精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市田家炳外国语学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

巴市外校2024—2025学年初三年级第一学期数学期中考试 考试时间为90分钟，卷面总分为100分 一、单项选择题(每题3分，共30分) 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝下 D. 通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰 【答案】D 【解析】 【分析】一定发生或不能发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，根据定义判断． 【详解】A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件； C、从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝下是随机事件； D、通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是必然事件； 故选：D． 【点睛】此题考查必然事件的定义，解题的关键是掌握必然事件与随机事件的区别，理解事件发生可能性的大小． 3. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. -3 C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】把原方程变形得+2x=1,根据根与系数的关系得到mn=-1,再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：+2x-1=0得+2x=1， ∵m，n是方程+2x-1=0的两个实数根，∴mn=-1， 2+4m＝2（+2m）＝2， ∴2+4m-mn=2-(-1)=3. 故选A. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，方程根的意义，以及整体代入的思想. 4. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案． 【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E， ∴， ∴， 即的周长为12， 故选：D． 5. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的半径为4，，且， ∴点P在内． 故选A． 6. 半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长即可求解． 【详解】解：如图所示： 连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝×360°＝60°， ∴中心角是：60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝OC＝2，∠OBC＝60°， ∴sin∠OBC＝， ∴OH＝ 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 7. 如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，先求出OA=OD=5，OM=3，由垂径定理和勾股定理，即可求出AM=4，即可求出AB的长度． 【详解】解：连接OA，如图： ∵的直径， ∴OA=OD=5， ∵, ∴OM=3， ∵是的弦，，垂足为， 由垂径定理，得：，， 在直角△AOM中，由勾股定理，则 ， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 8. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆锥的侧面积和底面半径，再求圆锥的表面积，由此即可求出这个圆锥的表面积． 【详解】解：圆锥的侧面积＝π×42×＝， 圆锥的底面半径＝2π×4×÷2π＝， 圆锥的底面积＝π×()2＝， 圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥的表面积，解题时要认真审题，掌握扇形面积、圆锥底面半径的计算方法是解题的关键． 9. 已知二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为（ ） A. B. C. －1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果． 【详解】解：∵二次函数y=（a-2）x2-（a+2）x+1， 当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等， 可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴， 则： 解得：a=-2， 则关于x的一元二次方程（a-2）x2-（a+2）x+1=0为-4x2+1=0， 则两根之积为 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是得出二次函数图象的对称轴为y轴． 10. 下列结论中：①的内切圆半径为，的周长为，则的面积是；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为；③圆内接平行四边形是矩形；④无论取何值，方程总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①如图1，连接圆心和切点，则可得到垂直关系，此时将图形分割成三个三角形，求三个三角形的面积和即为的面积；②用列举法求此种情况的概率即可；③如图3，根据矩形的判定性质：对角线相等，且互相平分的四边形是矩形，判断其是否为矩形；④根据一元二次方程根的判别式性质判断该方程有几个实数根． 【详解】①如图1，连接OE，OD，OF；OA，OB，OC； 则OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC； ∴S△ABC=AB·OE+BC·OD+AC·OF ∵OE=OF=OD=r，AB+BC+AC=l， ∴S△ABC=AB·r+BC·r+AC·r=(AB+BC+AC)= ， ∴①正确． ②列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正反，反正，反反， ∴满足硬币全部正面向上的概率=， ∴②错误． ③如图3，∵平行四边形ABCD为圆内接平行四边形， ∴OA=OB=OC=OD，且圆心O是对角线的交点， ∴BD=2OB=2OC=AC， ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴③正确． ④∵，即x2-5x+6-p2=0， ∴△=b2﹣4ac=(-5)2-4(6-p2)， ∴△=25-24+4 p2＞0， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ∴④正确， 故选：B． 【点睛】①本小问考查了三角形内切圆的性质，三角形的面积公式，解答本小问的关键是，充分利用已知条件，将问题转化为求几个三角形面积的和；②本小问考查了用列举法求概率，解答本题的关键是列举出所能产生的全部结果，然后再找出题目所要求的结果数量除以全部结果的数量；③本小问考查了圆的性质，矩形的判定，熟练掌握并运用对角线互相平分且相等的四边形是矩形是解题的关键；④本小问考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握并运用一元二次方程根的判别式是解题的关键(△＞0时，有两个不同的实数根；△=0时，有两个相等的实数根；△＜0时，无实数根)． 二、填空题(每题3分，共18分) 11. 把一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，将“两次抛掷骰子所得点数相同”记为事件，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将两次抛掷骰子所得点数用树状图或列表格的方法表示出来，得到总点数情况种数数与点数相同的种数个数即可求解 【详解】解：列表格如图所示： 点数 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由表格可得：先后抛掷两次，点数情况的种数总个数有36种，点数相同的种数个数有6种， 故答案为： 【点睛】本题考查概率的求法，能熟练作树状图或列表格是解决本题的关键 12. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 【答案】(1，) 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写出答案． 【详解】解：点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3）， 故答案为（1，-3）． 13. 如图，是的一条弦，连接， 交于点C，连接，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，平行线的性质，连接，先由圆周角定理得到，再由等边对等角得到，进一步由平行线的性质得到，则，再利用三角形内角和定理求解，熟练掌握相关知识点是关键． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度．根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度即可． 【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心， ， ，， ， . 米，， 米 设，则， 在中，， ， 即的半径长为米． 故答案为：． 15. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___度． 【答案】20 【解析】 【详解】∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=40°． 在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°． ∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°． 16. 如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为________． 【答案】③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上可得，再根据二次函数的对称轴可得，则，由此即可判断①错误；根据当时，即可判断②错误；根据即可判断③正确；先求出，代入抛物线的解析式可得，再将代入方程等号的左边进行检验即可判断④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的负半轴上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由得：， 由图象可知，当时，， ∴， ∴，则结论②错误； 当时，， ∴， 由函数图象可知，， ∵， ∴，即， ∴，则结论③正确； ∵，， ∴， 将点代入函数得：， ∵， ∴，即， 将代入得： ， ∴关于的方程有一个根为，则结论④正确； 综上，正确的结论为③④， 故答案为：③④． 三、解答题(共52分) 17. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程——因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． （1）用十字相乘法因式分解解方程即可； （2）用因式分解解方程即可． 【小问1详解】 解：，即， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 即：， ∴或， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，，． （1）平移，使点移到点，画出平移后的，并写出点，的坐标； （2）画出与关于原点对称的图形． 【答案】 （1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，，， （2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形， 【解析】 【分析】（1）根据点C移到点C1（﹣2，﹣4），可知向下平移了5个单位，分别作出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可解决问题； （2）根据中心对称的性质，作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平移变换、旋转变换以及平移坐标变化等知识，解题的关键是正确作出对应点解决问题． 19. 一个口袋中有个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为． （1）求口袋中白球的个数； （2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明． 【答案】（1）个 （2） 【解析】 【分析】（1）根据摸得黑球的概率为，假设出白球个数直接得出答案； （2）利用先随机从口袋中摸出一球，不放回，得出树状图即可． 【小问1详解】 解：∵一个口袋中有个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为． ∴假设白球有个， ∴， ∴． ∴口袋中白球的个数为个； 【小问2详解】 解：∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．画树状图如下， 一共得到6种等可能结果，其中两次摸出的球都是白球的有2种， ∴两次都摸到白球的概率为：． 【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，根据已知得出树状图注意按要求从口袋中摸出一球，不放回，容易在这个地方犯错． 20. 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克． （1）请你直接写出日销售利润y(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式． （2）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元 ． 【答案】（1） （2）当售价定为每千克70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意可以得到日销售量为，根据销售利润每千克利润日销售量，即可得出答案； （2）根据（1）中的关系式化为顶点式即可解答本题． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即：； 【小问2详解】 ， 又由可知抛物线的开口向下， ∴当时，最大值为900 ， 故当售价定为每千克70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元． 21. 如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点． （1）求证：； （2）连接交于，已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，     由旋转性质得， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分． ，， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质． （1）连接，结合旋转的性质，矩形的性质可得平分，即可求证； （2）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，，再由勾股定理可得，从而求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由勾股定理得，， ， ， ． 22. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC=∠CAO， ∴∠DAC=∠OCA， ∴PBOC， ∵CD⊥PA， ∴CD⊥OC，CO为O半径， ∴CD为O的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线； （2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x） +（6-x） =25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长． 【详解】(1)略 (2)过O作OF⊥AB，垂足为F， ∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90∘， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC=FD，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6−x， ∵O的直径为10， ∴DF=OC=5， ∴AF=5−x， 在Rt△AOF中,由勾股定理得AF +OF=OA. 即(5−x) +(6−x) =25，化简得x−11x+18=0， 解得 . ∵CD=6−x大于0，故x=9舍去， ∴x=2，从而AD=2，AF=5−2=3， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB=2AF=6． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 23. 如图，抛物线与轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于轴的对称点是M’． （1）求抛物线的解析式． （2）若直线AM’与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积． 【答案】（1）； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可得C点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； 【小问1详解】 将A、B点坐标代入函数解析式，得， 解得， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 将抛物线的解析式化为顶点式，得， M点的坐标为（1，-4）， M′点的坐标为（1，4）， 设AM′的解析式为y=kx+b， 将A、M′点的坐标代入，得 ， 解得， ， AM′的解析式为y=2x+2， 联立AM′与抛物线，得 ， 解得， ∴C点坐标为（5，12）． ； 【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用轴对称的性质得出M′的坐标，利用待定系数法得出AM′的解析式，利用解方程组得出C点坐标是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴市外校2024—2025学年初三年级第一学期数学期中考试 考试时间为90分钟，卷面总分为100分 一、单项选择题(每题3分，共30分) 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 从一定高度落下的图钉，落地后钉尖朝下 D. 通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰 3. 已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A. 3 B. -3 C. -1 D. 1 4. 如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 已知的半径为4，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定 6. 半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为（ ） A. B. C. －1 D. 0 10. 下列结论中：①的内切圆半径为，的周长为，则的面积是；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为；③圆内接平行四边形是矩形；④无论取何值，方程总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题(每题3分，共18分) 11. 把一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，将“两次抛掷骰子所得点数相同”记为事件，则______． 12. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________． 13. 如图，是的一条弦，连接， 交于点C，连接，若，则的度数为______． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，B为一点，于D．若米，米，则的的半径长为_______米． 15. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=___度． 16. 如图，二次函数的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，且．有下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确结论为________． 三、解答题(共52分) 17. 解下列方程． （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，，． （1）平移，使点移到点，画出平移后的，并写出点，的坐标； （2）画出与关于原点对称的图形． 19. 一个口袋中有个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为． （1）求口袋中白球的个数； （2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明． 20. 某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克． （1）请你直接写出日销售利润y(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式． （2）当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元 ． 21. 如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点． （1）求证：； （2）连接交于，已知，，求的长． 22. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度． 23. 如图，抛物线与轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，顶点M关于轴的对称点是M’． （1）求抛物线的解析式． （2）若直线AM’与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $