第十五章 四边形知识归纳与题型突破（18题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北京版）

第十五章 四边形知识归纳与题型突破（18题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1多边形 1.多边形的对角线 从边形的一个顶点可以引条对角线，并且这些对角线把多边形分成了个三角形；边形对角线条数为． 2.多边形的内角和、外角和 n边形内角和为，任意多边形的外角和为. 3.正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形. 4.正多边形的内外角：正边形的每个内角为，每一个外角为. 5.正多边形对称性：正边形有条对称轴.当为奇数时，是轴对称图形；当为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形. 知识点3 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定平行四边形的条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点4 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点5 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2、 判定矩形的条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形的条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点6中心对称和中心对称图形 1.中心对称 一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 2.中心对称图形 1.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 03 题型归纳 题型一　多边形内角和 例题：1．正多边形的每个内角为，则它的边数是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 2．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 4．一个正多边形的内角和是，则这个正多边形是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 题型二　正多边形外角 例题：5．如果一个正多边形每个外角都等于，那么它是正（    ）边形 A．三 B．四 C．五 D．六 巩固训练 6．正五边形的外角和为（　　） A． B． C． D． 7．若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 题型三　截去一个角 例题：9．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 故选： 巩固训练 10．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 11．在一个凸边形内角和为的纸板上切下一个三角形后，剩下一个边长为n的多边形，则n的值不可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 题型四　利用矩形性质求线段 例题：13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=5，BC=12，则BD的长为（      ） A．5 B．12 C．6.5 D．13 巩固训练 14．矩形中，对角线，相交于点，，，则的长（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 15．如图，点E、F分别在矩形ABCD的两条边上，且EF⊥EC，EF=EC，若该矩形的周长为16，AE=3，则DE的长为（　　） A． B．2 C． D．3 16．在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，OF⊥AD于F，若BE：ED=1：3，OF=3cm，则BD的长是（　　）cm． A．6 B．8 C．10 D．12 题型五　中心对称图形 例题：17．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 18．未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 19．绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   20．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型六　综合问题 例题：21．如图，正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤；⑥若，则正方形的面积是，其中正确的结论个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 22．如图，在矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处，折痕为，点E，F分别落在边和边上．连接，交于点K，交于点H．有如下结论：①；②；③和的面积相等；④当点F和点C重合时，．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 24．如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七　折叠问题 例题：25．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，则BF的长为 . 巩固训练 26．如图矩形ABCD中，AD=10，AB=14，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 . 27．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=65°，则∠GFD′= °．    28．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为 ． 题型八　利用平行四边形性质求线段 例题：29．如图，，为的对角线，，，，则的长为 ． 巩固训练 30．如图，已知的对角线与相交于点O，，将沿着直线翻折，使点B的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长度为 ． 31．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 32．如图，在中，，，，则的长为 ． 题型九　利用平行四边形性质求角度 例题：33．如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 巩固训练 34．如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为 ． 35．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为 ． 36．如图，在菱形中，过点作分别交，于点，，为的中点，，则的度数为 ． 题型十　利用菱形性质求线段 例题：37．如图，在菱形中，，，是一条对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接．若，则的长为 ，的长为 ． 巩固训练 38．如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，H为的中点，连接和交于点G，则的长为 ． 39．如图，四边形为菱形，延长到，在内作射线，过点作于，若平分，，则对角线的长为 ． 40．如图，在菱形中，，点是的中点，连接，若，则的长为 ． 题型十一　利用菱形性质求面积 例题：41．如图，菱形的面积为36，点F是的中点，点E是上的一点．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ． 巩固训练 42．如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是 ．    43．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则菱形的面积为 ． 44．如图，点是菱形的对称中心，连结，，，，为过点的一条直线，点，分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 题型十二　利用正方形性质求角度 例题：45．如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为 （用含的式子表示）． 巩固训练 46．如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ．    47．如图，已知，分别是正方形的边，上的点，且分别交对角线相交于 ，若，则 度． 48．如图，四边形是正方形，以为边作等边三角形，与相交于点，则的度数是 ． 题型十三　利用正方形性质求线段 例题：49．如图，在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，则 ； ． 巩固训练 50．如图，正方形的边长为，为边的中点，点在边上，点关于直线的对称点记为，连接，，．当点在边上移动使得四边形成为正方形时，的长为 ． 51．如图，已知点P为正方形内一点，连接，若，则点P到直线的距离为 ． 52．如图，正方形中，点为边的中点，点在边上，且，若，则线段的长为 ． 题型十四　利用正方形性质求面积 例题：53．如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ． 巩固训练 54．如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 55．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是．若大正方形的边长是18，求图形①的面积 ． 56．如图，正方形中，E、F分别为边、上的点，，、相交于点O，连接．若，，则阴影部分的面积为 ． 题型十五 直角三角形斜边上的中线 例题：57．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则 ． 巩固训练 58．如图，在四边形中，E为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 59．如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，则的周长为 ． 60．如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是 ． 题型十六　添加条件 例题：61．在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是 ． 巩固训练 62．在四边形中，已知，，要使四边形成为一个矩形，还需添加的一个条件可以是 ． 63．如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 64．如图，在矩形中，对角线相交于点O，试添加一个条件 ，使得矩形为正方形． 题型十七　中位线 例题：65．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为 ． 巩固训练 66．如图，在中，，为中线，延长至点，使，连结，点为的中点，连结．若，则的长为 ． 67．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 68．如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则 ． 题型十八　最值问题 例题：69．如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    巩固训练 70．如图，在正方形ABCD中，AC=6，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是 ． 71．如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为 ． 72．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为 ． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 四边形知识归纳与题型突破（18题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1多边形 1.多边形的对角线 从边形的一个顶点可以引条对角线，并且这些对角线把多边形分成了个三角形；边形对角线条数为． 2.多边形的内角和、外角和 n边形内角和为，任意多边形的外角和为. 3.正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形. 4.正多边形的内外角：正边形的每个内角为，每一个外角为. 5.正多边形对称性：正边形有条对称轴.当为奇数时，是轴对称图形；当为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形. 知识点3 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定平行四边形的条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 知识点4 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点5 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2、 判定矩形的条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形的条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形的条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点6中心对称和中心对称图形 1.中心对称 一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 2.中心对称图形 1.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 03 题型归纳 题型一　多边形内角和 例题：1．正多边形的每个内角为，则它的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的知识，解题的关键是掌握正多边形的内角和，外角和定理，根据题意，求出正多边形的外角，根据正多边形的边数为：除以外角，即可． 【详解】解：正多边形的每个内角为， ∴正多边形的外角为：， ∵多边形的外角和为， ∴正多边形的边数为：． 故选：B． 巩固训练 2．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的内角和外角，正多边形的性质，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．由正五边形的性质及内角和定理可得，，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， ， 故选：C． 3．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，用360度除以中心角的度数可得正多形的边数． 【详解】解：由题意可得： 边数为， 则它的边数是10． 故选C． 4．一个正多边形的内角和是，则这个正多边形是（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和公式．掌握边形的内角和为是解题关键，根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：设这个正多边形是正边形， 则， 解得：， 这个正多边形是正六边形， 故选：B 题型二　正多边形外角 例题：5．如果一个正多边形每个外角都等于，那么它是正（    ）边形 A．三 B．四 C．五 D．六 【答案】D 【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 【详解】解：这个正多边形的边数： 故选：D 巩固训练 6．正五边形的外角和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多边形的外角和定理，根据多边形的外角和等于，即可求解． 【详解】解：任意多边形的外角和都是， 故正五边形的外角和的度数为． 故选：B． 7．若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．利用任何多边形的外角和是除以一个外角度数即可求出答案． 【详解】解：多边形的外角的个数是． 所以多边形的边数是8． 故选：B． 8．已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，利用正多边形的外角和为，即可解答，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：正多边形的边数是， 故答案为：C． 题型三　截去一个角 例题：9．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选： 巩固训练 10．一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 11．在一个凸边形内角和为的纸板上切下一个三角形后，剩下一个边长为n的多边形，则n的值不可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和．在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，则所得新的多边形的边可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：设一个内角和为的多边形的边数为，则 ，解得． 在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，分三种情况： ①若新多边形的边增加一条，则的值为9； ②若新多边形的边不变，则的值为8； ③若新多边形的边减少一条，则的值为7． 故选：A． 12．一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【详解】解：设共有5条对角线的多边形的边数是n，则， 解得：（负值已舍去）． ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为4或5或6． 原多边形不可能是七边形 故选：D． 题型四　利用矩形性质求线段 例题：13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=5，BC=12，则BD的长为（      ） A．5 B．12 C．6.5 D．13 【答案】D 【详解】试题解析：：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AC=BD，AO=BO=CO=DO， ∵AB=5，BC=12， ∴AC==13， ∴AC=BD=13. 故选D． 巩固训练 14．矩形中，对角线，相交于点，，，则的长（ ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出，再由已知条件得出是等边三角形，得出，即可得出的长． 【详解】如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∴OA=OB， ∵ ∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=6cm， ∴ 故选D. 【点睛】考查矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分. 15．如图，点E、F分别在矩形ABCD的两条边上，且EF⊥EC，EF=EC，若该矩形的周长为16，AE=3，则DE的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】分析：先证∠AEF=∠ECD，再证△AEF≌△DCE，然后结合题目中已知的线段关系可求出AD+DC=8，进而可求出DE的长． 详解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE． ∴∠FEC=90°． ∴∠AEF+∠DEC=90°． 而∠ECD+∠DEC=90°． ∴∠AEF=∠ECD， 在△AEF与△DCE中， , ∴△AEF≌△DCE（AAS）． ∴AE=CD=3， ∵矩形ABCD的周长为16cm． ∴2（AE+ED+DC）=32，即2（6+DE）=16， 解得：DE=2． 故选B． 点睛：本题综合考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 16．在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，OF⊥AD于F，若BE：ED=1：3，OF=3cm，则BD的长是（　　）cm． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】试题解析：∵ABCD是矩形， ∴BO=OD=OA． ∵BE：ED=1：3， ∴BE=EO． 又AE⊥BD， ∴OB=OA=AB． ∴∠ABD=60°． ∴∠FDO=30° ∵OF⊥AD，OF=3， ∴OD=6． ∴BD=2•OD=12．故选D． 题型五　中心对称图形 例题：17．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 巩固训练 18．未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 19．绿色环保，人人参与．下列环保标志中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形； 根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； C，既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选C． 20．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形； 根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：A，是中心对称图形，不是轴对称图形，不合题意； B，不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不合题意； C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意； D，既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 故选D． 题型六　综合问题 例题：21．如图，正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤；⑥若，则正方形的面积是，其中正确的结论个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ∴， ， ，故②错误． ， ∴，与同高， ， ∴，故③错误． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵，， ∴， 四边形是菱形，故④正确． ∴， ∴， ∴．故⑤正确． 四边形是菱形， ，． ，， 是等腰直角三角形． ， ，解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，故⑥错误． 其中正确结论的序号是：①④⑤，共三个． 故选：B． 巩固训练 22．如图，在矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处，折痕为，点E，F分别落在边和边上．连接，交于点K，交于点H．有如下结论：①；②；③和的面积相等；④当点F和点C重合时，．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】如图，连接，设与交于点O， ∵将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处， ∴垂直平分， ∴，，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 当点F与点C重合时，则，如图，作的中点为M，连接， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 如图，过点K作交于点M， ∵四边形是菱形， ∵平分， ∴， ∵在中， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∴正确的结论有：①②④， 故选：C． 23．如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：连接，作于点H，于点L，则， ∵四边形是正方形， ∴，，垂直平分， ∵E为上一点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形，故②正确； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故④正确． 故选：D． 24．如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，，四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵P是正方形对角线上一点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； 如图，连接． ∵四边形为矩形， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴当最小时，最小． 根据垂线段最短可知当时，最小，即此时最小． ∵四边形为正方形， ∴此时点P为正方形对角线交点， ∴此时， ∴的最小值为，故④错误． 综上可知正确的个数为3个． 故选C． 题型七　折叠问题 例题：25．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，则BF的长为 . 【答案】5 【详解】由折叠的性质知,CD=ED,BE=BC. 四边形ABCD是矩形, 在和中, , , ; 设BF=x,则DF=x,AF=8-x, 在中,可得: ,即, 计算得出:x=5, 故BF的长为5. 因此，本题正确答案是:5 巩固训练 26．如图矩形ABCD中，AD=10，AB=14，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 . 【答案】5或． 【详解】如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P ∵点D′在∠ABC的角平分线上， ∴MD′=PD′， 设MD′=x，则PD′=BM=x， ∴AM=AB-BM=14-x， 又折叠图形可得AD=AD′=10， ∴x2+（14-x）2=100，解得x=6或8， 即MD′=6或8． 在Rt△END′中，设ED′=a， ①当MD′=6时，AM=14-6=8，D′N=10-6=4，EN=8-a， ∴a2=42+（8-a）2， 解得a=5，即DE=5； ②当MD′=8时，AM=14-8=6，D′N=10-8=2，EN=6-a， ∴a2=22+（6-a）2， 解得a=，即DE=． 故答案为5或． 27．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=65°，则∠GFD′= °．    【答案】500. 【分析】根据内错角和同旁内角的知识解答. 【详解】根据题意，∠CEF=65°，所以它的内错角∠GFE=65°，它的同旁内角∠DFE=115°，所以∠D′FE=115°，则∠GFD′=∠D′FE-∠GFE=500. 【点睛】本题考查了图形的折叠和平行线之间角的关系，掌握内错角和同旁内角的关系是解决此题的关键. 28．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为 ． 【答案】4或5． 【详解】 ∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处， ∴DE=D′E，AD=AD′=10， （1）当∠DD′C=90°时，如图1， ∵DE=D′E， ∴∠1=∠2， ∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠4， ∴ED′=EC， ∴DE=EC=CD=4； （2）当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2， 设DE=x，则ED′=x，CE=8﹣x， ∵AD′=AD=10， ∴在Rt△ABD′中，BD′==6， ∴CD′=4， 在Rt△CED′中，(8﹣x)2+42=x2，解得x=5， 即DE的长为5， 综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5． 故答案为4或5． 题型八　利用平行四边形性质求线段 例题：29．如图，，为的对角线，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质得，，最后根据勾股定理求出的值即可解答． 【详解】解：设和相交于点，如图所示： ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 故答案为：． 巩固训练 30．如图，已知的对角线与相交于点O，，将沿着直线翻折，使点B的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ． 如图，连接． 根据折叠的性质知，，． ， ∴ ∵， ∴ 是等边三角形， ． 故答案为：． 31．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点E处，若，则的度数为 ． 【答案】63 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：63． 32．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质可知，，据此求出、的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴在中，． 故答案为：4． 题型九　利用平行四边形性质求角度 例题：33．如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．本题直接利用菱形的性质对角线平分角以及邻角互补进行角度的计算即可． 【详解】解：四边形是菱形， , , , ． 故答案为：． 巩固训练 34．如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【详解】解：如图，连接，，相交于点， 在菱形中，对角线长，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 35．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 36．如图，在菱形中，过点作分别交，于点，，为的中点，，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：设， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵F为的中点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 故答案为：． 题型十　利用菱形性质求线段 例题：37．如图，在菱形中，，，是一条对角线，E是上一点，过点E作，垂足为F，连接．若，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 2 【详解】解：连接交于点H， ∵菱形中，，， ∴，，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：2；． 巩固训练 38．如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，H为的中点，连接和交于点G，则的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，，再由三角形中位线定理得，然后证，得 ，进而由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵菱形的边长为4，， ∴，，， ∵F为的中点，H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： 故答案为：． 39．如图，四边形为菱形，延长到，在内作射线，过点作于，若平分，，则对角线的长为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 40．如图，在菱形中，，点是的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点为的中点， 又，四边形是菱形，点是的中点， ， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 题型十一　利用菱形性质求面积 例题：41．如图，菱形的面积为36，点F是的中点，点E是上的一点．若的面积为6，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【详解】解：连接，， 是中点， ， 同理：， 的面积为6， 的面积：的面积， ， 阴影部分的面积菱形的面积的面积的面积的面积． 故答案为：15． 巩固训练 42．如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故答案为：． 43．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】80 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：80． 44．如图，点是菱形的对称中心，连结，，，，为过点的一条直线，点，分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【详解】解：连接、， ∵点O是菱形的对称中心， ∴，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积=四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积=四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 题型十二　利用正方形性质求角度 例题：45．如图，在正方形中，点，，分别在边，，上．若，，，则的度数为 （用含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接，则，． ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴四边形四平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 46．如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 47．如图，已知，分别是正方形的边，上的点，且分别交对角线相交于 ，若，则 度． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形，为对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 48．如图，四边形是正方形，以为边作等边三角形，与相交于点，则的度数是 ． 【答案】/60度 【详解】解：四边形是正方形． ，． 又∵ ． 四边形是正方形 ∴， ∵是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：． 题型十三　利用正方形性质求线段 例题：49．如图，在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，则 ； ． 【答案】 【详解】解：点、点的对应点分别是点、点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 巩固训练 50．如图，正方形的边长为，为边的中点，点在边上，点关于直线的对称点记为，连接，，．当点在边上移动使得四边形成为正方形时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 连接，连接，由正方形的性质可得，平分，，平分，可证点，点，点三点共线，即可求解． 【详解】解：如图，连接，连接， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵为边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴点，点，点三点共线， ∴， 故答案为：． 51．如图，已知点P为正方形内一点，连接，若，则点P到直线的距离为 ． 【答案】5.2 【详解】解：过点作，垂线交于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 设点P到的距离为h， ∵的面积， ∴， 解得：， ∴点P到直线的距离为：， 故答案为：5.2． 52．如图，正方形中，点为边的中点，点在边上，且，若，则线段的长为 ． 【答案】6 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，连接， 四边形为正方形，点为边的中点，， ∴，， ，， ∴， ， 设，则， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得，即， 故答案为：． 题型十四　利用正方形性质求面积 例题：53．如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【详解】解：正方形的边长为，正方形的边长为， ， ， 又， ， 故答案为：． 巩固训练 54．如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 55．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是．若大正方形的边长是18，求图形①的面积 ． 【答案】18 【详解】如图所示，是正方形的对角线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 设，根据勾股定理， 得， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ． 故答案为：18． 56．如图，正方形中，E、F分别为边、上的点，，、相交于点O，连接．若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】60 【详解】解：连接， 如图所示： ∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 题型十五 直角三角形斜边上的中线 例题：57．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形的性质得出． 根据直角三角形的性质得出，进而得出，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵在中，，为边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴在中，， 故答案为：4． 巩固训练 58．如图，在四边形中，E为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 ． 【答案】度/ 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到,，即可推出． 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：，E为对角线的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵,， ∴， ∴． 故答案为：． 59．如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，则的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形得到性质是解题的关键． 由等腰三角形的性质推出，，由直角三角形斜边中线的性质得到，再求的周长即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∴， ∵E为 的中点， ∴， ∴的周长． 故答案为：28． 60．如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是 ． 【答案】16 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：16． 题型十六　添加条件 例题：61．在菱形中，对角线相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 依据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：； 故添加的条件为：或． 巩固训练 62．在四边形中，已知，，要使四边形成为一个矩形，还需添加的一个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题重点考查矩形的定义和判定定理等知识，由，得，由，求得，若，可根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形是矩形，所以添加的一个条件可以是，添加的条件也可以是或． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴添加的一个条件可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 63．如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键．依据矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴当时， 是为矩形， 故答案为∶ （答案不唯一）． 64．如图，在矩形中，对角线相交于点O，试添加一个条件 ，使得矩形为正方形． 【答案】 题型十七　中位线 例题：65．如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连结，点F在上，连结，，若，，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形中位线的判定以及性质等知识，先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据三角形中位线的判定以及性质即可得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：∵，点E是的中点， ∴， ∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 巩固训练 66．如图，在中，，为中线，延长至点，使，连结，点为的中点，连结．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度，结合题意知线段是的中位线，则． 【详解】解：在中，，， ∵为中线， ∴． ∵为中点，， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 67．如图，在中，平分，且于点，交于点，，．那么的周长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题． 【详解】解：平分， ， 于， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：4． 68．如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则 ． 【答案】 【详解】解：点D是的中点，点E是的中点， , ,点D是的中点， ， 根据勾股定理， ． 故答案为：3． 题型十八　最值问题 例题：69．如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    【答案】// 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 巩固训练 70．如图，在正方形ABCD中，AC=6，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是 ． 【答案】 【详解】解析：∵在正方形ABCD中，AC=， ∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45° 设EF与AD交点为O，O是AD的中点, ∴AO=3 以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小， 即△AOE是直角三角形， ∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=OA=， ∴EF=2OE= 71．如图，在中，，点是上的一个动点，过点分别作于点于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理，由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 72．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与重合且与重合时，取得最小值4， 故答案为：4． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$