精品解析：河南省新乡市2025届高三第二次模拟考试数学试题

高三第二次模拟考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 2. （ ） A. 16 B. C. 32 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用指数幂运算的性质化简求值. 【详解】由. 故选：A 3. 曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对式子进行变形，明确其含义即可求解. 【详解】由，得， 所以曲线是以坐标原点为圆心，2为半径的圆弧， 其中点的横坐标为，则，， 故曲线的长度为. 4. 已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将提公因式化简，分别讨论各个因式可得结果. 【详解】若，则，则或. 当时，未必成立； 当时，. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用曲率的定义可求得，进而得曲率半径，利用向心加速度的定义计算可求向心加速度. 【详解】设，则，，所以，， 则曲线在点处的曲率，曲率半径， 故曲线在点处的向心加速度的大小为. 故选：B. 6. 若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据点在双曲线上及斜率的两点式可得，即可得渐近线方程. 【详解】设，则，即， 则，则，故的渐近线方程为. 故选：C 7. 已知随机变量，，则的最大值为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布对称性得到，再用代换1法求最大值即可. 【详解】因为，， 所以. 由正态分布的对称性，可得. 因为， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为. 故选：D. 8. 设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用二倍角的正切公式求出关于的表达式，再由结合二倍角的正切公式可得出关于的等式，化简后可得出的值. 【详解】设，则， ， 整理得，故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出变换之后的解析式，依次代入选项判断可得结果. 详解】依题意可得， 因为，故A正确； ，故B错误； 由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确. 故选：ACD 10. 已知为曲线：上一点，，，，点到直线：，：，：的距离分别为，，，则（ ） A. 存在无数个点，使得 B. 存在无数个点，使得 C. 存在无数个点，使得 D. 仅存在一个点，使得且 【答案】BC 【解析】 【分析】根据曲线方程得或，结合已知点坐标和直线判断各项的正误. 【详解】由，得，得或. 是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故曲线上不存在无数个点，使得， 是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点， 是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，故有无数个点， 联立与，得，或，所以仅存在两个点，使得且， 所以A、D错误，B，C正确. 故选：BC 11. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 是增函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断AB；由已知可得，进而可得，可求判断C；利用错位相减法可求得，判断D. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，，则，故B错误； 由，可得， 令，，则，即， 所以，故， 则，故C正确； 因为， 所以， 两式相减，可得， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若分别为奇函数、偶函数，，且，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知有，进而求得，，再应用奇偶性求目标函数值. 【详解】依题意得，又，解得，， 所以. 故答案为：4 13. 已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式可得，进而结合等差数列的特点求解即可. 【详解】由题意，， 所以， 因为是等差数列，则的通项是一次函数型， 则能整理成完全平方型， 所以， 化简得，所以，即. 故答案为：. 14. 一个整数的各位数字之和记为，例如.用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数按照从小到大的顺序排列为，则______，的平均数为______. 【答案】 ①. 8761 ②. 【解析】 【分析】应用排列组合数求出无重复数字的四位数的个数，结合最大的四位数，即可得，先求出给定数字的出现次数，再应用平均数的求法求平均数. 【详解】用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数的总个数为， 其中最大的四位数为8764，所以. 四位数含0时，后三位选一位填0有种，再选一位填1（同理填4，6，7，8）有种，最后从余下的4个数字选2个填余下的两位有种， 所以1，4，6，7，8出现的次数均为次， 四位数不含0时，四位选一位填1（同理填4，6，7，8）有种，从余下的4个数选3个填余下的三位有种， 所以1，4，6，7，8出现的次数均为次， 综上，1，4，6，7，8出现的次数均为次， 所以的平均数为. 故答案为：8761， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四面体中，平面，，且，，. （1）证明：四面体为鳖臑； （2）若直线平面，求直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）因为平面，平面，平面，平面， 所以，，. 又，且，平面， 所以平面，又平面，则， 所以四面体的四个面都为直角三角形，则四面体为鳖臑. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质可证，，，进而利用线线垂直证明平面，进而可得，可得结论； （2）以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量，利用向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 则，，. 设平面的法向量为，则， 令，得. 由， 得直线与所成角的余弦值为. 16. 如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和. 积分 0 100 200 （1）求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率； （2）求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 200 400 200 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）首先分析出的所有可能取值为，，0，200，400，再按步骤写出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 设事件为“质点移动2次后到达的点所对应的积分为0”， 由题意可知点两次移动后在点，又起点为点，即的移动一次向左一次向右， 所以. 【小问2详解】 的所有可能取值为，，0，200，400. ， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 200 400 . 17. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求内切圆的半径； （3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小； （2）由及面积公式得、，再由内切圆半径即可得； （3）设，，进而得到、，最后有即可求最大值. 【小问1详解】 因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. 【小问3详解】 如图，设，，则，且. 因为，所以. 由正弦定理得，所以， 所以，其中， 故的最大值为. 18. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求的取值范围； （2）若，证明：，； （3）若在上有两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 证明：若，则. 设，则，，则在上单调递减，在上单调递增， 则，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，不等式得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数在定义域内单调递增则函数的导数大于或者等于零恒成立，求解分离参数求解即可 （2）构造函数，求两次导，得到这个函数导函数的单调性，从而得到，则在上单调递增，得到，即当时，，所以，不等式得证. （3）分情况讨论，当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点. 当时，令，求导，对极值点的大小进行分析，再结合零点存在性定理取点证明有两个极值点即可. 【小问1详解】 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则，则在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即的取值范围为. 【小问2详解】 略 小问3详解】 . 当时，，则在上单调递减，无极值点. 当时，由（1）知在上单调递增，无极值点. 当时，令， 令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， ，， 由（2）知，则， 所以恰有两个零点，， 令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点. 综上，的取值范围是. 19. 已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍. （1）求椭圆的离心率； （2）若点不与椭圆顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求； （3）已知，是上两个不同点，过分别作直线，与相切，与的交点为，若，求动点的轨迹方程. （附：椭圆以点为切点的切线方程为） 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）出最大值与最小值，列出关于的齐次式求离心率即可； （2）直接写出点处的切线方程，求出点坐标，利用向量数量积求余弦值，代入计算即可； （3）求出椭圆标准方程，设，表示出直线方程，将用韦达定理表示，得到的方程即为所求. 【小问1详解】 设，则， ，所以最大值为，最小值为， 所以，解得，即椭圆的离心率为. 【小问2详解】 设点，，则， 椭圆在点处的切线方程为. 令，可得，即， ， . ， ； 【小问3详解】 因为，所以，，，的方程为. 设，，， 则椭圆在点处的切线方程分别为，， 则，，故直线的方程为. 联立可得， ，，则. 因为，所以，解得， 化简可得， 故动点的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第二次模拟考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. 16 B. C. 32 D. 3. 曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若为双曲线：上异于，的动点，且直线与的斜率之积为5，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，，则的最大值为（ ） A. 9 B. C. D. 8. 设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 10. 已知为曲线：上一点，，，，点到直线：，：，：的距离分别为，，，则（ ） A. 存在无数个点，使得 B. 存在无数个点，使得 C. 存在无数个点，使得 D. 仅存在一个点，使得且 11. 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 是增函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若分别为奇函数、偶函数，，且，则______. 13. 已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则______. 14. 一个整数的各位数字之和记为，例如.用0，1，4，6，7，8组成的无重复数字的四位数按照从小到大的顺序排列为，则______，的平均数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在四面体中，平面，，且，，. （1）证明：四面体为鳖臑； （2）若直线平面，求直线与所成角的余弦值. 16. 如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和. 积分 0 100 200 （1）求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率； （2）求随机变量的分布列及数学期望. 17. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求内切圆的半径； （3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 18. 已知函数. （1）若在其定义域内单调递增，求的取值范围； （2）若，证明：，； （3）若在上有两个极值点，求的取值范围. 19. 已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍. （1）求椭圆的离心率； （2）若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求； （3）已知，是上两个不同的点，过分别作直线，与相切，与的交点为，若，求动点的轨迹方程. （附：椭圆以点为切点的切线方程为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $