） （2） （3）秒或秒 （4）秒或秒 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，由直角三角形的特征得，即可求解； （2）分类讨论：①当在边上时，②当在边上时，即可求解； （3）：①当在边上时，过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，当四边形是平行四边形时，四边形是中心对称图形，由勾股定理得，即可求解；②当在边上时，同理可求； （4）①当点在的平分线上，延长至，使，连接，的平分线为，过作交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得 ，求出，由可判定，由全等三角形的性质得，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，同理可证：， ，由三角形的面积得，即可求解；②当点在的平分线上，延长至，使，连接，的平分线为交的延长线于，过作交于，过作交于，同理可求． 【小问1详解】 解：，，， ， 为边的中点， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当在边上时， 即：， ； ②当在边上时， 即：， ； 综上所述：； 【小问3详解】 解：①当在边上时， 如图，过作于， ， ， ， ， 解得：，， ， 由对称得：， ， 当四边形是平行四边形时，四边形是中心对称图形， 四边形是菱形， ， ， ， 解得：； ②当在边上时， 如图， 同理可得： ， 解得：； 综上所述：的值为秒或秒； 【小问4详解】 解：①当点在的平分线上时， 如图，延长至，使，连接，的平分线为，过作交于，过作交于， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当点在的平分线上时， 如图，延长至，使，连接，的平分线为交的延长线于，过作交于，过作交于， 由①同理可求：，， ， ， ， 解得：； 综上所述：的值为秒或秒； 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，对称的性质，角平分线的性质定理，菱形的判定，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征等；掌握中心对称图形的定义，对称的性质，角平分线的性质定理，菱形的判定，能构建全等三角形及相似三角形，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，某抛物线的顶点为，并且经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，过点作平行轴，且点的横坐标为，连接和，以和为边构造，设的面积为． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，求的值； （3）作直线，当直线平分的面积时，求出的值； （4）当时，连接、、、，设的面积为，的面积为，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，二次函数与平行四边形，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）设抛物线解析式为，然后把点代入即可求解； （）由，即，求出或，然后进行分类讨论即可求解； （）先求出直线解析式为，由直线平分的面积，则点在直线上，求出，，然后代入，再解方程即可； （）先由题意得出，，，再根据，得出，然后分当时和当时两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：如图， ∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴，即， 解得：或， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 此时点与共线，不符合题意， 综上可知：当时，求的值为； 【小问3详解】 解：如图， 设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵直线平分的面积， ∴点在直线上， ∵点在此抛物线上，其横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴，， ∴，整理得：， 解得：，， ∴的值为或； 【小问4详解】 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， 整理得， 解得：或； 当时，， 整理得， 解得：； 当时，共线，不符合题意， ∴， 综上可知：的取值范围为：或且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期模拟诊断 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 根据有理数除法法则，计算过程正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子正确的是( ) A. a3+a2＝a5 B. a2∙a3＝a5 C. （﹣a2）3＝a6 D. 2a3∙（﹣a2）＝2a5 4. 下列叙述不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知、、是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 7. 如图，在中，按以下步骤操作：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点：③分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；④作射线，交直线于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 多项式的次数是____________． 10. 计算．______． 11. 如果抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围是_____． 12. 一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则n的值为_____． x … m … y … n 2 4 … 13. 如图，如图，和是两个完全重合的直角三角板，，长为．三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为_____________． 14. 如图，在正方形，点在边上，且，垂足为，且交于点，与交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有_____________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止． （1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ． （2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率． 17. 我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 18. 如图，已知点是平行四边形中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且．求证：四边形为矩形． 19. 为增进学生对数学文化的了解，某校开展了两次数学文化知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．如图是将这20名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成． （1）学生甲第二次活动成绩是75分，则该生第一次活动成绩是_____________分，这20名学生的第一次活动成绩的中位数为_____________分． （2）请在图中画一条直线，使得该直线上方的点表示两次活动的平均成绩高于90分． （3）假设全校有2000名学生参加活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，使； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使； （3）在图③中先确定线段的中点，再在的边上确定一点，点不与点重合，连接，使． 21. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的关系如图所示 （1）进水速度为_____________，出水速度为_____________． （2）求时，与的函数关系式． （3）若水量在某一段时间内刚好用6分钟上升了，直接写出这段时间开始时的值． 22. 【问题感知】 如图1，中，分别以、为边向上作等腰直角和等腰直角，使，，连接，可以通过全等三角形的知识证得； 【深入探究】 （1）如图2，中，分别以、为边向上作等腰和等腰，使，连接、，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，以为直角边，点为直角顶点向上作等腰直角，连接，若，此时_____________； （3）若将（2）中的“”改为，其他条件不变，那么当_____________时，的长可以取得最大值，此时_____________． 23. 如图，在中，，，，为边的中点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动．当点不与点重合时，连结，作点关于的对称点，顺次连结、、、四个点，组成四边形，设点的运动时间为秒． （1）、两点之间的距离为_____________． （2）用含的代数式表示线段的长． （3）在点运动过程中，若四边形是中心对称图形，求的值． （4）当点在的内部时，设四边形对角线的交点为，若点落在的角平分线上，则的值为_____________（写出一个即可）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，某抛物线的顶点为，并且经过点，点在此抛物线上，其横坐标为，过点作平行轴，且点的横坐标为，连接和，以和为边构造，设的面积为． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，求的值； （3）作直线，当直线平分的面积时，求出的值； （4）当时，连接、、、，设的面积为，的面积为，若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $