精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市中学联考2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年度（下）八年级一次月考测试数学试题 一、单选题（每题3分，满分30分） 1. 下列式子中二次根式的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义即可得出答案． 【详解】解：根据二次根式的定义，是二次根式的有：，，，共个， 故选：B． 2. 在中，它的三边分别为、、，条件：①；②；③；④，中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理，三角形的内角和定理是解题的关键．根据三角形的内角和定理，勾股定理逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ∵， ∴最大的角为， ∴不是直角三角形，故③不符合题意； ∵， 设， 此时， ∴是直角三角形，故④符合题意； 能确定是直角三角形的条件有2个． 故选：B． 3. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 4. 如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．首先利用勾股定理求出，然后得到点表示的数． 【详解】解：在直角三角形中，根据勾股定理得， ， ， 故点表示的数为， 故选：D． 5. 把式子中根号外的移到根号内，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质的应用，先根据二次根式有意义的条件求出，再根据二次根式的性质把根号外的因式平方后移入根号内，即可得出答案． 【详解】∵要是根式有意义，必须， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的两条边长分别为和，需要分两种情况求解，当和为直角三角形的两条直角边时，第三边长为；当直角三角形的斜边为时，第三边长为． 【详解】解：当和为直角三角形的两条直角边时， 第三边长为； 当为直角边，为直角三角形的斜边时， 第三边长为， 这个直角三角形的第三边长为或． 故选： C． 7. 如果满足，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出的范围，把原式化简，计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 故选：C． 8. 已知，当分别取，，，，．时，所对应值的总和是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，有理数的运算，利用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键． 根据二次根式的性质得到，将，代入计算总结规律，即可得到答案． 【详解】解：， 当时，， 当时，， 当时， 当时， 当时，， ， 故选：A． 9. 如图，在四边形中，，，，，则等于（　　） A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的加减运算．延长和相交于点，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，求得，在中，用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：延长和相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，，即， 解得，， ∴， ∴， 故选：B． 10. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的面积为：；也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理,不符合题意； B、梯形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形的面积为：；也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：， ， 故该选项不能证明勾股定理，符合题意； D、边长为的正方形面积为,由图形面积之间的关系可得，边长为的正方形面积等于边长为的正方形面积，加上边长为的正方形面积（边长为的正方形中的两个直角三角形补到下边），则，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______. 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 解得： ∴． 故答案为：7． 12. 下列各组数为勾股数的是______（填序号）． ①，2，3；②3，4，7；③7，12，13；④8，15，17；⑤9，40，41． 【答案】④⑤##⑤④ 【解析】 【分析】本题考查勾股数，关键是掌握勾股数的定义．勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断． 【详解】解：①不是整数，故不是勾股数，不符合题意； ②，故不是勾股数； ③，故不是勾股数； ④，故是勾股数； ⑤，故是勾股数， 故答案为：④⑤． 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式有意义的条件是解本题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定x的值，再代入求出y的值，最后将x，y的值代入计算即可． 【详解】解：有意义， 且， ， ， ， 故答案为：． 14. 观察下列数据，寻找规律：0，，，，，，，…，那么第10个数据应是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与实数相关的规律题，化简二次根式，正确找到规律是解题的关键． 根据题意得到这一列数据为0，，，，，，…，则第n个数据为，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得这一列数据为：0，，，，，，，… 即0，，，，，，…， ∴第n个数据为， ∴第10个数据为， 故答案为：． 15. 如图，，过P作，得；再过作且，得；又过作且，得；…依此法继续作下去，得_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及探究规律，解题的关键是由已知数据找到规律；  首先根据勾股定理求出，，，； 再由，，的长度找到规律进而求出的长． 【详解】解：由勾股定理可知，，， ， 由此可得变化规律为（为正整数）， ． 故答案为：． 16. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 18. 若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，二次根式和绝对值的性质，整式的加减，正确化简二次根式和绝对值是解答本题的关键．先根据数轴得出，再根据二次根式和绝对值的性质化简，然后去括号合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，勾股定理，由线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质可求解，，再利用含角的直角三角形的性质可求解，再利用勾股定理可求解的长．解题的关键是：熟记含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及三角形的外角性质． 【详解】解：的垂直平分线交于，交于， ，， ， ， 根据勾股定理． 故答案为：． 20. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简计算，再合并即可； （2）先根据二次根式的性质、平方差公式、算术平方根、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 22. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值问题，二次根式的混合运算，在化简的过程中运用平方差公式，注意运算的结果要化成最简分式或整式．最后再代入数值进行分母有理化即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 24. 观察下列各个二次根式的变形过程： ； ； ； 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果是______； （2）根据你发现的规律，请计算： 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，正确找出分母有理化因式是解答本题的关键． （1）根据分子，分母同乘以分母的有理化因式，再进行计算即可得到答案； （2）由题意将式子中的二次根式分母有理化，再进一步进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：； ； ； ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 ． 25. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出该空地的面积； （2）该校计划在此空地上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】（1）该空地的面积为； （2）此块空地全部种植花卉共需花费元． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，过点作于点，先求出的长，设，则，再根据勾股定理求出的长，即可求解； （2）每种植花卉需要花费200元，即可求解． 【小问1详解】 解：连接，过点作于点，如图： ∵，，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，即， 解得：， ∴， 该空地的面积， 答：该空地的面积． 【小问2详解】 解：（元）， 答：此块空地全部种植花卉共需花费元． 26. 如图，将长方形沿对折，使落在的位置，且与相交于点．， （1）求的长； （2）求折叠后的重叠部分（阴影部分）的面积． 【答案】（1）2； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中角所对的边是斜边的一半，等边三角形和等腰三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是熟练合理的运用每一个知识点． （1）由勾股定理可得，取的中点，连接，则是等边三角形，是等腰三角形，从而得到，再根据折叠和角度的和差可以得到，再根据勾股定理可以算出的长度，根据折叠和平行可以得到，即可得到答案； （2）由（1）中长度，根据三角形面积公式得到答案即可； 【小问1详解】 解：在长方形中，，，， ∴， 取的中点，连接， ∴， 又， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴， 在中， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知 ∴． 四、解答题（共60分） 27. 如图，台风中心位于点，并沿北偏东方向移动，已知台风移动的速度为30千米／时，受影响区域的半径为200千米，市位于点的北偏东方向上，距离点千米处． （1）说明本次台风会影响市； （2）求这次台风影响市的时间． 【答案】（1） 证明：如图，作于点D． 由题意可得： ，， ∴， ∴， ∴本次台风会影响 A市． （2）这次台风影响市的时间为小时． 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质在实际生活中的运用． （1）作于点D，在中，利用含角的直角三角形的性质求出的长与200千米相比较即可． （2）如图，当时，A市受到影响的路程为的长度，然后由勾股定理求得的长度，进而求出台风影响A市的时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，当时，A市受到影响的路程为的长度， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这次台风影响市的时间为（小时）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（下）八年级一次月考测试数学试题 一、单选题（每题3分，满分30分） 1. 下列式子中二次根式的个数有（　　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 在中，它的三边分别为、、，条件：①；②；③；④，中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 4. 如图，在数轴上点表示的数为，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 把式子中根号外的移到根号内，结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如果满足，那么的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，当分别取，，，，．时，所对应值的总和是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，，，则等于（　　） A. B. C. D. 10 10. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在周朝由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______. 12. 下列各组数为勾股数的是______（填序号）． ①，2，3；②3，4，7；③7，12，13；④8，15，17；⑤9，40，41． 13. 已知，则______． 14. 观察下列数据，寻找规律：0，，，，，，，…，那么第10个数据应是______． 15. 如图，，过P作，得；再过作且，得；又过作且，得；…依此法继续作下去，得_______． 16. 已知，则的值为______． 17. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 18. 若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为__________． 19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，若，则的长为_____． 20. 如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 24. 观察下列各个二次根式的变形过程： ； ； ； 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出的结果是______； （2）根据你发现的规律，请计算： 25. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出该空地的面积； （2）该校计划在此空地上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 26. 如图，将长方形沿对折，使落在的位置，且与相交于点．， （1）求的长； （2）求折叠后的重叠部分（阴影部分）的面积． 四、解答题（共60分） 27. 如图，台风中心位于点，并沿北偏东方向移动，已知台风移动的速度为30千米／时，受影响区域的半径为200千米，市位于点的北偏东方向上，距离点千米处． （1）说明本次台风会影响市； （2）求这次台风影响市的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $