精品解析：广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2024-2025学年高二下学期第一次段考数学试题

惠州市惠阳区丰湖高级中学 2024-2025学年第二学期高二年级段考数学试卷 满分：150 时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分） 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 42种 C. 种 D. 种 2. 下列关于求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 4. 由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 21 5. 已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线在点处的切线与曲线相切，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分) 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象在处切线的斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 在时，函数取得极大值 D. 在时，函数取得极值 10. 已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：______． 13. 已知，则__________． 14. 如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边处，乙工厂位于离河岸40公里的处，BD垂直于河岸，垂足为且与相距50公里.两个工厂要在此岸边A，D之间合建一所供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里3a元和5a元，供水站建在与甲工厂相距____________公里，可使铺设水管的总费用最省. 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品20件，其中有4件次品，若从中抽取3件． （1）抽出的商品中无次品的抽法有多少种？ （2）抽出的商品中全是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少种？ 16. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 17. 已知． （1）讨论的单调性； （2）当时，判断的零点个数． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 19. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 （1）求a的值. （2）证明： （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市惠阳区丰湖高级中学 2024-2025学年第二学期高二年级段考数学试卷 满分：150 时间：120分钟 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分） 1. 某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ） A. 13种 B. 42种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】7本不同的历史书任取1本历史书有7种取法； 6本不同的地理书任取1本地理书有6种取法， 从这些书中任取1本历史书和1本地理书， 根据分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42种. 故选：B. 2. 下列关于求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式，以及复合函数的求导法则，可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数和函数单调性的关系，即可求解. 【详解】，解得：或， 所以函数的单调递增区间是和. 故选：D 4. 由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】除法是有序的，故直接利用排列数求解即可. 【详解】任意两个数作除法，可得到不同的商的个数为. 故选：A. 5. 已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，以及导数的几何意义，逐项判断即可. 【详解】由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； 由图可知，，但不确定与的大小关系，故B不一定成立； 由图可知，，故C成立； 由图可知，函数在区间上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：B. 6. 已知函数在区间上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，又函数的定义域是， 当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得. 故选：C 7. 若曲线在点处的切线与曲线相切，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解出曲线在处的切线方程，利用切线方程与联立后的来求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以处的切线方程为：，即， 联立，所以，所以， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求曲线的切线方程以及根据相切关系求解参数，难度一般.直线与二次函数的相切求解参数问题，可通过导数求解点斜式切线方程从而求解参数，也可以通过直线与一元二次方程联立并利用求解参数. 8. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； 【详解】令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为, 故选：A 二、多选题(共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分) 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象在处切线的斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 在时，函数取得极大值 D. 在时，函数取得极值 【答案】B 【解析】 【分析】对于选项A，根据导数的意义和正负判断斜率的正负；对于选项B，根据导数的符号与函数的单调性的性质进行判断；对于选项C，根据函数的极大值的定义进行判断；对于选项D，根据函数能取到极值的条件进行判断. 【详解】对于选项A： 题干中的图是导函数的图象，当导数小于0时，斜率小于0， 由图可知，在处的值是大于0的，所以图象在该点的切线的斜率是大于0，所以A错误. 对于选项B： 由图可知，导数在内都是大于等于0的， 所以说明函数在该区间内是单调递增的，所以B正确. 对于选项C： 由图可知，导数在的左侧是小于0，在右侧是大于0， 这说明函数在的左侧单调递减，在右侧单调递增，因而函数在此处取极小值，C错误. 对于选项D： 由图可知，导数在的左侧是大于0，在右侧也是大于0，符号无变化， 这说明不是极值点，函数在此处没有极值，所以D错误. 故选：B. 10. 已知函数，若在区间上单调递减，则可以取到的整数值有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，求出的最小值，即可得出结果. 【详解】因为，所以， 由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递增，所以，故，即， 故选：AB. 11. 已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，构造新函数，利用导数判断函数的单调性逐一检查每个选项是否正确. 【详解】设，则， 所以在上单调递减， 对于A，由，即，即，故A正确； 对于B，由，即，又，则，故B错误； 对于C，由，即，即，故C正确； 对于D，由，即，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：______． 【答案】128 【解析】 【分析】利用排列数、组合数公式计算即得. 【详解】. 故答案为：128 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的导函数，当得，得，进而可得. 【详解】由可得， 故，得， 故，， 故答案为： 14. 如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边处，乙工厂位于离河岸40公里的处，BD垂直于河岸，垂足为且与相距50公里.两个工厂要在此岸边A，D之间合建一所供水站，从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里3a元和5a元，供水站建在与甲工厂相距____________公里，可使铺设水管的总费用最省. 【答案】20 【解析】 【分析】首先设，再列出总费用的函数，利用导数求函数极值点，即可求解. 【详解】设，则，，,, 所以总费用 ，令，得， 当，，函数单调递减，当，，函数单调递增， 所以当时，总费用取得最小值，此时公里. 故答案为： 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品20件，其中有4件次品，若从中抽取3件． （1）抽出的商品中无次品的抽法有多少种？ （2）抽出的商品中全是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的商品中至多有2件次品的抽法有多少种？ 【答案】（1）560种； （2）4种； （3）1136种. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据已知并应用组合数求抽出的商品中无次品、全是次品、至多有2件次品的抽法数. 【小问1详解】 由题意，共有16件非次品，则抽出的商品中无次品的抽法有种； 【小问2详解】 由题意，抽出的商品中全是次品的抽法有种； 【小问3详解】 由题意，抽出的商品中至多有2件次品的抽法有种. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在区间的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和；单调递减区间为. （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由解得，再将代入导函数验证是否满足题意； （2）由（1）可得函数的单调区间； （3）由（2）可得函数的极值，再和端点处的函数值比较大小，即可得最值. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为，. 因为函数在处取得极值，所以， 即，解得. 当时，， 令，解得或；令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 此时，函数在处取得极小值，故满足题意. 因此，. 【小问2详解】 由（1）可知，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（1）可知，函数在区间上有极大值，极小值. 又，，因为， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知． （1）讨论的单调性； （2）当时，判断的零点个数． 【答案】（1）答案见解析 （2）零点个数为3个． 【解析】 【分析】（1）求出，分，，三种情况讨论，分别根据导函数的符号，可求的单调区间； （2）由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，求出函数的极大值与极小值，再结合零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】 ， ①当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增； ②当时，令，得，或，令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减； ③当时，令，得，或，令，得． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 当时，由（1）知在，上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又，， 所以在，，上各有一个零点， 故在R上的零点个数为3个． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）是函数的极小值点； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值点. （2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 由，得，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点. 【小问2详解】 当时，不等式， 设，依题意，，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 （1）求a的值. （2）证明： （3）证明： 【答案】（1） （2）证明如下： 由（1）知，， 则， 由，得， 由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以； （3）证明如下： 令， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得， 即，即， 且当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 即 【解析】 【分析】（1）求导可得，结合已知可求； （2）利用导数求得函数的单调区间，可求函数的最小值可得结论； （3）令，求导，令，求导可得存在，使得，从而可得在上单调递减，在上单调递增，可得函数的最小值，证明最小值大于0即可. 【小问1详解】 因为， 所以，所以， 因为曲线在点处的切线斜率是， 所以， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $