精品解析：四川省达州市万源市万源中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 猜想数列的一个通项公式为(　　) A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部是（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若是函数的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数 的大致图象是 A. B. C. D. 8. 已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，.若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥曲线：，若三个数1，，7成等差数列，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，直线不是的切线 D. 对，点是的对称中心 11. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ） A. 直线与圆相交 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处有极大值，则______. 13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 14. 若，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若在上的最大值为，求的值． 16. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列 ， 求数列的前项和． 17. 已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，，分别是线段和上的点，. （1）试确定点的位置，使得平面，并证明； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 设数列的前项和为，且，数列满足，数列满足，其中． （1）证明：为等差数列，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）表示不超过实数的最大整数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 猜想数列的一个通项公式为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A项，令，则，故A项错误； B项，由于数列的前几项可以变形为，被开方数构成了以2为首项，公差为3的等差数列，故可知其通项公式是，故B项正确； C项，令，则，故C项错误； D项，令，则，故D项错误， 故选B. 考点：数列的通项公式 点评：解决的关键是对于已知中各个项的变换规律，那么可知数字构成了等差数列，属于基础题． 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部是（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，即可得出复数，进而求出实部. 【详解】因为，则，所以的实部是. 故选：C. 3. 在等比数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求得结果. 【详解】在等比数列中，若，则， 由等比数列的性质可得，故. 故选：B. 4. 若是函数的导数，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】. 故选：C. 5. 若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 6. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得成等差数列，计算即可求得的值. 【详解】由是等差数列的前n项和，则成等差数列， 因为，，所以，， 所以，所以，所以. 故选：A. 7. 函数 的大致图象是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解． 【详解】函数y=的导数为， 令y′=0，得x=， 时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0． ∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增． 且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C， 故选A． 【点睛】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题， 8. 已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，.若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设，由条件可得出是偶函数且在上单调递增，然后即可比较出的大小 【详解】设，因为是奇函数，所以是偶函数 当时，所以在上单调递增 因为， 所以，即 故选：C 【点睛】本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出合适的函数是解题的关键，属于中档题. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥曲线：，若三个数1，，7成等差数列，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先求得，根据的不同值，分椭圆和双曲线，求离心率. 【详解】由三个数1，，7成等差数列，得，解得．若，则圆锥曲线：即为椭圆：，可得离心率为；若，则圆锥曲线：即为双曲线：，可得离心率为. 故选：BC． 【点睛】易错点睛：本题容易因忽略的正负性或误将的值当作是的值而致错． 10. 设函数，则（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，直线不是的切线 D. 对，点是的对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】求导，利用导函数判断函数的单调性和求出切线方程，即可判断A，B，C，对于D，利用函数平移即可判断． 【详解】, 对于A：，时，，单调递减，故A错误； 对于B：恒成立，所以在上单调递增，故B正确； 对于C：，解得，所以切点坐标为，切线方程为，所以直线是的切线，故C错误； 对于D：， 由右移一个单位，上移个单位，又为奇函数，关于原点对称，所以关于对称， 又，所以对，点是的对称中心，故D正确， 故选：BD． 11. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ） A. 直线与圆相交 B. 的最小值为 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离及点圆的位置关系可判定A，B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D. 【详解】圆的圆心，半径，连接， 对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误； 对于B，点在圆上，则，B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 对于D，设，则以PC为直径的圆的方程为 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由可得， 即直线AB过定点，故D正确； 故选：BCD 【点睛】思路点睛：利用点与圆可处理直线与圆上点的距离最值问题，根据直线与圆、圆与圆的位置关系处理相切及切点弦问题即可. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处有极大值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可． 【详解】由已知， 可得， 令，解得或， 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 不是极大值点，舍去； 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极大值点． 综上． 故答案为：． 13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】计算出的值，即可得出所求代数式的值, 【详解】对于函数，对任意的，，即函数的定义域为， ， 所以，， 因此，. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若在上的最大值为，求的值． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【解析】 【详解】函数的定义域为， ， （1）当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为， （2）当时， 所以在上单调递增，故在上的最大值为，因此． 16. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列 ， 求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出； （2）根据等比数列通项公式可得，由此利用错位相减法能求出数列前n项和． 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以，即． 【小问2详解】 由题意可知：，则， 则， 可得， 两式相减可得 ， 所以． 17. 已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即得双曲线的焦点坐标，再利用双曲线的定义求出，进而，即可解答； （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，当时，直线与渐近线平行，与与双曲线仅有1个交点符合题意，当时，利用判别式法列方程求解，即可解答. 【小问1详解】 抛物线C：的焦点坐标为， 设双曲线：， 则的焦点坐标为，， 则，则， 而，故， 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，否则直线与双曲线无交点； 设直线的方程为， 联立则， 故， 若，解得，此时直线与双曲线仅有1个交点； 若，则，解得. 综上所述，直线的斜率为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，，分别是线段和上的点，. （1）试确定点的位置，使得平面，并证明； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）F为三等分点，且；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面角的定义结合题意可求出，设中点为，以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 取为三等分点，且，过作， 则，所以为平行四边形，所以， 又，， 所以平面. 【小问2详解】 由题意平面底面，平面底面，， 平面，所以， 所以直线与平面所成角的平面角为， 在中，由，得. 设中点为，设中点为，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 由，取，可得， 易求平面法向量，设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为 . 19. 设数列的前项和为，且，数列满足，数列满足，其中． （1）证明：为等差数列，求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）表示不超过实数的最大整数，求． 【答案】（1） 因为数列的前项和为，且， 当时，，则， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，所以， 等式两边同时除以可得， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 故，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令可得出的值，当时，由可得，两式作差可得，变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，再利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）计算得出，利用裂项相消法可求得； （3）由放缩法得出，可求出的取值范围，即得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 ， 所以，. 故数列的前项和. 【小问3详解】 因为， 因为， 所以， ， ， 所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $