精品解析：辽宁省辽阳市集美中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

高一考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册第七章至第八章两角和与差的正弦、正切. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 12 B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向左平移个单位长度 4. 若向量，满足，且，则向量在向量上投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 某企业计划做一个企业发展史的铭牌，铭牌的截面是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）.已知，该扇形环面的周长为22，则该扇形环面的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 已知向量，且，，则最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知是直线与函数图象两个相邻交点，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或6 D. 4或8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A B. C. D. 10. 已知函数的最小值为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 在梯形中，，，，，若为三条边上的一个动点，则的取值可能是（ ） A. B. 18 C. 24 D. 56 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 13. 如图，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，且，则________. 14. 已知，，且，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量，满足，，且. （1）求向量，的夹角； （2）若，求的值. 16. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，在线段上（不包含端点），线段，相交于点. （1）若是线段中点，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 19. 若函数，则称为向量，的点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数. （1）若向量，，且向量，的点积函数，求的值； （2）若向量，，求向量，的点积函数的值域； （3）若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第三册第七章至第八章两角和与差的正弦、正切. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各角中，与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据终边相同角的表示方式进行选择. 【详解】因为与终边相同的角为：，. 当时，. 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】由，则，解得. 故选：A. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移1个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移1个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】将化成，结合函数图象的平移变换，即可得到答案. 【详解】因为， 所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移1个单位长度即可. 故选：C 4. 若向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积运算律结合可得，再根据投影向量的定义求解即可. 【详解】由，则， 则，即， 所以向量在向量上的投影向量是：. 故选：D. 5. 若函数在上单调递增，则的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦函数的单调性求解即可. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 要使函数在上单调递增， 则，即，则的最大值是2. 故选：C. 6. 某企业计划做一个企业发展史的铭牌，铭牌的截面是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）.已知，该扇形环面的周长为22，则该扇形环面的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合扇形的弧长公式可得，进而结合题设求出，再根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】设，由， 则， 因为扇形环面的周长为22，且， 所以，解得， 则该扇形环面的面积是. 故选：D. 7. 已知向量，且，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先设出向量、的坐标，再根据已知条件得出向量坐标之间的关系，最后根据向量模的计算公式求解的最小值. 【详解】设，， 由；由. 所以. 所以（当时取“”）. 故选：C 8. 已知是直线与函数图象的两个相邻交点，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或6 D. 4或8 【答案】C 【解析】 【分析】设出的横坐标分别为，根据题意写出的值，再利用整体代入求解即可. 【详解】设横坐标分别为且，因为，所以， 令， 故或 ， 所以或，即或， 所以或， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式逐一计算求值即可. 【详解】对A：，故A不满足题意； 对B：，故B满足题意； 对C：，故C满足题意； 对D：，故D满足题意 故选：BCD 10. 已知函数的最小值为，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式及辅助角公式化简后，利用最小值求解即可. 【详解】由 ， 所以函数的最小值为， 即，解得， 所以， 故选：AC 11. 在梯形中，，，，，若为三条边上的一个动点，则的取值可能是（ ） A. B. 18 C. 24 D. 56 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量的定义可得，结合投影向量的定义分析可得当位于点时，最小，进而建立平面直角坐标系，结合向量可得，进而得到当位于点或点时，最大，进而分别求解即可. 【详解】由， 而表示在方向上的投影向量的长度， 如图，显然当位于点时，此时最小， 此时，则； 过点作，垂足为， 因为，所以，则， 以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 则，，， 则，即， 所以当位于点或点时，同时最大， 则，即. 综上所述，的取值范围为. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 13. 如图，是边长为2的等边三角形，是直角三角形，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求值. 【详解】将图形适当旋转，以为原点，建立如图平面直角坐标系. 因为是边长为2的等边三角形，是直角三角形，且， 所以， ，. 可设 所以，. 所以. 故答案为： 14. 已知，，且，，则________. 【答案】-7 【解析】 【分析】利用同角关系式及和差公式求出，继而即可求解. 【详解】 ， 因为，所以，且， 所以为第一象限角， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 故答案为：-7. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量，满足，，且. （1）求向量，的夹角； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据条件求，再利用求向量的夹角. （2）根据列式求的值. 【小问1详解】 因， 所以. 所以，又， 所以，即向量，的夹角为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以或. 16. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用，结合两角差的余弦公式求值. （2）利用同角三角函数的关系求值. （3）先利用诱导公式化简，再转化成“齐次式”求值. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 且. 所以. 【小问2详解】 由（1）得：. 所以. 【小问3详解】 因为，， ，. 所以： 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据周期确定的值，再根据图象过点，结合的取值范围可确定的值，再根据函数图象过点可求的值. （2）结合余弦函数的图象解不等式即可. 【小问1详解】 由图可知：，所以， 又，所以. 因为函数图象过点，所以，. 又，所以，. 由函数图象过点，所以. 所以. 【小问2详解】 由. 结合余弦函数的图象可得：，. 所以，. 所以不等式的解集为，. 18. 如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，在线段上（不包含端点），线段，相交于点. （1）若是线段的中点，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）7 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可； （2）根据向量垂直的数量积表示化简即可求解； （3）根据三点共线的向量表示及向量的坐标运算即可得解. 【小问1详解】 以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则、、、，则， 则， 所以. 【小问2详解】 设， 则，， 若，则， 解得， 所以，故. 【小问3详解】 设， 由三点共线可得：， 所以， 由， 可得， 所以，即，解得， 所以. 19. 若函数，则称为向量，的点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数. （1）若向量，，且向量，的点积函数，求的值； （2）若向量，，求向量，的点积函数的值域； （3）若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点积函数的定义可得，进而求出的值，再结合模的坐标表示计算即可； （2）根据点积函数的定义及平方关系可得，换元结合二次函数的性质求解即可； （3）根据点积函数的定义及三角恒等变换公式可得，再结合正弦函数的性质可得，进而结合题意求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 则，即， 所以. 【小问2详解】 由题意，， 令， 则，对称轴为， 则函数在上单调递增， 当，， 则的值域为. 小问3详解】 由题意， ， 由，得，则， 则，即， 则， 由于存在，使得成立， 则，解得， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$