6．4　三角形的中位线定理 同步练 2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

1．[2024·巴中]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4.若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为( B ) 第1题图 A．4 B．5 C．6 D．8 2．[2024·济宁二模]如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为( C ) 第2题图 A．6 B．7 C．8 D．9 3．[2024·潍坊一模]如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE，若AC＝5，DE＝1，则AB等于( A ) 第3题图 A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 4．[2024·威海期末]如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝( A ) 第4题图 A．25° B．30° C．35° D．40° 5．[2024·西安期中]如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边的中点，则下列条件能使得四边形EFGH为矩形的是( C ) 第5题图 A．AB⊥AD B．AB＝AD C．AC⊥BD D．AC＝BD 6．[2024·烟台期末]如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△DGF的面积为2，则△CEF的面积为( B ) 第6题图 A．4 B．6 C．8 D．9 7．[2023·桥西区期末]如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CB上从点C向B移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( C ) 第7题图 A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先逐渐增大后逐渐减小 8．(多选)[2023·宁阳县期末]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，下列结论中正确的有( BCD ) 第8题图 A．CD＝AB B．BG＝FG C．FG∥AC D．∠CAE＋∠BGF＝180°. 解析：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N， 第8题图 ∵BD＝AB，DB＜DC， ∴CD＞AB， 故A不符合题意； ∵EF∥NG∥BC，EG＝CG， ∴FN＝NB， ∵GN⊥AB， ∴FG＝GB， 故B符合题意； ∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM， ∴△AEF≌△AMF(ASA)， ∴FE＝FM， ∵EG＝GC， ∴FG∥AC， 故C符合题意； ∵∠BFG＋∠FBG＋∠FGB＝180°， ∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF， ∴∠EAC＋∠FGB＝180°， 故D符合题意． 9．[2024·菏泽期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，D，F分别为BC，AB，AC上的中点，已知DF＝4，则AE＝4． 第9题图 10．[2024·泰安期中]如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①②③．(填序号) 第10题图 ①OG＝AB ②△ABG≌△DCO ③由点A，B，D，E构成的四边形是菱形 11．[2024·淄博期末]如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F. (1)求证：∠AEN＝∠F； (2)若∠A＋∠ABC＝122°，求∠F的大小． 第11题图 解：(1)证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点， ∴PM∥BC，PM＝BC， ∴∠PMN＝∠F， 同理PN∥AD，PN＝AD， ∴∠PNM＝∠AEN， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM， ∴∠AEN＝∠F； (2)∵PN∥AD， ∴∠PNB＝∠A， ∵∠DPN是△PNB的一个外角， ∴∠DPN＝∠PNB＋∠ABD＝∠A＋∠ABD， ∵PM∥BC， ∴∠F＝∠PMN，∠MPD＝∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPN＋∠MPD＝∠A＋∠ABD＋∠DBC＝∠A＋∠ABC＝122°， ∵PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM＝×(180°－122°)＝29°， ∴∠F＝∠PMN＝29°. 12．[2024·滨州期中]如图，在四边形ABCD中，M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与EF互相平分． 第12题图 证明：如图，连接ME，EN，NF，MF， 第12题图 ∵M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点， ∴ME∥AB且ME＝AB，NF∥AB且NF＝AB， ∴ME∥NF且ME＝NF， ∴四边形MENF是平行四边形， ∴MN与EF互相平分． 13．[2024·潍坊期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F ，使EF＝DE，连接CF，BF，CD. (1)求证：四边形CFBD 是菱形； (2)连接AE，若AC＝2，BC＝6，求四边形CFBD的面积． 第13题图 解：(1)证明：∵D，E分别是边AB，BC的中点， ∴DE是Rt△ABC 的中位线，CE＝BE， ∴DE∥AC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DEB＝∠ACB＝90°，即DF⊥BC， 又∵EF＝DE，∴四边形CFBD 是菱形； (2)由(1)可得DE是Rt△ABC 的中位线， ∴DE＝AC＝1，∴DF＝2DE＝2， ∵四边形CFBD是菱形， ∴S四边形CFBD＝DF·BC＝6. 第13题图 14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF. (1)求证：AE＝EF； (2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系． 第14题图 解：(1)证明：∵点E，F分别为DB，BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴EF＝CD， 在Rt△ABD中，点E为斜边DB的中点， ∴AE＝DB， ∵DB＝DC， ∴AE＝EF； (2)由(1)知AE＝EF， ∵AF＝AE， ∴AE＝EF＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴∠AEF＝60°， ∵EF是△BCD的中位线， ∴EF∥CD， ∴∠BEF＝∠BDC＝β， ∴β＋∠AEB＝60°， 又∵∠AEB＝α＋∠DAE， ∴β＋α＋∠DAE＝60°， ∵∠DAB＝90°， ∴AE是斜边BD上的中线， ∴AE＝DE， ∴∠DAE＝α， ∴β＋α＋α＝60°， 即2α＋β＝60°. 15．[2024·临沂期中]阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形． 第15题图 这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半． 证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N. ∵H，G分别为AD，CD的中点， ∴HG∥AC，HG＝AC.(依据1) 易知DN＝NM＝DM. ∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形， ∴HE∥GF，即HP∥GQ. ∴HG∥AC，即HG∥PQ， ∴四边形HPQG是平行四边形．(依据2) ∴S▱HPQG＝HG·MN＝HG·DM. ∵S△ADC＝AC·DM＝HG·DM， ∴S▱HPQG＝S△ADC，同理…… 任务： (1)材料中的依据1是指： ， 依据2是指： ， 并补全证明； (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线) (3)在图1中，分别连接AC，BD，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论． 解：(1)证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M， 交HG于点N. ∵H，G分别为AD，CD的中点， ∴HG∥AC，HG＝AC，(三角形的中位线定理) 易知DN＝NM＝DM， ∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形， ∴HE∥GF，即HP∥GQ. ∵HG∥AC，即HG∥PQ， ∴四边形HPQG是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形) ∴S▱HPQG＝HG·MN＝HG·DM. ∵S△ADC＝AC·DM＝HG·DM， ∴S▱HPQG＝S△ADC， 同理，S▱EPQF＝S△ABC， ∴S▱EFGH＝S四边形ABCD， 故答案为：三角形的中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)如图3，画四边形ABCD，且AC⊥BD交BD于点O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，H，G，F，则四边形EFGH为矩形， 第15题图 理由：∵点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF∥BD，HG∥BD，EH∥AC，FG∥AC， ∴EF∥GH，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD，EF∥BD， ∴AC⊥EF， ∴FG∥AC， ∴EF⊥FG， ∴平行四边形EFGH是矩形； (3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC＋BD，理由：如图4， 第15题图 ∵四边形EFGH是四边形ABCD的瓦里尼翁平行四边形， ∴点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点， ∴EF＝AC，GH＝AC，EH＝BD，GF＝BD， ∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长为 EF＋GF＋GH＋HE＝AC＋BD＋AC＋BD＝BD＋AC. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．[2024·巴中]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4.若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为( ) 第1题图 A．4 B．5 C．6 D．8 2．[2024·济宁二模]如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为( ) 第2题图 A．6 B．7 C．8 D．9 3．[2024·潍坊一模]如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE，若AC＝5，DE＝1，则AB等于( ) 第3题图 A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 4．[2024·威海期末]如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝( ) 第4题图 A．25° B．30° C．35° D．40° 5．[2024·西安期中]如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边的中点，则下列条件能使得四边形EFGH为矩形的是( ) 第5题图 A．AB⊥AD B．AB＝AD C．AC⊥BD D．AC＝BD 6．[2024·烟台期末]如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△DGF的面积为2，则△CEF的面积为( ) 第6题图 A．4 B．6 C．8 D．9 7．[2023·桥西区期末]如图，在四边形ABCD中，P，R分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CB上从点C向B移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( ) 第7题图 A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先逐渐增大后逐渐减小 8．(多选)[2023·宁阳县期末]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，下列结论中正确的有( ) 第8题图 A．CD＝AB B．BG＝FG C．FG∥AC D．∠CAE＋∠BGF＝180°. 9．[2024·菏泽期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，D，F分别为BC，AB，AC上的中点，已知DF＝4，则AE＝ ． 第9题图 10．[2024·泰安期中]如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 ．(填序号) 第10题图 ①OG＝AB ②△ABG≌△DCO ③由点A，B，D，E构成的四边形是菱形 11．[2024·淄博期末]如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F. (1)求证：∠AEN＝∠F； (2)若∠A＋∠ABC＝122°，求∠F的大小． 第11题图 12．[2024·滨州期中]如图，在四边形ABCD中，M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与EF互相平分． 第12题图 13．[2024·潍坊期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F ，使EF＝DE，连接CF，BF，CD. (1)求证：四边形CFBD 是菱形； (2)连接AE，若AC＝2，BC＝6，求四边形CFBD的面积． 第13题图 14．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF. (1)求证：AE＝EF； (2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系． 第14题图 15．[2024·临沂期中]阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形． 第15题图 这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半． 证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N. ∵H，G分别为AD，CD的中点， ∴HG∥AC，HG＝AC.(依据1) 易知DN＝NM＝DM. ∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形， ∴HE∥GF，即HP∥GQ. ∴HG∥AC，即HG∥PQ， ∴四边形HPQG是平行四边形．(依据2) ∴S▱HPQG＝HG·MN＝HG·DM. ∵S△ADC＝AC·DM＝HG·DM， ∴S▱HPQG＝S△ADC，同理…… 任务： (1)材料中的依据1是指： ， 依据2是指： ， 并补全证明； (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线) (3)在图1中，分别连接AC，BD，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$