第十四章 一次函数知识归纳与题型突破（20题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北京版）

第十四章 一次函数知识归纳与题型突破（20题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、变量与函数 1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 注：自变量的取值范围的确定方法：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 4）函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 二、函数的图象 1）函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 2）函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 三、一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。 四、一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 五、一次函数的平移与位置关系 1）一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直 2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 六、一次函数中的实际问题 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 七、一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 八、一次不等式与一次函数的关系 1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0） 2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为的图像上面部分x的取值范围. 03 题型归纳 题型一　求自变量取值范围 例题：1．函数的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 2．函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．函数 自变量 的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 题型二　求函数值或自变量 例题：5．已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 巩固训练 6．当时，函数的值是（   ） A．1 B．-1 C． D． 7．在函数 中，当函数值为时，自变量的值为 （   ） A．2 B． C． D． 8．在函数关系式中，当因变量时，自变量x的值为（    ） A． B． C．6 D． 题型三　表格法表示函数 例题：9．学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） ．．．．．． 时间（时：分） ．．．．．． 请你帮小俊计算水烧开的时间为（     ） A． B． C． D． 巩固训练 10．近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2011年到2017年留守儿童的人数（人）与时间（年）有如下关系： 时间/年 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 人数/人 50 80 100 150 200 270 350 则下列说法不正确的是（    ） A．上表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系 B．（人）随时间（年）的推移逐渐增大 C．自变量是时间（年），因变量是留守儿童的人数（人） D．自变量是留守儿童的人数（人），因变量是时间（年） 11．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．下表是研究某种弹簧的长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为（   ） 所挂物体重量x(kg) 1 2 3 5 弹簧长度y() 9 11 13 17 A．6 B．7 C．8 D．8.5 12．研究表明，当每公顷氮肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量 根据表格中的数据，氮肥的施用量是（    ）时最适宜． A．202 B．259 C．336 D．404 题型四　解析式表示函数 例题：13．某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加，则该气体的体积与温度之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 14．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧掉，这根蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 15．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则所走的路程与所用时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 16．若长方形的周长为，其中一边为，面积为，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（    ） A． B． C． D． 题型五　图象法表示函数 例题：17．往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（   ） A． B． C． D． 巩固训练 18．清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（    ） A． B． C． D． 19．学校定期举行升旗仪式，当国旗班升旗手匀速升旗时，下面哪一幅图可以近似地刻画出国旗上升的高度随时间的变化情况（     ） A． B． C． D． 20．在年的卡塔尔世界杯中，阿根廷守门员马丁内斯表现突出，他大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致是如图中的（    ） A．   B．   C．   D．   题型六　有序数对表示位置 例题：21．小青坐在教室的第4列第3排，用表示，小明坐在教室的第2排第5列应当表示为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 22．下列描述中，能确定具体位置的是（   ） A．祖庙附近 B．教室第2排 C．北偏东 D．东经，北纬 23．小华在教室的第4列第3行，用表示，小明在教室的第3列第2行应表示为（   ） A． B． C． D． 24．A市在地球仪上的位置如图所示，则A市在地球上的位置是（   ） A．东经，北纬 B．东经，北纬 C．东经，北纬 D．东经，北纬 题型七　坐标与数轴的距离 例题：25．点到x轴的距离为（    ）个单位长度 A．3 B．2 C．5 D． 巩固训练 26．在平面直角坐标系内，下列各点中，位于y轴左侧，x轴上方，且到两坐标轴的距离相等的点是（   ） A． B． C． D． 27．在平面直角坐标系中，下列各点到轴的距离最近的点是（   ） A． B． C． D． 28．在平面直角坐标系中，已知点，则点P到y轴的距离是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 题型八　坐标所在象限 例题：29．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 巩固训练 30．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31．点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．下列各点中，在第三象限的点是（   ）． A． B． C． D． 题型九　利用象限求参数 例题：33．在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（    ） A． B．4 C．0 D． 巩固训练 34．若点在第二、四象限的角平分线上，则a的值是（   ） A． B． C．1 D．2 35．若点在y轴上，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 36．已知点和点，如果直线轴，那么的值为（   ） A．1 B． C． D．4 题型十　规律性问题 例题：37．如图，在平面直角坐标系中，一个点P从出发，运动到，运动到，运动到，运动到，运动到，......，按照上述规律运动下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 38．如图，动点从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 39．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 40．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行"爬楼梯"运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A．（1012，1013） B．（1013，1012） C．（1012，1012） D．（1013，1013） 题型十一　根据一次函数定义求参数 例题：41．若函数是关于的一次函数． 则的值是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 巩固训练 42．已知函数是一次函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 43．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 44．若函数是一次函数，则应满足（　　） A． B． C． D． 题型十二　一次函数图象 例题：45．已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 46．当时，一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 47．两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A． B． C． D． 48．已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十三　一次函数与坐标轴交点 例题：49．一次函数的图像与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 50．直线与轴的交点坐标是 A． B． C． D． 51．直线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 52．直线与轴交点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十四　一次函数平移 例题：53．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移2个单位长度，所得函数解析式是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 54．将函数图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 55．将一直线向下平移两个单位后，得到一个一次函数的图象，那么这条直线的表达式为(        ) A． B． C． D． 56．在平面直角坐标系中，把直线向下平移5个单位长度，所得直线的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 题型十五　一次函数增减性 例题：57．已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 巩固训练 58．函数的图象经过点和点，则比较，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 59．已知一次函数的图象经过点，，则m与n的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 60．已知点，在一次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．无法确定 题型十六　利用一次函数图象解方程 例题：61．如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 62．如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 63．一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 64．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 题型十七　一次函数与面积 例题：65．在直角坐标系中，点O是原点，且，，则的面积是 ． 巩固训练 66．一次函数的图象与坐标轴所围成的图形的面积是 ． 67．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 68．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 题型十八　利用一次函数图象解不等式 例题：69．如图，一次函数的图象与y轴的交点为，则不等式的解集是 ． 巩固训练 70．已知一次函数的图象如图所示，不等式的解集是 ． 71．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为 ． 72．如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 题型十九　一次函数行程问题 例题：73．小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为 ． 巩固训练 74．在两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有 （填序号．）    75．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 ． 76．甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程与时间之间的函数关系如图所示．请你根据图象，回答下列问题： （1）当 时，甲与乙相遇； （2）在甲、乙相遇之前，甲与乙相距时， ． 题型二十　一次函数方案问题 例题：77．“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 (1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ (2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 巩固训练 78．南阳烙画，起源于秦汉，鼎盛于明清，发展于现代，2021年入选中国非物质文化遗产，素以“南阳三大宝”之首而蜚声海内外．某网店老板小杰在南阳某烙画专营店选中A，B两款高端烙画，决定从该店进货并销售，已知两款烙画的进货价和销售价如下表： A款烙画 B款烙画 进货价（元/件） 80 140 销售价（元/件） 98 168 (1)第一次小杰用2440元购进了A，B两款烙画共20件，两款烙画各购进多少件？ (2)第二次小杰进货时，计划购进A款烙画数量不少于B款烙画数量的，且小杰计划购进两款烙画共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 79．开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引着无数的游客前往观光．开封特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元． (1)分别求出桶子鸡和酱牛肉的单价； (2)若某公司决定购买桶子鸡和酱牛肉共200包作为员工福利，且购买桶子鸡的数量不超过酱牛肉的数量，则应该如何安排购买方案，才能使购买总费用最低，并求出最低费用． 80．某学校要购买甲、乙两种灭火器，用于预防校园消防安全．若购买支甲种灭火器和支乙种灭火器，则一共需要元；若购买支甲种灭火器和支乙种灭火器，则一共需要元． (1)每支甲种灭火器、每支乙种灭火器的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买甲、乙两种灭火器共支，其中购买甲种灭火器支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多支，且不超过乙种灭火器数量的倍．哪种购买方案可使总费用最少？并求出最少总费用． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 一次函数知识归纳与题型突破（20题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、变量与函数 1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 注：自变量的取值范围的确定方法：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 4）函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 二、函数的图象 1）函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 2）函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 三、一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。 四、一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 五、一次函数的平移与位置关系 1）一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直 2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 六、一次函数中的实际问题 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 七、一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 八、一次不等式与一次函数的关系 1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0） 2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为的图像上面部分x的取值范围. 03 题型归纳 题型一　求自变量取值范围 例题：1．函数的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了自变量取值范围的判断， 根据题意可知，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选：B． 巩固训练 2．函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的自变量取值范围．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选：C． 3．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围， 根据函数有意义的条件得，再解答即可． 【详解】解：∵函数， ∴， 解得． 故选：D． 4．函数 自变量 的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，分母不能为0； 根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为0列出不等式即可解答． 【详解】解：依题意可得：， 解得：， 故选：A． 题型二　求函数值或自变量 例题：5．已知函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查的是求函数值，先判断出时，所符合的关系式，然后将代入对应的函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 巩固训练 6．当时，函数的值是（   ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】本题比较容易，考查求函数值，根据函数的定义，把代入函数关系式即可求得的值． 【详解】解：直接把代入得 ． 故选：D． 7．在函数 中，当函数值为时，自变量的值为 （   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一次函数自变量的值，把把代入即可解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故选：B． 8．在函数关系式中，当因变量时，自变量x的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知因变量求自变量．熟练掌握自变量与因变量一一对应是解题的关键． 将代入，计算求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， 故选：C． 题型三　表格法表示函数 例题：9．学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） ．．．．．． 时间（时：分） ．．．．．． 请你帮小俊计算水烧开的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用表格表示变量间关系，正确找出变量间的变化规律是解题的关键，先根据表格找出水温与时间的变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：由变量关系表格可得，时间每经过分钟，升高水温比前一个分钟升高的水温少， ∵从到时，水温升高了， ∴时，水温为，到时，水温升高了， ∴时，水温为，此时水烧开， 故选∶． 巩固训练 10．近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2011年到2017年留守儿童的人数（人）与时间（年）有如下关系： 时间/年 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 人数/人 50 80 100 150 200 270 350 则下列说法不正确的是（    ） A．上表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系 B．（人）随时间（年）的推移逐渐增大 C．自变量是时间（年），因变量是留守儿童的人数（人） D．自变量是留守儿童的人数（人），因变量是时间（年） 【答案】D 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格提供的数据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．根据表格可知：表格反映了留守儿童的人数与时间之间的关系，故A正确，不符合题意； B．根据表格可知：（人）随时间（年）的推移逐渐增大，故B正确，不符合题意； CD．根据表格可知：自变量是时间（年），因变量是留守儿童的人数（人），故C正确，不符合题意，D错误，符合题意． 故选：D． 11．在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．下表是研究某种弹簧的长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为（   ） 所挂物体重量x(kg) 1 2 3 5 弹簧长度y() 9 11 13 17 A．6 B．7 C．8 D．8.5 【答案】B 【分析】本题考查了函数的表示方法，根据表格找到规律计算即可． 【详解】由表格可得，所挂重物每增加，弹簧伸长， ∴弹簧不挂物体时的长度为， 故选：B． 12．研究表明，当每公顷氮肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 土豆产量 根据表格中的数据，氮肥的施用量是（    ）时最适宜． A．202 B．259 C．336 D．404 【答案】C 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系， 表格中的变量之间的变化关系以及对应值逐项进行判断即可． 【详解】解；观察表格可知，氮肥的施用量是时土豆的产量最高， ∴氮肥的施用量是最适宜， 故选：C． 题型四　解析式表示函数 例题：13．某种气体在时的体积为，温度每升高，它的体积增加，则该气体的体积与温度之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列函数关系式，该气体的体积等于温度为时的体积加上在的基础上上升的温度乘以即可得到体积与温度之间的函数表达式． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 巩固训练 14．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧掉，这根蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可得：这根蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的函数关系式的是； 故选：C． 15．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则所走的路程与所用时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了用关系式表示的变量间关系，根据：路程速度时间关系式进行列式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 16．若长方形的周长为，其中一边为，面积为，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由长方形的周长为和其中一边为，可求出长方形的另一边为，进而由长方形的面积公式可求出． 【详解】解：∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边为， ∴该长方形的面积为，即． 故选：C． 【点睛】本题考查列代数式．理解题意，掌握长方形的周长和面积公式是解题关键． 题型五　图象法表示函数 例题：17．往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据容器的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析是解题的关键． 根据容器“上大下小”的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析即可得出答案． 【详解】解：容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项符合该特点， 故选：． 巩固训练 18．清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数图象表示实际问题，根据题中描述，结合选项即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是 故选：C． 19．学校定期举行升旗仪式，当国旗班升旗手匀速升旗时，下面哪一幅图可以近似地刻画出国旗上升的高度随时间的变化情况（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用图象表示的变量间关系，根据题意明确因变量随自变量变化的趋势是解题的关键．利用用图象表示变量间关系的方法解答即可． 【详解】解：∵升旗手匀速升旗， ∴高度h将随时间t的增大而均匀增大， ∴用上升趋势的直线型表示， ∴只有B符合题意， 故选：B． 20．在年的卡塔尔世界杯中，阿根廷守门员马丁内斯表现突出，他大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致是如图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案 【详解】解：足球守门员马丁内斯大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动， 即高度h先越来越大，再越来越小， 故选：A． 题型六　有序数对表示位置 例题：21．小青坐在教室的第4列第3排，用表示，小明坐在教室的第2排第5列应当表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：小青坐在教室的第4列第3排，用表示， 小明坐在教室的第2排第5列应当表示为， 故选：． 巩固训练 22．下列描述中，能确定具体位置的是（   ） A．祖庙附近 B．教室第2排 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键． 根据坐标确定需要两个数据，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、祖庙附近，不能确定具体位置，故本选项错误； B、教室第排，不能确定具体位置，本选项错误； C、北偏东，不能确定具体位置，故本选项错误。； D、东经，北纬，能确定具体位置，故本选项正确； 故选： D． 23．小华在教室的第4列第3行，用表示，小明在教室的第3列第2行应表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，因为小华在教室的第4列第3行，用表示，得出小明在教室的第3列第2行应表示为，即可作答． 【详解】解：∵小华在教室的第4列第3行，用表示， ∴得出小明在教室的第3列第2行应表示为， 故选：D． 24．A市在地球仪上的位置如图所示，则A市在地球上的位置是（   ） A．东经，北纬 B．东经，北纬 C．东经，北纬 D．东经，北纬 【答案】C 【分析】本题考查在平面内用有序数对表示物体的位置．在平面内确定物体的位置需要两个数据，确定点A在东经的哪一条线上，北纬的哪一条线上，即可写出A的位置． 【详解】解：由图可得：A的位置是东经，北纬． 故选：C． 题型七　坐标与数轴的距离 例题：25．点到x轴的距离为（    ）个单位长度 A．3 B．2 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标的性质，根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：∵点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值， ∴点到x轴的距离为2个单位长度， 故选：B． 巩固训练 26．在平面直角坐标系内，下列各点中，位于y轴左侧，x轴上方，且到两坐标轴的距离相等的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，点在轴左侧，在轴的上方， 则点的横坐标为负，纵坐标为正； 又由点到两坐标轴的距离相等， 则点的坐标为． 故选：D ． 27．在平面直角坐标系中，下列各点到轴的距离最近的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项中的点到x轴的距离是， B选项中的点到x轴的距离是， C选项中的点到x轴的距离为， D选项中的点到x轴的距离是． 故选：B． 28．在平面直角坐标系中，已知点，则点P到y轴的距离是（    ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据点到y轴的距离是，解答即可． 本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解距离的内涵是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点到y轴的距离是， 故选：B． 题型八　坐标所在象限 例题：29．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内点的坐标特点，再根据点的坐标符号，即可得出答案． 【详解】解：点， 点所在的象限是第四象限． 故选：D． 巩固训练 30．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限是解题的关键． 根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：，， 在平面直角坐标系中，点位于第一象限， 故选A． 31．点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点所在的象限为第三象限， 故选C． 32．下列各点中，在第三象限的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点即可解答．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：A、在第三象限，故选项符合题意； B、在第二象限，故本选项符合题意； C、在第一象限，故本选项不合题意； D、在第四象限，故本选项不合题意； 故选：A． 题型九　利用象限求参数 例题：33．在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（    ） A． B．4 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查象限内点的符号特征，根据点在第三象限，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴的值可能为； 故选A． 巩固训练 34．若点在第二、四象限的角平分线上，则a的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，坐标轴夹角平分线的坐标特征等知识点，根据第二、四象限角平分线上点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，从而得到，然后解方程即可，解题的关键是利用坐标特征正确判断． 【详解】解：∵点在第二、四象限角平分线上， ∴， ∴， 故选：A． 35．若点在y轴上，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，根据轴上的点横坐标为求出的值，进而即可求解，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 故选：A． 36．已知点和点，如果直线轴，那么的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行于坐标轴的点的坐标特点，当直线平行于x轴时，直线上各点的纵坐标相同，掌握这一特点是关键；根据A、B纵坐标相同，得，即可求得m的值． 【详解】解：∵直线轴， ∴直线上所有点的纵坐标相同， ∴， 解得：； 故选：D． 题型十　规律性问题 例题：37．如图，在平面直角坐标系中，一个点P从出发，运动到，运动到，运动到，运动到，运动到，......，按照上述规律运动下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得P点坐标位置按4次一循环的规律排列． 且， ∴点的坐标为， 故选：C． 巩固训练 38．如图，动点从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：经过6次反弹后动点回到出发点． ， 当点第次碰到长方形的边时为第个循环的第3次反弹， 点的坐标为． 故选D． 39．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次从原点运动到点， 第5次接着运动到点， 第6次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， ， 第2023次接着运动到点， 故选：D． 40．如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行"爬楼梯"运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点……按这样的运动规律，经过第2024次运动后，小蚂蚁的坐标是（    ） A．（1012，1013） B．（1013，1012） C．（1012，1012） D．（1013，1013） 【答案】C 【详解】解：第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， …， 则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次， 纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次， 则， ∴第2024次的坐标是：， 故选C． 题型十一　根据一次函数定义求参数 例题：41．若函数是关于的一次函数． 则的值是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一次函数的定义条件是：为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义可知，，从而可求得k的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 故选A． 巩固训练 42．已知函数是一次函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数中，的指数为列式，根据绝对值的性质，不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，则， ∵，则， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义，绝对值的性质，不等式的性质的运算是解题的关键． 43．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义进行解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题关键是熟练掌握一次函数的定义． 44．若函数是一次函数，则应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据一次函数的概念求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得， 故选：C 题型十二　一次函数图象 例题：45．已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 巩固训练 46．当时，一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象，根据，可知随的增大而减小，可求得一次函数与轴的交点为，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴随的增大而减小． ∵时， ∴． ∴一次函数与轴的交点为． 所以，选项A的图象符合题意． 故选：A 47．两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：A、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； B、若①是，则，则②可能是的图象，符合题意； C、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； D、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； 故选：B． 48．已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴一次函数和中，k值相等，即两直线平行， ∵， ∴一次函数和中，与y轴的交点一正一负， A选项符合题意， 故选：A． 题型十三　一次函数与坐标轴交点 例题：49．一次函数的图像与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入一次函数可得：． 所以一次函数的图像与轴的交点坐标为． 故选B． 巩固训练 50．直线与轴的交点坐标是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算当时，，确定坐标为，解答即可． 本题考查了一次函数与y轴的交点计算，熟练掌握时，求对应的函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，， 故图象于y轴的交点为， 故选：A． 51．直线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数以坐标轴的交点的计算，根据与轴相交，横坐标为零，即可求解，理解并掌握一次函数图象与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， 故选：A ． 52．直线与轴交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．令，求出x的值即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴当时，，得， 即直线与x轴的交点坐标为：， 故选：D． 题型十四　一次函数平移 例题：53．在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移2个单位长度，所得函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：函数的图象向下平移2个单位长度，所得函数解析式是， 故选：D． 巩固训练 54．将函数图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将函数的图象向下平移4个单位长度，所得函数图象的表达式是， 故选：B． 55．将一直线向下平移两个单位后，得到一个一次函数的图象，那么这条直线的表达式为(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一直线向下平移两个单位后，得到一个一次函数的图象， ∴一次函数的图象向上平移2个单位长度得到， 故选：D ． 56．在平面直角坐标系中，把直线向下平移5个单位长度，所得直线的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将函数的图象向下平移5个单位长度，所得的函数的解析式是， 故选：B． 题型十五　一次函数增减性 例题：57．已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性是解题的关键． 根据题意可得，一次函数图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：一次函数， ∵， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：C ． 巩固训练 58．函数的图象经过点和点，则比较，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的增减性判断函数值的大小即可． 【详解】解：∵函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵该函数的图象经过点和点，， ∴， 故选：B． 59．已知一次函数的图象经过点，，则m与n的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的增减性判断函数值的大小即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵该函数图象经过点，，且， ∴， 故选：A． 60．已知点，在一次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据题中一次函数y随着x的增大而减少即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随着x的增大而减小． ， ∴， 故选：A． 题型十六　利用一次函数图象解方程 例题：61．如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：直线经过点，即当时，， ∴方程的解为， 故选：A ． 巩固训练 62．如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题知，方程的解可看成函数的图象和直线交点的横坐标， 由所给函数图象可知， 直线和直线的交点坐标为， 方程的解为． 故选：A． 63．一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象得出一次函数的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为， ∴的解为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用解答． 64．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 【答案】A 【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选A． 题型十七　一次函数与面积 例题： 65．在直角坐标系中，点O是原点，且，，则的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，与y轴交于点C， 设所在的直线解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴所在的直线解析式为， 令，则， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固训练 66．一次函数的图象与坐标轴所围成的图形的面积是 ． 【答案】6 【详解】解：一次函数的关系式是，当时，； 当时，， 解得：， 其图象与坐标轴围成的三角形面积是：． 故答案为6． 67．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则 ． 【答案】 【详解】解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 68．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：根据作出简图得： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 题型十八　利用一次函数图象解不等式 例题：69．如图，一次函数的图象与y轴的交点为，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式， 先求出，可得，再根据，可知，求出解集即可. 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点为， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， 解得. 故答案为：. 巩固训练 70．已知一次函数的图象如图所示，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象．根据一次函数的图象可知，函数值随的增大而减小，从而得到答案． 【详解】解：由图象可知：函数值随的增大而减小， 当时，， 故当时，， 故答案为：． 71．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】解：∵直线与轴的交点分别为， ∴当时，， 由图可知，函数随的增大而增大， ∴当时，， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 72．如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 题型十九　一次函数行程问题 例题：73．小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为 ． 【答案】 【详解】解：设当时，y与x的函数关系式为 将代入得， 解得 ∴ 当时， 解得 ∴ ∴小明与小亮交谈的时间为． 故答案为：． 巩固训练 74．在两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有 （填序号．）    【答案】①②③④ 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：A，B两地相距为，故①正确； 货车的速度为：， 故货车到达地一共需要， 设两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为， 由题意可得：， 解得：， ∴两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，故②正确； 设客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为， 由题意可得：， 解得：， ∴客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为：，故③正确； 由得， 解得：， ∵， ∴符合题意，即客、货两车在小时相遇，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 75．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键． 根据函数图象中的数据列式计算即可． 【详解】解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为， 聪聪的速度为 ， ， 故答案为：． 76．甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程与时间之间的函数关系如图所示．请你根据图象，回答下列问题： （1）当 时，甲与乙相遇； （2）在甲、乙相遇之前，甲与乙相距时， ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了从图象中获得信息，一次函数的实际应用，一元一次方程的应用． （1）利用待定系数法分别求出甲，乙（）的函数解析式，联立即可解答； （2）先求得乙在的函数解析式，结合（1）甲的函数解析式，分变速前和变速后两种情况列方程解答即可． 【详解】解：（1）设甲所跑的路程与时间之间的函数关系为， 则，解得：， ∴甲的函数解析式为：； 设乙跑的路程与时间之间的函数关系式为：（），经过点，，联立方程可得： ， 解得， 乙的函数解析式为：； 令，解得：， 则当时，甲与乙相遇； 故答案为：； （2）设乙跑的路程与时间之间的函数关系式为：（），经过点， 则，解得：， 乙的函数解析式为：； ∵甲、乙相遇之前，甲与乙相距， 乙变速前则， 解得：； 乙变速后则， 解得：； 故答案为：或． 题型二十　一次函数方案问题 例题：77．“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表： 成本价（元/件） 销售价（元/件） 泥塑兔子王 15 25 清照团扇 10 17.5 (1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？ (2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； (2)第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 【详解】（1）解：设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件， 根据题意得，， 解得， 答：该文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件； （2）解：由题知：， 解得，， ， ， 随的增大而增大， 当时，元， 此时，件， 答：第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元． 巩固训练 78．南阳烙画，起源于秦汉，鼎盛于明清，发展于现代，2021年入选中国非物质文化遗产，素以“南阳三大宝”之首而蜚声海内外．某网店老板小杰在南阳某烙画专营店选中A，B两款高端烙画，决定从该店进货并销售，已知两款烙画的进货价和销售价如下表： A款烙画 B款烙画 进货价（元/件） 80 140 销售价（元/件） 98 168 (1)第一次小杰用2440元购进了A，B两款烙画共20件，两款烙画各购进多少件？ (2)第二次小杰进货时，计划购进A款烙画数量不少于B款烙画数量的，且小杰计划购进两款烙画共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)款烙画购进6件，款烙画购进14件 (2)款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元 【详解】（1）解：设款烙画购进件，款烙画购进件，根据题意得： 解方程组，得 款烙画购进6件，款烙画购进14件； （2）解：设款烙画购进件，则款烙画数量为件， 购进款烙画数量不少于款烙画数量的， ， 解得， 设利润为元，根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取最大值（元）， 此时， 款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元． 79．开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引着无数的游客前往观光．开封特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元． (1)分别求出桶子鸡和酱牛肉的单价； (2)若某公司决定购买桶子鸡和酱牛肉共200包作为员工福利，且购买桶子鸡的数量不超过酱牛肉的数量，则应该如何安排购买方案，才能使购买总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)桶子鸡的单价为50元，酱牛肉的单价为70元； (2)购买100包桶子鸡，100包酱牛肉时费用最低，最低费用是12000元． 【详解】（1）解：设桶子鸡的单价为元，酱牛肉的单价为元． 由题意，得， 解得， 答：桶子鸡的单价为50元，酱牛肉的单价为70元； （2）解：设购买桶子鸡包，则购买酱牛肉包，购买费用为元． 由题意，得， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为， 此时． 答：购买100包桶子鸡，100包酱牛肉时费用最低，最低费用是12000元． 80．某学校要购买甲、乙两种灭火器，用于预防校园消防安全．若购买支甲种灭火器和支乙种灭火器，则一共需要元；若购买支甲种灭火器和支乙种灭火器，则一共需要元． (1)每支甲种灭火器、每支乙种灭火器的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买甲、乙两种灭火器共支，其中购买甲种灭火器支，且甲种灭火器的数量至少比乙种灭火器的数量多支，且不超过乙种灭火器数量的倍．哪种购买方案可使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)每支甲种灭火器的价格是元，每支乙种灭火器的价格是元 (2)购买甲种灭火器支、乙种灭火器支可使总费用最少，最少总费用是元 【详解】（1）解：设每支甲种灭火器的价格是元，每支乙种灭火器的价格是元． 根据题意，得， 解得． 故每支甲种灭火器的价格是元，每支乙种灭火器的价格是元． （2）解：根据题意，得， 解得 ∵为非负整数， ∴的值可以为，，． ， ∵， ∴随的减小而减小， ∴当时，值最小，，（支）． 故购买甲种灭火器支、乙种灭火器支可使总费用最少，最少总费用是元． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$