第十五章 四边形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北京版）

第十五章 四边形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系．利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用度减去外角度数即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴每个外角为， ∴每个内角为， 故选：A． 2．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（    ） A．惊蛰 B．芒种 C．立秋 D．大雪 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．如图，在菱形中，M，N分别在，上，且， 与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A．28° B．52° C．62° D．72° 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，．则四边形的周长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，利用直角三角形的中位线定理得出的长，即可计算出菱形的周长． 【详解】解： 为菱形，，对角线，相交于点O， ，，，， 在中， ， ， ， 设，则，利用勾股定理得， ，即，解得，（舍去）， ， E是的中点， ， 四边形的周长为：． 故选：C． 5．如图，已知矩形，，，点分别是上的点，点分别是的中点，当点在上从向移动，而点不动时，若，则（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理及三角形的中位线定理，连接，由勾股定理，然后根据中位线得定理即可求解，熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 故选：． 6．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，设交于O， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选；A． 7．如图所示，为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，四边形内角和为，根据三角形外角的性质，将各角转化为四边形的内角和求解． 【详解】解：如图， ，， ， ， 故选：C． 8．如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形三边关系即可推出，进而得出，据此即可判断①过点D作交于点N，利用证明，根据全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的判定与性质推出，根据勾股定理求出，根据三角形三边关系得出，根据不等式的性质推出，据此即可判断②；过点A作交的延长线于点M，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理及线段的和差推出，据此即可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 故①错误，不符合题意； ， ， ∴， ， ， 过点D作交于点N， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； 过点A作交的延长线于点M， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， 故③正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．正n边形一个外角度数为，则这个正n边形一共有 条对角线． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的性质，由多边形外角和的求法，可求出n的值；再由多边形过一个顶点作对角线的条数与多边形顶点的关系，可以得出答案． 【详解】解：∵正n边形一个外角度数为， ∴， ∴这个正多边形的对角线一共有条， 故答案为：5． 10．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查解关于原点对称的点坐标问题，由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 11．如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为 ． 【答案】42 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积． 故答案为：42． 12．如图，中，，是边上的中线且，则的长为 ．    【答案】12 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线且， ∴． 故答案为：12 13．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为 ． 【答案】 【详解】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC． 所以△AOE≌△COE． 设CE为x． 则DE=AD-x，CD=AB=2． 根据勾股定理可得x2=（3-x）2+22 解得CE=13/6． 14．如图，正方形边长为4，E、F分别是边、上的点，、交于点P，当时，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】取的中点Q，连接，先证明和全等，进而根据全等三角形的性质得，由此的，则，然后根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出为最小． 【详解】解：取的中点Q，连接，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当B，P，Q在同一条直线上时，为最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用直角三角形斜边中线的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 15．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，连接PA，若AB=4，∠BAD=60°，则PA的最小值是 ． 【答案】2﹣2 【分析】当A，P，E在同一直线上时，AP最短，过点E作EF⊥AB于点F，依据BE＝BC＝2，∠EBF＝60°，即可得到AE的长度，进而得出PA的最小值． 【详解】解：根据折叠的性质得，EP=CE=BC=2， 故点P在以E为圆心，EP为半径的半圆上， ∵AP+EP≥AE， ∴当A，P，E在同一直线上时，AP最短， 如图，过点E作EF⊥AB于点F， ∵在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC的中点， ∴BE=BC=2，∠EBF=60°， ∴∠BEF=30°， ∴BF=BE=1， ∴，AF=5， ∴ ∴PA的最小值=AE﹣PE=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到点P在以E为圆心，EP为半径的半圆上． 16．如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH和MG的长，再求出MH的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解:如图,作OK⊥BC，垂足为点K， ∵正方形边长为4， ∴OK=2，KC=2， ∴KC=CE， ∴CH是△OKE的中位线 ∴， 作GM⊥CD，垂足为点M， ∵G点为EF中点， ∴GM是△FCE的中位线， ∴，， ∴， 在Rt△MHG中，， 故答案为：． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．求出下列图形中的值． 【答案】（1）60；（2）100． 【分析】（1）根据三角形的外角性质求解即可； （2）根据四边形内角和是360°求解即可． 【详解】解：（1）由三角形的外角性质得，x+（x+10）＝x+70， 即2x+10＝x+70， 解得，x＝60． （2）根据四边形的内角和为360°得， x+（x+10）+90+60＝360， 解得，x＝100． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，根据题意列出正确的方程是解题的关键． 18．看对话答题： 小梅说：这个多边形的内角和等于1125° 小红说：不对，你少加了一个角 问题： （1） 他们在求几边形的内角和? （2） 少加的那个内角是多少度? 【答案】（1）他们在求九边形的内角和；（2）少加的那个内角为135度． 【分析】先设出少加的内角的度数，再把所求角的度数分成180°与一个正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，即可求出少加的内角的度数，再由多边形的内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）设少加的度数为x°，此多边形为n边形． ∵1125+x=（n-2）×180， ∴x=180（n-2）-1125， ∵0＜x＜180， ∴0＜180（n-2）-1125＜180， ∴8.25＜n＜9.25， ∴n=9； ∴他们在求九边形的内角和； （2）∴x=180（n-2）-1125=135°． ∴少加的那个内角的度数是135°． 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度． 19．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 20．如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由三角形中位线定理可求的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ∴， ； （2）解：∵， ∴，即点O是的中点， 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，点D的坐标为． (1)与关于点D中心对称，其中点A与点对应，点B与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标； (2)若点是内部任意一点，请直接写出这个点关于点D中心对称的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换： （1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）设，利用中点坐标公式求解． 【详解】（1）如图，即为所求，点； （2）设， 又， 则有，， ∴， ∴． 22．如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证明，再由等腰三角形的性质得，然后证，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ， ， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵，为直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23．如图，在中，，，分别是，的中点，，．      (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵，． 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 点是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，   四边形是菱形，， ，， ，分别是，的中点， ， ， 又， ， ． 24．如图，在长方形中，点E是边的中点，沿对折长方形，使点B落在点P处，折痕为，连接并延长交于点F，连接，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：； (3)连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6或 【分析】（1）证，则，即可得出结论． （2）证，即可得出结论． （3）解：分两种情况：①当时，证，则，即可求解；②当时，，证 ，过P作交于M， 则，，，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）证明：由（1）得：， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，如图1所示： 则， 由（2）得：，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 又∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2所示： ， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 过P作交于M， 则， ∴，， ∴； 综上所述，的长为6或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，长方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质． 25．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且． (1)求证：； (2)过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为24 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， 四边形的周长为24． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 26．已知，，，连接，N为的中点． (1)如图，若A、M、D共线，求的值；    (2)如图，若A、M、D不共线时，上述结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1) (2)依然成立,证明见解析 【分析】（1）延长与，相交于点E．由可证，于是可证，则，再结合已知条件可证是等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”可证，于是得证． （2）延长至点I，使，连接．易证，于是，再利用五边形的内角和并结合已知条件可证及周角定义可证，因此，于是可证，则，结合可证，，于是得证． 【详解】（1）延长与，相交于点E．（如图）    ∵ ∴ ∴ N为的中点，则 ∴ ∴，， ∵ ∴ 即，又 ∴（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高） ∴， ∴． （2）上述结论仍然成立．理由如下： 延长至点I，使，连接（如图）    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴， 又 ∴（等腰三角形底边上的中线是底边上的高） ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的“三线合一”、多边形内角和等知识点，解题的关键是构造全等三角形． 27．如图，在中，点在上，，平分交于点，请用无刻度的直尺画图保留作图痕迹，不写画法． (1)在图中，过点画出中边上的高； (2)在图中，过点画出到的垂线段． 【答案】(1)见解析． (2)见解析． 【分析】本题是作图题，考查了等腰三角形的三线合一，利用平行四边形的性质和判定进行作图，熟练掌握平行四边形的性质和判定是关键． （1）连接即可，根据等腰三角形三线合一的性质可得； （2）构建平行四边形，可得结论． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． ． （2）解：如图2，连接，交于点，作射线，交于，连接，交于，则即为所求． ， 理由是：如图3，连接， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即． 28．在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）按题意补充图形即可；在上截取，连接交于点K，作交于点T，根据题意证明，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）①过的中点F作，分别与交于点M、H、N，如图即为补全的图形； 图2 ②，理由如下： 如图，在上截取，连接交于点K，作交于点T， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 四边形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（    ） A．惊蛰 B．芒种 C．立秋 D．大雪 3．如图，在菱形中，M，N分别在，上，且， 与交于点O，连接，若，则的度数为（    ） A．28° B．52° C．62° D．72° 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，．则四边形的周长为（    ） A．8 B． C． D． 5．如图，已知矩形，，，点分别是上的点，点分别是的中点，当点在上从向移动，而点不动时，若，则（    ） A． B． C． D．不能确定 6．如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．正n边形一个外角度数为，则这个正n边形一共有 条对角线． 10．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 11．如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为 ． 12．如图，中，，是边上的中线且，则的长为 ．    13．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，则CE的长为 ． 14．如图，正方形边长为4，E、F分别是边、上的点，、交于点P，当时，的最小值为 ． 15．如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，连接PA，若AB=4，∠BAD=60°，则PA的最小值是 ． 16．如图，正方形的边长为4，对角线相交于点O，点E，F分别在的延长线上，且，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．求出下列图形中的值． 18．看对话答题： 小梅说：这个多边形的内角和等于1125° 小红说：不对，你少加了一个角 问题： （1） 他们在求几边形的内角和? （2） 少加的那个内角是多少度? 19．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 20．如图，在中，点，分别在，上，，连接与对角线相交于点． (1)求证：； (2)连接，为的中点，连接．若，求的长． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，点D的坐标为． (1)与关于点D中心对称，其中点A与点对应，点B与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标； (2)若点是内部任意一点，请直接写出这个点关于点D中心对称的对应点的坐标． 22．如图，四边形中，，，对角线平分，过点A作的垂线，分别交，于点E，O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 23．如图，在中，，，分别是，的中点，，．      (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，连接，若，，求的长．   24．如图，在长方形中，点E是边的中点，沿对折长方形，使点B落在点P处，折痕为，连接并延长交于点F，连接，. (1)证明：为直角三角形； (2)证明：； (3)连接，当为等腰三角形时，求的长． 25．如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，且． (1)求证：； (2)过点O作，垂足为O，交于点M，若的周长为12，求四边形的周长． 26．已知，，，连接，N为的中点． (1)如图，若A、M、D共线，求的值；    (2)如图，若A、M、D不共线时，上述结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    27．如图，在中，点在上，，平分交于点，请用无刻度的直尺画图保留作图痕迹，不写画法． (1)在图中，过点画出中边上的高； (2)在图中，过点画出到的垂线段． 28．在正方形中，E为上一点，点M在上，点N在上，且，垂足为点F． (1)如图1，当点N与点C重合时，求证：； (2)将图1中的向上平移，使得F为的中点，此时与相交于点H． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$