6.4三角形的中位线定理同步练习2024-2025学年青岛版数学八年级下册

6.4三角形的中位线定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列叙述不正确的是（ ） A．一个三角形必有三条中位线 B．一个三角形必有三条中线 C．三角形的一条中线分成的两个三角形的面积相等 D．三角形的一条中位线分成的两部分面积相等 2．若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（    ） A．任意四边形 B．对角线相等的四边形 C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（    ） A．3 B．4 C．2 D． 4．如图，已知AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，下面给出三个关系式： ①AG:AD=1:2；②GE:BE=1:3 ③BE:BG=4:3，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 6．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件是(     ) A．AD＝BC B．AC＝BD C．AB＝CD D．AD＝CD 7．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，小棒家有一块三角形的空地，测量三边AB=6米，BC=8米，AC=9米，且E、F分别是AB、AC边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是（  ） A．18.5米 B．19.5米 C．19米 D．20米 9．在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高，将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（     ） A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5 10．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为的中点，且，，则菱形的面积为（　　） A．12 B． C． D．16 11．已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 12．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：①对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．观察探究可以得到∠NBC的度数是（　　）    A．20° B．25° C．30° D．35° 二、填空题 13．如图，四边形中，，且与不平行，、、分别是、、的中点，设的面积为，则的范围是       ． 14．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为 ．    15．如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，，是四边形的中点四边形，如果，，那么四边形的面积为 ． 16．三角形各边长为8、11、15，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 . 17．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为 ． 三、解答题 18．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED． 19．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D；CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F． (1)求证：△BEF是等腰三角形； (2)求证：BD＝(BC+BF)． 20．已知：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE＝BC 21．如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=，= ，求向量关于、的分解式． 22．如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点，若AB＝AC＝10，BC＝12，求四边形ADEF的周长和面积. 23．如图，在△ABC中，AB=BC=26cm，∠ABC=84°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC． (1)求∠EDB的度数； (2)求DE的长. 24．分别是三角形的边的中点，是所在平面上的动点，连接，点分别是的中点，顺次连接点 （1）如图，当点在的内部时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，则与应满足怎样的关系？若四边形是矩形，则与应满足怎样的关系？(直接写出答案，不需要说明理由) 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《6.4三角形的中位线定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D B A D B D B 题号 11 12 答案 C C 1．D 【分析】A. 根据三角形中位线的定义可对A进行判断； B. 根据三角形中线的定义可对B进行判断； C. 因为三角形的一条中线分成的两个三角形等底等高，根据三角形面积的计算方法，可对C进行判断； D. 根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质可对D进行判断. 【详解】A. 根据三角形中位线的定义可得：一个三角形必有三条中位线，故A正确； B. 根据三角形中线的定义可得：一个三角形必有三条中线，故B正确； C. 因为三角形的一条中线分成的两个三角形等底等高，根据三角形面积的计算方法，这两个三角形面积相等，故C正确； D. 如图， DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴，故D不正确. 故选D. 【点睛】本题考查三角形的中线，三角形中位线定理. 2．D 【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解． 【详解】解：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，    由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， 根据三角形中位线定理得：，； ∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG， ∴AC⊥BD． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 3．B 【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠DAC，结合图形求出∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：连接AC， ∵DA＝DC，∠D＝100°， ∴∠DAC＝∠DCA＝40°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝130°﹣40°＝90°， ∴AC＝， ∵点E，F分别是边AD，CD的中点， ∴EF＝AC＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 4．D 【分析】根据题意易得DF、GE分别为三角形BEC和三角形ADF的中位线，然后根据中位线的性质分析判断给出的三个关系式即可. 【详解】∵AD是△ABC的中线，AE=EF=FC， ∴DF为三角形BEC的中位线, ∴ DF∥BE且DF=BE， 又∵GE为三角形ADF的中位线， ∴GE∥DF且GE=DF， ∴ ①AG:AD=1:2 ③BE:BG=4:3，正确，GE:BE=1:4,②GE:BE=1:3错误, 故本题答案为：D. 【点睛】三角形中位线的性质是本题的考点，熟练掌握并正确运用中位线的性质是解题的关键. 5．B 【解析】略 6．A 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AD且EF=AD，同理可得GH∥AD且GH=AD，EH∥BC且EH=BC，然后证明四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形解答． 【详解】解：应满足AD=BC． 理由如下：∵E，F分别是AB，BD的中点， ∴EF∥AD且EF=AD，同理可得：GH∥AD且GH=AD，EH∥BC且EH=BC， ∴EF∥GH且EF=GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AD=BC， ∴AD=BC，即EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形． 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半得到四边形EFGH的对边平行且相等从而判定出平行四边形是解题的关键，也是本题的突破口． 7．D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”．根据题意可得是的中位线，是的中位线，推出，，结合，可得，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：点是对角线的中点，点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， 故选：D． 8．B 【分析】根据三角形中位线定理求出EF，根据三角形的中点的概念分别求出BE、CF，计算即可． 【详解】解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB=6m，BC=8m，AC=9m， ∴EF=BC=4m，BE=AB=3m，CF=AC=4.5m， ∴需要篱笆的长=4+3+4.5+8=19.5m． 故选 B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 9．D 【分析】根据折叠图形的对称性，易得△EDF≌△EAF，运用中位线定理可知△AEF的周长等于△ABC周长的一半，进而△DEF的周长可求． 【详解】解：∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形， ∴△EDF≌△EAF，AD⊥EF， ∴∠AEF=∠DEF， ∵AD是BC边上的高， ∴EF∥CB， 又∵∠AEF=∠B， ∴∠BDE=∠DEF， ∴∠B=∠BDE， ∴BE=DE， 同理，DF=CF， ∴EF为△ABC的中位线， ∴△DEF的周长为△EAF的周长， 即AE+EF+AF=（AB+BC+AC）=（12+10+9）=15.5． 故选D． 10．B 【分析】利用菱形的性质，得到为的中位线，从而得到菱形的边长，再根据菱形的性质可以得到是含角的直角三角形，从而求出菱形的对角线的长度，利用菱形的面积公式对角线乘积的一半，即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，为的中点， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，以及含角的直角三角形．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，是解题的关键． 11．C 【分析】本题考查了正方形的综合，涉及中位线，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性质，轨迹圆，熟练根据图形画出辅助线、找出动点运动的轨迹是解题的关键．连接，设的中点分别为，连接，利用中点的性质确定点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，且点从点运动到点，通过， 得出，推出点的运动路径长与点的运动路径长相等即可． 【详解】解：如图，连接，设的中点分别为，连接， 则， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 点从点运动到点， 点从点运动到点， 的长， ，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 和对应， 点的运动路径长与点的运动路径长相等， 点的运动路径长为， 故选：C． 12．C 【分析】BM交EF于P，如图，根据折叠的性质得∠BNM=∠A=90°，∠2=∠3，EF∥AD，AE=BE，则可判断EP为△BAM的中位线，利用平行线的性质得∠1=∠NBC，根据斜边上的中线性质得PN=PB=PM，所以∠1=∠2，从而得到∠NBC=∠2=∠3，然后利用∠NBC+∠2+∠3=90°可得到∠NBC的度数． 【详解】BM交EF于P，如图，    ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∵折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN， ∴∠BNM＝∠A＝90°，∠2＝∠3， ∵对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF， ∴EF∥AD，AE＝BE， ∴EP为△BAM的中位线，∠1＝∠NBC， ∴P点为BM的中点， ∴PN＝PB＝PM， ∴∠1＝∠2， ∴∠NBC＝∠2＝∠3， ∵∠NBC+∠2+∠3＝90°， ∴∠NBC＝30°． 故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质． 13． 【分析】作于点，根据中位线的性质得出,根据三角形的面积公式得出，根据不能重合得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ，，分别是，，中点， ，， ， 与不平行， ，不能重合， ， ． ． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 14．1 【分析】首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE， ∴△ACF是等腰三角形， ∴AF=AC， ∵AC=3， ∴AF=AC=3，HF=CH， ∵AD为△ABC的中线， ∴DH是△BCF的中位线， ∴DH=BF， ∵AB=5， ∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2． ∴DH=1， 故答案为1． 考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质． 15． 【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积进行计算． 【详解】解：，，，是四边形的中点四边形，如果，， ∴,, 则， ∴，， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的两条对角线，互相垂直， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形的判定，掌握三角形中位线的性质，矩形的判定是解题的关键． 16．17 【详解】∵中点三角形的各边长等于：×8=4，×11=5.5，×15=7.5， ∴其周长=4+5.5+7.5=17， 故答案为17． 17．16 【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题． 【详解】解：∵BD=AD，BE=EC， ∴DE=AC=5，DE∥AC， ∵CF=FA，CE=BE， ∴EF=AB=3，EF∥AB， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=16， 故答案为16． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 18．ED=1. 【详解】延长BE交AC于F， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE， ∵BE⊥AE，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AF＝AB，BE＝EF， ∵AB＝5， ∴AF＝5， ∵AC＝7， ∴CF＝AC-AF＝7-5＝2， ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， ∴DE是△BCF的中位线， ∴DE＝CF＝1. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是正确添加辅助线. 19．（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】(1)由AB=BC ，可得∠A=∠ACB=45°，由CE平分∠ACB可得∠ECA的度数，根据外角性质求出∠BEF的度数，由直角三角形两锐角互余求出∠CFD的度数即可得结论； （2）延长AB至M，使得BM=AB，连接CM，根据中位线定理可知BD=CM，由BD//CM，可求出∠MCE的度数，即可证明MC=ME，根据等量关系证明，即可得结论. 【详解】（1）在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D， ∴∠ABD=∠CBD，AD=CD， ∵∠ABC=90°， ∴∠A=∠ACB=45°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB=∠ACE=22.5°， ∴∠BEF=∠A+∠ACF=67.5°，∠BFE=∠CFD=90°-22.5°=67.5°， ∴∠BEF=∠BFE， ∴BE=BF， ∴△BEF是等腰三角形； （2）如图，延长AB至M，使得BM=AB，连接CM， ∵AB=BM，AD=CD， ∴BD∥CM，BD=CM， ∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°， ∴∠MCE=45°+22.5°=67.5°， ∴∠BEF=MCE， ∴MC=EM， ∵AB=BM，AB=BC ∴BC=BM， 由（1）得，BE=BF， ∴BD=EM=（BM+BE）=（BC+BF）. 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理，熟练掌握中位线定理并正确作出辅助线是解题关键. 20．证明见解析 【分析】延长DE至F，使EF=DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE和证明四边形BCFD是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半． 【详解】证明：延长DE到F，使EF＝DE.连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝FE， ∴△ADE≌△CFE. ∴AD＝CF，∠A＝∠ECF ∴AD∥CF， 即BD∥CF. 又∵BD＝AD＝CF， ∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DE∥BC，且DF＝BC. ∴DE＝DF＝BC. 【点睛】本题考查三角形的中位线定理的证明，解题关键是掌握等三角形的判定和全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质． 21．答案见解析 【详解】试题分析：连接BD，由已知可得MN是△BCD的中位线，则MN=BD，根据向量减法表示出BD即可得. 试题解析：连接BD, ∵点M、N分别是边DC、BC的中点，∴MN是△BCD的中位线， ∴MN∥BD，MN= BD， ∵ ， ∴ . 22．周长为20，面积为24. 【详解】试题分析：根据三角形的中位线定理可得DE∥AC，EF∥AB，再根据两组对边分别平行的四边形ADEF是平行四边形，从而得AD=EF，AF=DE，所以四边形ADEF的周长=AB+AC，连接AE，则AE⊥BC，根据勾股定理可求出AE的长，进而得到三角形ABC的面积，因为四边形ADEF的面积是三角形面积的一半，问题得解． 试题解析：∵D、E分别为AB、BC的中点， ∴DE∥AC， ∵E、F分别为BC、AC中点， ∴EF∥AB， ∴四边形ADEF是平行四边形； ∴AD=EF，AF=DE， ∵点D、E、F分别是△ABC各边中点，AB=AC， ∴AD=DB=AF=FC， ∴四边形ADEF的周长=AB+AC=20， 连接AE，则AE⊥BC，BE=BC==6， ∴AE==8， ∴S△ABC=×12×8=48， ∴S四边形ADEF=×48=24． 23．（1）42o;（2）13cm 【分析】（1）根据平行线及角平分线的性质可求出∠EDB的度数； （2）根据三角形中位线定理可求出DE的长． 【详解】（1）∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC=∠ABC=40°． （2）∵AB=BC，BD是∠ABC的平分线， ∴D为AC的中点， ∵DE∥BC， ∴E为AB的中点， ∴DE=AB=6cm． 【点晴】考查的是平行线，角平分线，及三角形中位线的判定与性质，需同学们熟练掌握． 24．（1）见解析；（2）OA=OB, 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE＝BC，GF∥BC且GF＝BC，从而得到DE∥GF，DE＝GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形,有一个角是直角的平行四边形是矩形解答． 【详解】分别是的中点. 分别是的中点 四边形是平行四边形. 若四边形是菱形，则DG=GF, 由(1)中位线可知GF平行且等于BC,DG平行且等于AO ∴ 若四边形是矩形，则DG⊥GF, ∵DG∥AO,GF∥BC ∴ 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$