押北京计算大题19 万有引力与宇宙航行-2025年高考物理冲刺抢押秘籍（北京专用）

押计算大题19 万有引力与宇宙航行 考点 考察年份 考察题型 难度 计算天体质量、引力势能 2024 计算题 较难 求解天体宇宙速度、计算天体质量 2023 计算题 一般 万有引力定律、与动能定理结合 2022 计算题 一般 ：高考物理北京卷自2002年开始，连续三年，万有引力与宇宙航行模块，以计算题形式进行考察，对比近年高考其他地区，算是北京卷的特色，且难度逐年上升。 ：根据高考物理命题的趋势，该模块将融入航天中的科技热点，强化物理的实用性。掌握基础知识点以外，同学们应多关注航天科技新闻，加强开放性题目训练，提升建模能力。 1．开普勒行星运动定律 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量 2．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 设地球质量为M，地表物体质量为m，地球半径为R： (1)在赤道上：。 (2)在两极上：。 (3)在一般位置：万有引力等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力:。 即。该式为黄金代换式。 所以，不同天体地表重力加速的之比为：。 3．求天体质量和密度 该类问题根据已知条件的不同，需要选用的公式较多，不可死记硬背，可根据万有引力的作用进行推导。 （1）利用地表处引力近似等于重力（即黄金代换式）推导。 （2）利用引力为绕行天体提供向心力推导（） （3）如果是近地环绕，(1)、（2）联立推导。 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ — 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝， m中＝ρ·πR3 ρ＝ — 4．宇宙速度 4.1 第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min 4.2 宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 4.3 对“第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度”的理解： 很多学生会纠结：既然第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度（v＝7.9 km/s），为什么卫星还会有大于第一与宇宙速度的时候呢（7.9 km/s<v<11.2 km/s）？ “环绕速度”是卫星整个转动周期内的“平均速度”。当卫星绕地球运动的轨迹为椭圆时，部分时刻的“瞬时速度”会大于第一宇宙速度（越近越快），但整个周期内的“平均速度”是小于第一宇宙速度的。 5．卫星运行参量 5.1 物理量随轨道半径变化的规律 G＝ 总结：高轨低速大周期。 5.2 地球同步卫星 （1）概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球同步卫星。 （2）特点 ①确定的转动方向：和地球自转方向一致。 ②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h。 ③确定的角速度：等于地球自转的角速度。 ④确定的轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合。 ⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km)。 ⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s)。 5.3 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3. 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 6．卫星变轨 6.1 变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 6.2 变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB 。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3。 小结： 高低变轨加减速；高轨高能大周期；切点加速必相等。 6.3 卫星的对接问题 (1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接 (2)同一轨道飞船与空间站对接：如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。 7．双星模型 定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． 特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝ ⑤双星的运动周期T＝2π ⑥双星的总质量m1＋m2＝ 1．（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为，宇宙的密度为。 （1）求小星体P远离到处时宇宙的密度ρ； （2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为和、距离为R的两个质点间的引力势能，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。 a．求小星体P从处远离到。处的过程中动能的变化量； b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。 2．（2023·北京·高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。    3．（2022·北京·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 （1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W； （2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比； （3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。 1．如图所示，A是地球的静止卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球两极处的重力加速度为g，引力常量为G，O为地球中心。 (1)求地球的质量M； (2)求卫星A的运行周期T； (3)若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则经过多长时间t，它们相距最远。 2．火星是太阳系中和地球环境最相似的行星，我国发射的“祝融号”火星车已行驶在火星上，圆满完成既定巡视探测任务。在地球和火星表面分别让小球做自由落体运动，从距星球表面相同高度无初速释放，在地球和火星上下落的时间之比为2:3，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，火星半径是地球半径的，万有引力常量为G，求： (1)火星的表面重力加速度和密度； (2)火星的第一宇宙速度大小； (3)如图所示，在火星的一个倾角为30°的足够长斜坡上，将小球以初速度水平抛出，经多长时间小球落到坡上。 3．1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆周运动在某方向上的投影。如图所示，为卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。若认为木星位于坐标原点O，根据伽利略的观察和推测结果： (1)写出卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式。 (2)求木星的质量。 (3)物体做简谐运动时，回复力应该满足。请据此证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 4．2024年9月19日，我国成功发射第59颗、第60颗北斗导航卫星，为下一代定位、导航、授时体系的新技术探路。北斗系统在工作时必须考虑大气层、电离层、对流层对信号的折射和延迟引起的误差。若有一个半径为R的星球，其大气层的厚度为，一颗卫星围绕星球做半径为的匀速圆周运动，如图所示。已知该星球表面重力加速度为g（忽略星球自转以及大气质量的影响）。 (1)求该卫星运行的速率； (2)若从星球表面某点（与卫星轨道平面共面）向空中各个方向发出光信号，已知星球表面大气对该光信号的折射率为，求光信号能到达的卫星轨道弧长。 5．神秘宇宙散发着无尽魅力，吸引着人们不断追寻和探索。 (1)某深空探测器在远离星球的宇宙深处航行时，由于宇宙中的星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计，此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。当探测器驶入一片分布均匀、静止的宇宙尘埃区域时，为了保持原有的速率v，必须开启发动机。若该区域单位体积内有质量为m0的尘埃，尘埃碰到探测器后立即吸附在上面，探测器可视为半径为R的球体。求发动机的推力大小F； (2)科学家用天文望远镜在宇宙中发现许多双星系统。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。某双星系统中每个星体的质量都是M，相距2L。它们围绕两者连线的中点做相同周期的圆周运动。已知引力常量为G。 a.求该双星系统的运动周期T1； b.若实际观测到该双星系统的运动周期为T2，且T2∶T1=1∶（N>1）。为了解释T2与T1的差异，科学家预言双星系统之间存在一种望远镜观测不到的特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。可以建立一种简化模型，假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，球体内的暗物质对双星系统有引力相互作用，不考虑其它暗物质对双星系统的影响。请根据这一模型和观测结果推测双星系统间暗物质的密度。 6．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 (1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式： (2)若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式； (3)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳半径RS和地球半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？ 7．如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的运转周期为T。地球和太阳的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。试求： (1)该行星绕太阳转动的周期。 (2)行星绕太阳转动的向心加速度与地球绕太阳转动的向心加速度之比。 (3)若某时刻该行星正处于最佳观察期，则该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？ 8．2024年5月9日，智慧天网一号01星在西昌卫星发射中心发射升空后顺利进入预定转移轨道，标志中国首颗中轨道宽带通信卫星发射成功。其发射过程可以简化为如图所示：先将卫星送入近地圆轨道1；在此轨道上运行少许时间后火箭再次点火，使卫星进入椭圆转移轨道2；卫星在椭圆轨道上运行至远地点B时，加速进入预定轨道3。椭圆转移轨道与近地圆轨道1和中轨道3分别相切于A、B两点，卫星在圆轨道上的运动可视为匀速圆周运动。已知地球的半径为R，天网一号在轨道3的半径为3R，引力常量为G，地表附近的重力加速度为g，天网一号01卫星的质量为m。（地球质量M未知），求： (1)天网一号01卫星在轨道3的线速度大小； (2)天网一号01卫星在转移轨道2上运动时从A点运动到B点的最短时间； (3)当取无穷远处引力势能为零，天网一号距地心距离为处时的引力势能为，天网一号01卫星从轨道1变轨到轨道3过程中，发动机至少需要做多少功？ 9．1984年4月8日，我国成功发射了第一颗地球静止卫星——试验通信卫星。如图1所示，发射地球静止卫星一般先将卫星送入近地圆轨道；在此轨道上运行少许时间后火箭再次点火，使卫星进入椭圆转移轨道；卫星在椭圆轨道上运行，到达远地点时，启动卫星上的发动机，使卫星加速，进入到赤道上空的静止卫星轨道。椭圆转移轨道与近地圆轨道和静止卫星轨道分别相切于A、B两点，卫星在圆轨道上的运动可视为匀速圆周运动。已知近地圆轨道的半径为，静止卫星轨道的半径为，地球的质量为M，引力常量为G。不计卫星质量的变化。 (1)卫星在近地圆轨道上运行时的线速度大小； (2)根据开普勒第二定律可知，卫星在椭圆轨道上运行时，卫星和地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等。在很短的时间内，卫星和地球的连线扫过的图形可视为扇形，如图2所示。证明：。 (3)a．与静电力做功引起电势能的变化类似，万有引力做功也会引起引力势能的变化。卫星沿椭圆轨道从近地点A向远地点B运行的过程中，引力势能如何变化？ b．取无穷远为零势能点，卫星（与地球）的引力势能可表示为，其中m为卫星质量，r为卫星距地心之间的距离。若，求：卫星从近地圆轨道上的A点加速，动能增大到原来的多少倍时，才能进入到图1所示的椭圆转移轨道？ 10．地球卫星中，有的在近地轨道Ⅰ绕地球做匀速圆周运动，有的在轨道Ⅱ上绕地球做椭圆运动，如图甲所示。卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段，卫星在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分，如图乙所示。这样，在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时，就可以按圆周运动来分析和处理。如图丙卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速率为，P到地心的距离为；在远地点Q的速率为，Q到地心的距离为；地球在其一个焦点C上。试用三种不同物理方法证明如下结论：； (1)由行星运动规律，根据开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，该定律也适用于地球和卫星组成的系统）证明：； (2)如图丁，可将近地点和远地点附近小段视为圆轨道的一部分，由动力学观，根据万有引力定律和牛顿运动定律证明：； (3)由能量观，根据机械能守恒定律证明：；（已知地球质量为M，引力常量为G。当质量为m的物体相距地心为r时，其引力势能为；同时以地心为椭圆一焦点，半长轴为a的椭圆轨道运行时的机械能为） 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 押计算大题19 万有引力与宇宙航行 考点 考察年份 考察题型 难度 计算天体质量、引力势能 2024 计算题 较难 求解天体宇宙速度、计算天体质量 2023 计算题 一般 万有引力定律、与动能定理结合 2022 计算题 一般 ：高考物理北京卷自2002年开始，连续三年，万有引力与宇宙航行模块，以计算题形式进行考察，对比近年高考其他地区，算是北京卷的特色，且难度逐年上升。 ：根据高考物理命题的趋势，该模块将融入航天中的科技热点，强化物理的实用性。掌握基础知识点以外，同学们应多关注航天科技新闻，加强开放性题目训练，提升建模能力。 1．开普勒行星运动定律 定律 内容 公式或图示 开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 公式：＝k，k是一个与行星无关的常量 2．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。 设地球质量为M，地表物体质量为m，地球半径为R： (1)在赤道上：。 (2)在两极上：。 (3)在一般位置：万有引力等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力:。 即。该式为黄金代换式。 所以，不同天体地表重力加速的之比为：。 3．求天体质量和密度 该类问题根据已知条件的不同，需要选用的公式较多，不可死记硬背，可根据万有引力的作用进行推导。 （1）利用地表处引力近似等于重力（即黄金代换式）推导。 （2）利用引力为绕行天体提供向心力推导（） （3）如果是近地环绕，(1)、（2）联立推导。 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质 量 的 计 算 利用运 行天体 r、T G＝mr m中＝ 只能得到中心天体的质量 r、v G＝m m中＝ v、T G＝m，G＝mr m中＝ 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ m中＝ — 密 度 的 计 算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr m中＝ρ·πR3 ρ＝ 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R mg＝， m中＝ρ·πR3 ρ＝ — 4．宇宙速度 4.1 第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 方法二：由mg＝m得 v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s. 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min 4.2 宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 4.3 对“第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度”的理解： 很多学生会纠结：既然第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度（v＝7.9 km/s），为什么卫星还会有大于第一与宇宙速度的时候呢（7.9 km/s<v<11.2 km/s）？ “环绕速度”是卫星整个转动周期内的“平均速度”。当卫星绕地球运动的轨迹为椭圆时，部分时刻的“瞬时速度”会大于第一宇宙速度（越近越快），但整个周期内的“平均速度”是小于第一宇宙速度的。 5．卫星运行参量 5.1 物理量随轨道半径变化的规律 G＝ 总结：高轨低速大周期。 5.2 地球同步卫星 （1）概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球同步卫星。 （2）特点 ①确定的转动方向：和地球自转方向一致。 ②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h。 ③确定的角速度：等于地球自转的角速度。 ④确定的轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合。 ⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km)。 ⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s)。 5.3 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3. 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星 (r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体 (r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 6．卫星变轨 6.1 变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 6.2 变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB 。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3。 小结： 高低变轨加减速；高轨高能大周期；切点加速必相等。 6.3 卫星的对接问题 (1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接 (2)同一轨道飞船与空间站对接：如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。 7．双星模型 定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示． 特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L ④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝ ⑤双星的运动周期T＝2π ⑥双星的总质量m1＋m2＝ 1．（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为，宇宙的密度为。 （1）求小星体P远离到处时宇宙的密度ρ； （2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力。已知质量为和、距离为R的两个质点间的引力势能，G为引力常量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。 a．求小星体P从处远离到。处的过程中动能的变化量； b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。 【答案】（1）；（2）a．；b．H随t增大而减小 【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离O点半径为和的球内质量相同，即 解得小星体P远离到处时宇宙的密度 （2）a．此球内的质量 P从处远离到处，由能量守恒定律得，动能的变化量 b．由a知星体的速度随增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t越长，由知，H减小，故H随t增大而减小。 2．（2023·北京·高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有 解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力定律和向心力公式有 解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 解得 3．（2022·北京·高考真题）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。 （1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v1，在远日点速度为v2。求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W； （2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力相关知识，证明恒星对行星的作用力F与r的平方成反比； （3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T1，绕此恒星公转的周期为T2，求。 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）根据动能定理有 （2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的作用力F提供向心力，则 运动周期 根据开普勒第三定律，k为常量，得 即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。 （3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量为P0。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量 设地球绕太阳公转半径为r1在新轨道上公转半径为r2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得r2 = 4r1 设恒星质量为M，地球在轨道上运行周期为T，万有引力提供向心力，有 解得 由于恒星质量是太阳质量的2倍，得 1．如图所示，A是地球的静止卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球两极处的重力加速度为g，引力常量为G，O为地球中心。 (1)求地球的质量M； (2)求卫星A的运行周期T； (3)若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则经过多长时间t，它们相距最远。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）地球两极处的物体所受重力等于万有引力，即 解得 （2）A是地球的静止卫星，其周期等于地球自转周期，即 （3）对于卫星B有 又 联立得 时间t满足 联立得 2．火星是太阳系中和地球环境最相似的行星，我国发射的“祝融号”火星车已行驶在火星上，圆满完成既定巡视探测任务。在地球和火星表面分别让小球做自由落体运动，从距星球表面相同高度无初速释放，在地球和火星上下落的时间之比为2:3，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，火星半径是地球半径的，万有引力常量为G，求： (1)火星的表面重力加速度和密度； (2)火星的第一宇宙速度大小； (3)如图所示，在火星的一个倾角为30°的足够长斜坡上，将小球以初速度水平抛出，经多长时间小球落到坡上。 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）根据平抛运动规律可得 所以 故 则 地球的密度 火星的密度 故 故火星的密度 （2）根据万有引力提供向心力 地球的第一宇宙速度大小 火星的第一宇宙速度大小 故 解得 （3）设小球经过时间t后落到斜面上，水平方向 竖直方向 又， 解得 3．1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆周运动在某方向上的投影。如图所示，为卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。若认为木星位于坐标原点O，根据伽利略的观察和推测结果： (1)写出卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式。 (2)求木星的质量。 (3)物体做简谐运动时，回复力应该满足。请据此证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 【答案】(1)；(2)；(3)见解析 【详解】（1）卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式 （2）根据牛顿第二定律 得木星的质量 （3）如图所示 取向右为正方向，回复力满足 则卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。 4．2024年9月19日，我国成功发射第59颗、第60颗北斗导航卫星，为下一代定位、导航、授时体系的新技术探路。北斗系统在工作时必须考虑大气层、电离层、对流层对信号的折射和延迟引起的误差。若有一个半径为R的星球，其大气层的厚度为，一颗卫星围绕星球做半径为的匀速圆周运动，如图所示。已知该星球表面重力加速度为g（忽略星球自转以及大气质量的影响）。 (1)求该卫星运行的速率； (2)若从星球表面某点（与卫星轨道平面共面）向空中各个方向发出光信号，已知星球表面大气对该光信号的折射率为，求光信号能到达的卫星轨道弧长。 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）对星球表面物体有 对卫星有 联立解得该卫星运行的速率为 （2）设在A点恰好发生全反射，光路图如图所示 则 可得 在三角形OAB中，由正弦定理得 可得（舍去） 所以 又因为 可得 故光信号能到达的卫星轨道弧长为 5．神秘宇宙散发着无尽魅力，吸引着人们不断追寻和探索。 (1)某深空探测器在远离星球的宇宙深处航行时，由于宇宙中的星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计，此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。当探测器驶入一片分布均匀、静止的宇宙尘埃区域时，为了保持原有的速率v，必须开启发动机。若该区域单位体积内有质量为m0的尘埃，尘埃碰到探测器后立即吸附在上面，探测器可视为半径为R的球体。求发动机的推力大小F； (2)科学家用天文望远镜在宇宙中发现许多双星系统。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。某双星系统中每个星体的质量都是M，相距2L。它们围绕两者连线的中点做相同周期的圆周运动。已知引力常量为G。 a.求该双星系统的运动周期T1； b.若实际观测到该双星系统的运动周期为T2，且T2∶T1=1∶（N>1）。为了解释T2与T1的差异，科学家预言双星系统之间存在一种望远镜观测不到的特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律。可以建立一种简化模型，假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗物质，球体内的暗物质对双星系统有引力相互作用，不考虑其它暗物质对双星系统的影响。请根据这一模型和观测结果推测双星系统间暗物质的密度。 【答案】(1)；(2)a.；b. 【详解】（1）探测器t时间内撞上的尘埃总质量 由动量定理有 解得 （2）a.由万有引力定律，解得 b. 设暗物质的质量为，由万有引力定律 又T2∶T1=1∶，解得 暗物质的密度 解得 6．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。 用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。 (1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式： (2)若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式； (3)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳半径RS和地球半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？ 【答案】(1)；(2)；(3)1年 【详解】（1）设小物体质量为m，在北极地面有 在北极上空高出地面h处有 整理可得 （2）在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有 联立解得 （3）地球绕太阳做匀速圆周运动，受太阳得万有引力。设太阳得质量为，太阳密度为，地球得质量为M，地球公转周期为，有 因为太阳质量 联立解得 由上式可知，地球公转周期仅与太阳得密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关。因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同。 7．如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的运转周期为T。地球和太阳的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该行星的最佳时期。试求： (1)该行星绕太阳转动的周期。 (2)行星绕太阳转动的向心加速度与地球绕太阳转动的向心加速度之比。 (3)若某时刻该行星正处于最佳观察期，则该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时间？ 【答案】(1)；(2)；(3)或者 【详解】（1）当有最大视角时，太阳和行星的连线与地球与行星的连线垂直，设地球的轨道半径为R，则可知行星的轨道半径r为：r=Rsinθ 设行星绕太阳的运转周期为T′，由开普勒第三定律有： 解得： （2）根据 可得 可得 （3）假设行星和地球绕太阳做逆时针转动，设行星最初处于最佳观察期时，其位置超前于地球，设经时间t地球转过α角，行星再次处于最佳观察期，则行星转过的角度β为：β=π+α+2θ 那么， 可得： 若行星最初处于最佳观察期时，行星和地球绕太阳做顺时针转动，其位置滞后于地球，同理可得 8．2024年5月9日，智慧天网一号01星在西昌卫星发射中心发射升空后顺利进入预定转移轨道，标志中国首颗中轨道宽带通信卫星发射成功。其发射过程可以简化为如图所示：先将卫星送入近地圆轨道1；在此轨道上运行少许时间后火箭再次点火，使卫星进入椭圆转移轨道2；卫星在椭圆轨道上运行至远地点B时，加速进入预定轨道3。椭圆转移轨道与近地圆轨道1和中轨道3分别相切于A、B两点，卫星在圆轨道上的运动可视为匀速圆周运动。已知地球的半径为R，天网一号在轨道3的半径为3R，引力常量为G，地表附近的重力加速度为g，天网一号01卫星的质量为m。（地球质量M未知），求： (1)天网一号01卫星在轨道3的线速度大小； (2)天网一号01卫星在转移轨道2上运动时从A点运动到B点的最短时间； (3)当取无穷远处引力势能为零，天网一号距地心距离为处时的引力势能为，天网一号01卫星从轨道1变轨到轨道3过程中，发动机至少需要做多少功？ 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）在近地轨道3上，由万有引力提供向心力得 又因为忽略自转，地面上物体万有引力等于重力，则有 联立解得卫星在轨道3的线速度大小为 （2）在近地轨道1上，有 可得卫星在轨道1上的线速度大小为 卫星在近地轨道1上的周期为 根据开普勒第三定律可 解得 则卫星在转移轨道2上运动时从A点运动到B点的最短时间为 （3）从轨道1到轨道3，由能量守恒可得 即 联立解得 9．1984年4月8日，我国成功发射了第一颗地球静止卫星——试验通信卫星。如图1所示，发射地球静止卫星一般先将卫星送入近地圆轨道；在此轨道上运行少许时间后火箭再次点火，使卫星进入椭圆转移轨道；卫星在椭圆轨道上运行，到达远地点时，启动卫星上的发动机，使卫星加速，进入到赤道上空的静止卫星轨道。椭圆转移轨道与近地圆轨道和静止卫星轨道分别相切于A、B两点，卫星在圆轨道上的运动可视为匀速圆周运动。已知近地圆轨道的半径为，静止卫星轨道的半径为，地球的质量为M，引力常量为G。不计卫星质量的变化。 (1)卫星在近地圆轨道上运行时的线速度大小； (2)根据开普勒第二定律可知，卫星在椭圆轨道上运行时，卫星和地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等。在很短的时间内，卫星和地球的连线扫过的图形可视为扇形，如图2所示。证明：。 (3)a．与静电力做功引起电势能的变化类似，万有引力做功也会引起引力势能的变化。卫星沿椭圆轨道从近地点A向远地点B运行的过程中，引力势能如何变化？ b．取无穷远为零势能点，卫星（与地球）的引力势能可表示为，其中m为卫星质量，r为卫星距地心之间的距离。若，求：卫星从近地圆轨道上的A点加速，动能增大到原来的多少倍时，才能进入到图1所示的椭圆转移轨道？ 【答案】(1)；(2)见解析；(3)a．引力势能增大；b．倍 【详解】（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力。设卫星的质量为m，则 解得 （2）在很短的时间内，卫星和地球的连线扫过的相等面积可视为扇形， 所以 （3）a．卫星沿椭圆轨道从近地点A向远地点B运行的过程中，万有引力做负功，引力势能增大。 b．卫星沿椭圆轨道运动由A点运动到B点的过程中， 解得 卫星沿近地圆轨道运动时的动能 解得 即卫星的动能增大到原来的倍时，才能进入到椭圆转移轨道运动。 10．地球卫星中，有的在近地轨道Ⅰ绕地球做匀速圆周运动，有的在轨道Ⅱ上绕地球做椭圆运动，如图甲所示。卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂，研究时我们可以把椭圆分割为许多很短的小段，卫星在每小段的运动都可以看作是圆周运动的一部分，如图乙所示。这样，在分析卫星经过椭圆上某位置的运动时，就可以按圆周运动来分析和处理。如图丙卫星在椭圆轨道Ⅱ的近地点P的速率为，P到地心的距离为；在远地点Q的速率为，Q到地心的距离为；地球在其一个焦点C上。试用三种不同物理方法证明如下结论：； (1)由行星运动规律，根据开普勒第二定律（对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，该定律也适用于地球和卫星组成的系统）证明：； (2)如图丁，可将近地点和远地点附近小段视为圆轨道的一部分，由动力学观，根据万有引力定律和牛顿运动定律证明：； (3)由能量观，根据机械能守恒定律证明：；（已知地球质量为M，引力常量为G。当质量为m的物体相距地心为r时，其引力势能为；同时以地心为椭圆一焦点，半长轴为a的椭圆轨道运行时的机械能为） 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；【详解】（1） 如图所示，分别在P、Q点经过一小段时间，可认为卫星速度不变，和地球的连线在内扫过的形状可看成一直角三角形，面积为 同理 由开普勒第三定律知 由此可得 （2）卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行时，近地点和远地点的等效圆周运动半径分别为和，根据牛顿第二定律可得； 根据椭圆的对称性可知 联立解得 （3）由P到Q过程中能量守恒得 可推得： 解得 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$