第十四章 一次函数易错训练与压轴训练（3易错+5压轴）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北京版）

第十四章 一次函数易错训练与压轴训练01 思维导图 目录 易错题型一　一次函数综合题 1 易错题型二　动点问题 10 易错题型三　一次函数行程行程问题 16 压轴题型一　最值问题 21 压轴题型二　一次函数规律性问题 26 压轴题型三　一次函数存在性问题面积相关 32 压轴题型四　一次函数存在性问题等腰三角形相关 40 压轴题型五　新定义函数 52 02 易错题型 易错题型一　一次函数综合题 例题：如图，已知、、、是平面坐标系中坐标轴上的点，且，设直线、直线交于点，两条直线表达式分别为，，下列结论中正确的个数有（　　）    ①；②平分；③． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，于点，由，全等三角形对应高相等，得，根据角平分线的判定定理可证平分，再证明，可得，直线与轴交点的坐标，与轴交点的坐标，得，，同理可得，，由，，得，，得， ，可证． 【详解】过点作于点，于点，    ∵． ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴平分，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 直线与轴交点的坐标，与轴交点的坐标， ∴，， 同理可得，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴，故③正确． 故选：C． 巩固训练 1．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B、A两点，以线段AB为边在AB右侧作等边三角形ABC，边AC与x轴交于点E，边BC与y轴交于点F，点D是y轴上的一个动点，连接AD，BD，CD．下面的结论中，正确的个数有（    ）个 ①；②；③当时，；④点C的坐标为；⑤当时，； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，再由题意可得A（0，2），B（-2，0），从而得到∠ABO=∠BAO=45°，进而得到∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，再根据三角形外角的性质，则①正确；过点Ｇ作ＣＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，ＣＨ⊥ｙ轴于点Ｈ，则∠BGC=∠AHC=90°，可证得△BCG≌△ACH，△BOF≌△AOE，从而得到CG=CH，AF=BE，再由三角形的面积，可得②正确；根据，可得AD=AB=AC，再根据等腰三角形的性质，可得∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=，则得到③正确；过点C作CP⊥AB于点P，可得CP过点O，根据勾股定理可得，， 从而得到，再由等腰直角三角形的性质可得④正确；设点，则OD=m，AD=2+m，可得到，，再由，求出m，即可求解． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC， 当时，，当时，， ∴A（0，2），B（-2，0）， ∴OA=OB=2， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABO=∠BAO=45°， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABO=15°，∠CAF=∠BAC-∠BAO=15°， ∴∠AEB=∠ACB+∠CBE=75°，故①正确； 如图，过点Ｇ作ＣＧ⊥ｘ轴于点Ｇ，ＣＨ⊥ｙ轴于点Ｈ，则∠BGC=∠AHC=90°， ∵∠CBE=15°，∠CAF=15°， ∴∠CBE=∠CAF， ∵∠BGC=∠AHC=90°，AC=BC， ∴△BCG≌△ACH， ∴CG=CH， ∵∠CBE=∠CAF， OB = OA，∠BOF=∠AOE=90°， ∴△BOF≌△AOE， ∴OE=OF， ∴OA+OF=OB+OE，即AF=BE， ∵， ∴，故②正确； ∵，AB=BC=AC， ∴AD=AB=AC， ∴∠ABD=∠ADB=，∠ADC=∠ACD=， ∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=150°，故③正确； 如图，过点C作CP⊥AB于点P， ∵OA=OB， ∴CP过点O， ∵∠ABO=45°，∠ABC=60°， ∴∠COE=∠BOP=45°，∠BCP=30°， ∴OP=BP，，∠OCG=45°， ∵OA=OB=2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠COE=∠OCG=45°， ∴CG=OG， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，故④正确； 设点，则OD=m，AD=2+m， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得： ， ∴，故⑤正确 所以正确的有①②③④⑤，共5个． 故选：D 3．已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点P的坐标为其中正确的说法个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；分别求出BD=3，,，然后利用勾股定理的逆定理即可判断②；求得BD和AO的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为． 【详解】解：直线：与直线：都经过， 方程组的解为， 故①正确； 把，代入直线：，可得 ， 解得， 直线：， ∴点B的坐标为（0，4）， 又直线：经过点 ， ∴ ， ∴直线：， ∴点D的坐标为（0，1）， ∴BD=3，,， ∴， ∴△BCD是直角三角形 故②正确； 在直线：中，令，则， ， ， ， 故③正确； 点A关于y轴对称的点为， 设过点C，的直线为，则 ， 解得， ， 令，则， 当的值最小时，点P的坐标为， 故④正确． 故选D． 4．如图，直线 y1 与 y2 相交于点C ， y1 与 x 轴交于点 D ，与 y 轴交于点0,1， y2 与 x 轴 交于点 B3,0，与 y 轴交于点 A ，下列说法正确的个数有（    ） ①y1的 解 析 式 为；②  OA OB ；③；④；⑤ AOB BCD . A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5 个 【答案】A 【分析】通过待定系数法，求出直线y1的解析式，于是可对①进行判断；利用待定系数法求出y2的解析式为y=﹣x+3，则可确定A（0，3），所以OA=OB，于是可对②进行判断；通过两点间的距离公式求出AC、BC的长，从而对③进行判断；计算∠EDO和∠ABO的度数，再通过三角形的内角和定理得出∠DCB的度数，即可对④进行判断；通过计算BD和AB的长可对⑤进行判断． 【详解】由图可知：直线y1过点（0，1），（1，2），∴直线y1的解析式为，所以①错误； 设y2的解析式为y=kx+b，把C（1，2），B（3，0）代入得：，解得：，所以y2的解析式为y=﹣x+3，当x=0时，y=﹣x+3=3，则A（0，3），则OA=OB，所以②正确； ∵A（0，3），C（1，2），B（3，0），∴AC=，BC=，∴，所以③错误； 在中，令y1=0，得x=－1，∴D（－1，0），∴OD=1． ∵OE=1，∴OD=OE，∴∠EDO=45°． ∵OA=OB=3，∴∠ABO=45°，∴∠DCB=180°－45°－45°=90°，∴DC⊥AB，∴，故④正确； 因为BD=3+1=4，而AB=3，所以△AOB与△BCD不全等，所以⑤错误． 故正确的有②④． 故选A． 易错题型二　动点问题 例题：已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积 关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有几个（　　） ①动点H的速度是； ②BC的长度为； ③b的值为14； ④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 【详解】解：当点H在上时，如图所示，   ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，    ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，   ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示，    ，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是， 故①正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴， 故②错误， ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴， 故③错误． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故④错误． 故选：A． 巩固训练 1．如图，在直角坐标系中，有一矩形，长，宽 轴，轴．点坐标为，该矩形边上有一动点，沿运动一周，则点的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分，当P点在AB上，当P点在BC上，当P点在CD上，点P在AD上即可得出图象． 【详解】∵矩形，长，宽矩形边上有一动点，沿运动一周， ∴点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系图象可以分为4部分， ∴P点在AB上，此时纵坐标越来越大，最小值是1，最大值为2， P点在BC上，此时纵坐标为定值2． 当P点在CD上，此时纵坐标越来越小，最大值是2，最小值为1， P点在AD上，此时纵坐标为定值1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，点与坐标原点重合，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿的路线向终点运动，连接、，设点运动的时间为秒，的面积为，下列图像能表示与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质得到OA=BC=6，OC=AB=4，再分三种情况：点P在OA、AB、BC边上时，分别求出函数解析式，即可得到图象. 【详解】∵矩形的顶点，, ∴OA=BC=6，OC=AB=4， 当点P在OA边上即0≤t<3时，， 当点P在AB边上即3≤t<5时，， 当点P在BC边上即5≤t≤8时，， 故选：B . 【点睛】此题考查函数图象，正确理解题意分段求出函数解析式是解题的关键. 3．如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（　　） 　 A． B． C．2 D．2 【答案】B 【分析】由图2知，菱形的边长为a，对角线AC=，则对角线BD为22，当点P在线段AC上运动时，yAPBDx，即可求解． 【详解】解：由图2知，菱形的边长为a，对角线AC， 则对角线BD为22， 当点P在线段AC上运动时， yAPBDx， 由图2知，当x时，y＝a， 即a， 解得：a， 故选：B． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，动点P从B出发，沿B→C→A运动，如图（1）所示，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则图（2）中Q点的坐标是（            ） A．（4,2） B．（4,3） C．（4,4） D．（4,6） 【答案】B 【详解】分析：根据已知条件和图象可以得到BC、AC的长度，当x=4时，点P与点C重合，此时△DPC的面积等于△ABC面积的一半，从而可以求出点Q的坐标，本题得以解决． 详解：根据题意和图象可得， BC=4，AC=7-4=3， ∵∠ACB=90°，点D为AB的中点， ∴当x=4时，S△DPB=， ∴y=×=3， 即点Q的坐标是（4，3）， 故选：B． 易错题型三　一次函数行程行程问题 例题：甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，发现有重要物品需要送给乙车，于是甲车司机立即通知乙车（通知时间忽略不计），乙车接到通知后将速度降低50%继续匀速行驶，甲车司机花一定的时间准备好相关物品后，以原速的，当甲车追上乙车时，乙车恰好到达A地．如图反映的是两车之间的距离y（千米）（小时）之间的函数关系，则甲车在B地准备好相关物品共花了 小时． 【答案】 【分析】根据函数图象获取相关信息，求出甲乙的速度，再利用甲乙相遇，甲走300和乙走用的时间相等，建立等式求解即可． 【详解】解：（1）点说明甲用，此时乙走了200千米，则乙的速度为； （2）两车2小时相遇，相遇后甲乙都走了小时，则甲乙的速度和为，乙的速度为60，则甲的速度为90； （3）甲乙2小时相遇，则AB的距离为千米， （4）设甲准备了x个小时，则甲乙的距离为200+30x，则甲走300用的时间和乙走用时相同，此时甲的速度为，乙的速度为：， 即， 解得：， 故答案为：． 巩固训练 1．甲、乙两辆冷链运输车从某公司疫苗存储库同时出发，各自将一批疫苗运往省疾控中心疫苗仓储库，他们将疫苗运到省疾控中心疫苗仓储库后，省疾控中心将按规定流程对疫苗的质量进行检查验收，检查验收及卸货的时间共为30分钟，然后甲、乙两辆冷链运输车又各自按原路原速返回公司疫苗存储库，在整个过程中，假设甲、乙两辆冷链运输车均保持各自的速度匀速行驶，且甲车的速度比乙车的速度快．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车离开公司疫苗存储库的时间（小时）之间的关系如图所示，则在甲车返回到公司疫苗存储库时，乙车距公司疫苗存储库的距离为 千米． 【答案】36 【分析】根据图象求出甲、乙速度和公司疫苗存储库到省疾控中心疫苗仓储库的距离，从而可得甲回到公司疫苗存储库所用时间，求出这段时间乙行驶路程，即可得到答案． 【详解】解：如图： 由A（1.8，18）可知，甲1.8小时达到省疾控中心疫苗仓储库，且1.8小时，甲、乙相距18千米，即甲比乙多行驶18千米， ∴甲、乙速度差为：V甲-V乙=18÷1.8=10（千米/时）， ∵检查验收及卸货的时间共为30分钟（0.5小时）， ∴C（2.3，0）， 而xD=2.5， ∴甲比乙早0.2小时返回，即甲比乙早0.2小时到省疾控中心疫苗仓储库， 设甲速度为x千米/时，则乙速度是（x-10）千米/时，可得： 1.8x=（1.8+0.2）（x-10）， 解得x=100， ∴甲速度为100千米/时，乙速度是90千米/时，公司疫苗存储库到省疾控中心疫苗仓储库的距离是180千米， ∵在整个过程中，甲、乙两辆冷链运输车均保持各自的速度匀速行驶， ∴甲从第2.3小时返回，到公司疫苗存储库时间为2.3+1.8=4.1（小时）， 乙从2.5小时开始返回，到4.1小时所行路程为：（4.1-2.5）×90=144（千米）， 此时到公司疫苗存储库距离是180-144=36（千米）， ∴甲车返回到公司疫苗存储库时，乙车距公司疫苗存储库的距离是36千米． 故答案为：36． 【点睛】本题考查一次函数图象及应用，读懂图象，特别是理解重要点的坐标，是解题的关键． 2．2018年杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，在整个运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离y千米与行驶时间x小时之间的部分函数关系如图所示，当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了 千米． 【答案】250 【分析】由图可知，高铁从杭州到黄山为小时，根据路程÷时间=速度可求出高铁的速度，根据“高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发”从黄山出发经过 小时与旅游专列第一次相遇，可求出此时铁距离黄山千米，从而得出旅游专列的速度，因为旅游专列从杭州到黄山所需时间为小时，而高铁从杭州到黄山1.5小时，停留1小时，再从黄山到杭州1.5小时，停留1小时，所用时间为5个小时，可得高铁再次从杭州到黄山可以与旅游专列二次相遇从而可求出该旅游专列共行驶的路程． 【详解】解：由图可知，高铁从杭州到黄山为小时， 所以高铁速度为300（千米/时），高铁到达黄山时停留一小时，共用2.5小时， 所以从黄山出发经过 小时与旅游专列第一次相遇． 此时高铁距离黄山千米， 所以旅游专列小时行驶千米，旅游专列的速度为（千米/时） 又旅游专列从杭州到黄山所需时间为小时． 而高铁从杭州到黄山1.5小时，停留1小时， 再从黄山到杭州1.5小时，停留1小时， 所用时间为5个小时． 所以再次从杭州到黄山可以与旅游专列二次相遇． 5个小时旅游专列到达=200千米， 所以二次相遇所用时间小时 旅游专列共行驶了千米． 故答案为250． 【点睛】本题考查了利用函数图象解决行程的实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的函数问题． 3．小苏同学与小李同学在甲、乙两地之间进行往返蛙跳训练．小苏先出发20秒，小李随后出发．当小李恰好追上小苏后，两人一起向乙地前进了6秒，小李不小心受伤了，经过一分钟的休息后小李继续前行，但速度减到原来的，小苏和小李相距的路程（米）与小苏出发时间（秒）的关系如图所示，则当小李再次出发时，两人还有 秒再次相遇． 【答案】 【分析】根据图象求出二人的速度，结合图象信息求出再次相遇的时间即可． 【详解】解：小苏先出发20秒，路程为20米，可知速度为：（米/秒）， 由图象可知，小李出发30秒追上小苏，可知小李的速度为：（米/秒）， 两人一起向乙地前进了6秒，两人的距离为：（米）， 小李休息1分钟后，两人距离为60-4=56（米）， 经过21秒后，小苏到达乙地,两人之间的距离为：56+21×（1-）=59.5（米）， 此时，两人相向而行，59.5÷（1+）=（秒）， （秒） 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键函数准确读取图象信息，进行正确计算． 4．十一黄金周，小明和小亮乘甲车从沙坪坝出发，以一定的速度匀速前往铁山坪体验“飞越丛林”．出发15分钟后，小明发现忘带身份证和钱包，便下车换乘乙车匀速回家去取（小明换车、取身份证和钱包的时间忽略不计），小亮仍乘甲车并以原速继续前行，小明回家取了身份证和钱包后，为节约时间，又立即乘乙车以原来速度的倍匀速按原路赶往铁山坪，由于国庆期间车流量较大，在小明乘乙车以加速后的速度匀速赶往铁山坪期间，甲车恰好因故在途中持续堵塞了5分钟，结果乙车先到达目的地.甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的部分图象如图所示，则乙车出发 小时到达目的地． 【答案】 【分析】由题意设两家出发时，速度是a千米/小时，小明返回家时速度是b千米/小时，根据甲车15分走的路程等于返回时小时走的路程，由此可得a与b的关系，表示a=8m，b=9m（m＞0），根据两车相距列方程可得m的值，从而得a和b的值，最后根据两车相距3千米列方程即可解答． 【详解】解：设甲车的速度为a千米/小时，乙车回家时的速度是b千米/小时， 化简后得：， 设a=8m，b=9m（m＞0）， 由图象得乙车行驶小时两边相距千米， ， 解得：m=5， ∴a=40，b=45， 设t小时两车相距3千米， ， 解得：． 故答案为：． 03 压轴题型 压轴题型一　最值问题 例题：已知，如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：过原点且与直线相交于C，点P为y轴上一动点．的值最小为 ． 【答案】/ 【分析】联立两直线解析式组成方程组，可得点C的坐标，确定出点A关于y轴的对称点，即可求出的最小值． 【详解】解：直线①与直线②相交于， 联立①②解得， 解得，， ，； 在中，当时，， ， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图： 此时． 故答案为：． 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，点坐标为，点在边上，点在的角平分线上移动，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，得出点关于的对称点在上，作点关于的对称点，过点作交于点，连接，并延长交于点，根据轴对称的性质可得，，结合三角形的三边关系可得出当点移动到点的位置时，，此时值的最大；根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，根据勾股定理求出，得出点的坐标，进一步求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在的角平分线上， ∴， 即点关于的对称点在上， 作点关于的对称点，过点作交于点，连接，并延长交于点，如图： 根据对称可得，， 则在中，， 当点移动到点的位置时，，此时值的最大； 在中，， ∴， 故，， ∴， 故点与点的纵坐标相同， 则此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的三边关系，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 2．如图，已知直线函数表达式为，其中点，点．点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点，连接．若一次函数的图象过点且与的边有交点，则k的最小值为 ，k的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 利用直线的表达式求得A、B的坐标，进一步求得点C的坐标，求得直线分别过B、C时k的值，即可得到结论． 【详解】解：直线函数表达式为，其中点，点， ， ， ，， ∵点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点， ， ∵一次函数的图象过点， ， ， ∴一次函数为， 当经过点B时，则，解得， 当经过点C时，则，解得， 故k的最小值为，k的最大值为2， 故答案为：，2． 3．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线分别与x轴、y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 【答案】2 【分析】分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】根据题意，得 ， 解得， ∴m的最大值为1，最小值为 ∴m的最大值与最小值之差为， 故答案为：2． 4．已知直线，，的图象如图，若无论取何值，总取中的最小值，则y的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据函数图象结合题意得出y的最大值为直线与的交点的纵坐标，继而联立直线与的解析式，即可求解． 【详解】解：∵无论取何值，总取中的最小值， ∴的取值如图所示（位于最下方的函数图象）： ∴y的最大值为直线与的交点的纵坐标， 联立， 解得， 所以，当时，的值最大，最大值为 故答案为：. 压轴题型二　一次函数规律性问题 例题：如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解． 根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是此类推，得点的纵坐标是，得到答案． 【详解】解：点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点纵坐标是， 以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点的纵坐标是，即， 以为边在右侧作等边三角形， 同理，得点的纵坐标是， 按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即． 故答案为：． 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，点在第一三象限角平分线上，过点作轴的平行线，交第二四象限角平分线于点，以线段为边在右侧作正方形；所在的直线交第一三象限角平分线于点，交第二四象限角平分线于点，再以线段为边在右侧作正方形……．以此类推，按照图中的规律，则点的坐标为 ；第2024个正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为2，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为6，依次得出第三个正方形的边长为18，以此类推，可以得到，的坐标，再将代入，即可求得答案． 【详解】解：∵，轴， ∴的横坐标为1，， ∵第一象限角平分线为，第三象限角平分线为， ∴， ∴， ∴正方形的边长为：2； ∴， ∴， ∴的横坐标为3，则，， ∴，， ∴，， ∴， 即第三个正方形的边长为18， ∴，， 以此类推，，， ∴，， ∴， 故答案为：，． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、一次函数的性质、坐标规律探索，由题意可得点、、、…，在轴上，且，，，…，求出，，，得出规律，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：点、、、…，在轴上，且，，，…， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， 令，则，即， ∴， 当时，，即， ∴， ∴， 当，，即， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形等，过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而可得的横坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，则，      即的横坐标为， ∵， ∴， ∵ 轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B，则， 即的横坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为， 同理可得，的横坐标为， 由此可得的横坐标为， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，，，，……，均为等腰直角三角形，且，点，，，…， 和点，，，…， 分别在正比例函数和的图象上，且点，，，…， 的横坐标分别为1，2，3，…，n，线段，，……， 均与y轴平行，按照图中所反映的规律，的顶点的坐标是 ，线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的规律探究问题，旨在考查学生的抽象概括能力．先求出，，得出，根据等腰直角三角形的性质求出的坐标，再分别求出的坐标，得出规律，进而求出的坐标；分别计算线段的长度，从而得出线段的长． 【详解】解：∵时，， ∴，， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的横坐标是，的纵坐标是， ∴的坐标是； ∵时，， ∴，， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的横坐标是，的纵坐标是， ∴的坐标是； 同理，可得的坐标是；的坐标是 … ∴的顶点的坐标是； ∵ … ∴ 故答案为：；． 压轴题型三　一次函数存在性问题面积相关 例题：如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)直接写出点B的坐标为 ； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由直线可知：令，则， ∴； （2）解： ， ∴点与轴的距离是2， ∵， 的面积； （3）解：存在； 由（2）知的面积为， ， 设， ， ， 或， 代入直线得，或， 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点，坐标与图形以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 巩固训练 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作于点B，交x轴于点C． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A，B (2) (3)存在，P 或 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质、求一次函数解析式； （1）根据直线与坐标轴交点坐标的求法求出点A和点B坐标即可； （2）根据所给条件先求出点C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式； （3）设点P的坐标为，利用面积关系建立方程，求出m值即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 当时，， 当时，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， , ∴ 设直线表达式为，由题意得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； （3）设点P的坐标为 ∵， ， 解得或， ∴或． 2．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，点的坐标是或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的表达式为：，再把和分别代入，进行计算，即可作答． （2）先得出，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． （3）设直线的表达式为，把代入，求出直线的表达式为，因为三角形的面积是三角形的面积的，得出点的横坐标为1或，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， ∵过点的直线与直线相交于点， ∴把和分别代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， （2）解：∵，， ∴， ∴， （3）解：存在，过程如下： 设直线的表达式为，把代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵三角形的面积是三角形的面积的， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为1或， 当点的横坐标为1时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 在中，当时，， 则点的坐标为， 当点的横坐标为时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 综上，点的坐标是或或． 3．如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标： (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)6 (3)存在，P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：（1）点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：设点到轴的距离为， 则 ， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 4．如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C． (1)求D点坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)在直线上是否存在异于点C的另一点P，使得的面积与的面积相等？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，． 【分析】（1）已知直线：，利用，求出的值，即可得出D点坐标； （2）图象直线经过、，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）利用的面积与的面积相等，得出点P的纵坐标与点C的纵坐标的绝对值相等，再结合图象知点P在第一象限，即可求出答案． 【详解】（1）解：对于直线：， 令，则， 解得：， 即D点坐标为； （2）设的解析式为：， 代入、两点得：， 解得：， 直线的解析式为：； （3）直线上存在点P使得面积与的面积相等， 设C点坐标为， 则， 解得：， ， ， 点P的纵坐标与点C的纵坐标的绝对值相等， 由图可知点在第一象限， 当时，， ， 即P点坐标为． 压轴题型四　一次函数存在性问题等腰三角形相关 例题：如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为或或或； (3)点坐标是或． 【分析】（）把点代入得到，求得直线的解析式为，当 时，，得到点坐标是，把点，代入，即可得到结论； （）由，，得到，，根据勾股定理得到 ，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； （）设直线的解析式为，得到直线的解析式为，求得直线与轴的交点坐标为(0， ，设，根据三角形的面积公式列方程即可求解； 本题考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标是， 把点，代入得， 故答案为：，； （2）解：存在，理由， ∵，， ∴，， ∴， 当时，如图， 则点是， ∴点是或 ； 当时， ∴， ∴点是， 当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点是， 即， 综上所述，点的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点坐标为， 设， ∵点的坐标为，，的面积为， ∴， ∴或， ∴点坐标是或． 巩固训练 1.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)直接写出B，C两点的坐标． (2)线段上是否存在点P，使为以为底的等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)点是直线图象上一动点，设的面积为S，请求出S关于x的函数解析式． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为 (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）分别令，，求出x的值即可； （2）连接，过点P作于H，根据为以为底的等腰三角形，得到，即，再根据点P的横坐标与点H的横坐标相同，即可解答； （3）分点M在x轴上方，下方和在x轴上，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得：， ∴， 在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴； （2）解：存在，如图，连接，过点P作于H， ∵为以为底的等腰三角形， ∴， 即点H是的中点， ∴， ∵轴，即轴， ∴点P的横坐标与点H的横坐标相同，即点P的横坐标为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：当点M在x轴上方时，如图，过点M作轴于E， ∵是直线图象上一动点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 当点M在x轴下方时，如图，过点M作轴于F， ∵是直线图象上一动点， ∴， ∴， 即； 当点M在x轴上时，点M与点B重合，面积为0； 综上所述，S关于x的函数解析式为． 2．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点P的坐标为或或或． 【分析】（1）由图形折叠的性质可得的长度，从而可求的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入点G的坐标，可得直线解析式； （2）根据一次函数的性质，可得直线l的解析式为，结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围； （3）依据等腰三角形的性质，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 由勾股定理得， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线l：平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时， 解得，， 当直线l经过点时， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时． （3）解：存在，点P的坐标为或或或，理由如下： ①当时， 若点P在原点左侧，点P的坐标为， 若点P在原点右侧，点P的坐标为； ②当时， ， ， 点P的坐标为； ③当时， 可得， 在中，，即， 解得，，点P的坐标为， 综上所述，以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数图像的平移，同时考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质以及一次函数图象的性质与应用． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中满足． (1)填空：________，________； (2)如果在第三象限内有一点，在轴负半轴上有一点，使得的面积与的面积相等，求出点的坐标； (3)在（2）问的条件下，在轴上存在点，使为等腰三角形，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题是三角形的综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质和判定，两点的距离，三角形面积等知识， （1）由非负数性质即得，； （2）设直线交轴于点，根据，列等式可得的长，从而可以得点的坐标； （3）分三种情况讨论：，和，根据坐标与图形的性质和两点的距离公式解答即可． 解题的关键是运用分类讨论的思想解决有关于等腰三角形的问题． 【详解】（1）解：， ，， ，； 故答案为：，3； （2）如图1，设直线交轴于点， 由（1）知：，， ， ， 三角形的面积， 设直线的解析式为：， ，解得：， 直线的解析式为：， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为； （3），， ， 当为等腰三角形时，存在以下三种情况： ①如图2，， 点B和点Q关于点M横坐标所在直线对称， 点Q的横坐标为：， 点的坐标为； ②如图3，， 点的坐标为或； ③如图4，， 设点的坐标为， ， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 4．如图，已知正比例函数的图像经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为4，且三角形的面积为8． (1)求正比例函数的解析式； (2)已知，在直线上（除点外）是否存在点，使得三角形为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)正比例函数的解析式为 (2)存在，或或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，画出图形，注意进行分类讨论． （1）先利用三角形面积公式得到点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式； （2）分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：点的横坐标为4，，轴 ∴， ∴， ∴， 点的纵坐标为， 点的坐标为， 正比例函数的图象经过点， ， 解得， 正比例函数的解析式为； （2）解：在直线上（除点外）存在点，使得为等腰三角形，理由如下： 当，点在点的上方时，如图， 则； 点在点的下方时，； 当时， ， 点与点重合， 此时点不符合题意； 当时， ，， ， ， ， ， ， 则； 综上分析可知，的长为或或． 压轴题型五　新定义函数 例题：定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据两个图形之间的距离的定义，画出图形即可判断； ②当直线在点A的上方时，过点作直线，过点作，交BA的延长线于点，两个图形任意两点的距离中的最小值等于1时，直线解析式b的值，同理可求出当直线在点的下方时，直线解析式b的值，再结合图象即可得出结论； （2）当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为时，当正方形EFGH在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时，设直线交直线于点，可求 ，，进而求出，同理求出当正方形EFGH在直线y=-x+2的右侧时，求出，结合图象即可判断． 【详解】（1）①如图1中， 观察图形可知，与线段互为“近邻图形”的是，． 故答案为：，； ②如图②中， 当直线在点的上方时，过点作直线， 过点作，交BA的延长线于点． 不妨假设，则， ， ， ， 当直线在点的下方时，过点作直线， 不妨假设，同法可得， ， ， 观察图象可知，满足条件的的取值范围为； （2）如图3中， 当正方形在直线的左侧时，不妨假设点到直线的距离为1时， 设直线交直线于点， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 当正方形在直线的右侧时，且正方形与直线的距离为时， 同法可得， ∴， 观察图象可知，满足条件的m的值为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，正方形的性质，两个图形之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，且（点，，逆时针排列），则称点是线段的“完美点”．如图1，点是线段的“完美点”． (1)已知点，． ①在，，，中，其中是线段的“完美点”的是______； ②如图2，若点，点与点重合，则线段的“完美点”的坐标是______． (2)如图3，已知，，当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“完美点”，连接．求证：． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【分析】（1）①作轴于点，作轴于点，，，可判断点；作轴于，作轴于点，作，可证得与不全等，从而，进一步得出结果； ②作轴于点，作于点，证明，得，，进一步得出结果； （2）在轴上截取，连接，证明，得，，，进而证得是等边三角形，即可得证． 【详解】（1）解：①如图1， 作轴于点，作轴于点， ∴，， ∴， ∴点是线段的“完美点”； 同理是线段的“完美点”； 作轴于，作轴于点，作，点在轴上，点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴点不是的“完美点”； 同理点不是的“完美点”； 故答案为：，； ②如图2，作轴于点，作于点， ∴， ∴， ∵点是线段的“完美点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明；如图3，在轴上截取，连接，， ∵，，点是线段的“完美点”， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 2．在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)和； (2)a的最小值为1； (3)t的取值范围为或． 【分析】（1）先求得正方形的边长为4，并根据“长聚点”新定义可得，若题目所给的点到正方形的每一边直线的距离均不小于1，则为“长聚点”，否则不为“长聚点”，逐个验证四个点即可得到结论； （2）在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域，由条件可以得到在的垂直平分线上，先利用C、D坐标得到直线：，再由垂直平分线的性质得到在直线上，然后结合图形可以求得a的范围，即可得a的最小值； （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围，根据三个顶点的坐标，通过平移和对称的性质逐步算得三个顶点的坐标，然后结合图形并分9种情况讨论可以求得t的范围． 【详解】（1）解：由题意得正方形的边长为4， P为正方形的“长聚点”， P到正方形每一边所在直线的距离均不小于1， 到直线的距离为，到直线的距离为， 和不是正方形的“长聚点”， 到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为， 是正方形的“长聚点”， 同理可得，是正方形的“长聚点”， 和是正方形的“长聚点”． （2）如图所示，在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域． ， 直线：， ， 在的垂直平分线上， 设的垂直平分线：， 代入中点得，， 直线：， ， 点是正方形OABC在第一象限的“长聚点”， 在区域⑤或区域③， 结合图形得：或， 解得：或． a的最小值为1． （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围． 向左平移个单位得到， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内， 在如图所示标注序号的9个区域内． 下面分9种情况讨论： 若在区域①内，则结合图形得，无解； 若在区域②内，则结合图形得，无解； 若在区域③内，则结合图形得，； 若在区域④内，则结合图形得，无解； 若在区域⑤内，则结合图形得，无解； 若在区域⑥内，则结合图形得，无解； 若在区域⑦内，则结合图形得，； 若在区域⑧内，则结合图形得，无解； 若在区域⑨内，则结合图形得，无解； 综上所述，t的取值范围为或． 3．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，若且，则称点为点关于点的“正矩点”． (1)如图1所示的平面直角坐标系中，已知点，，，，，其中点关于原点的“正矩点”是______； (2)在平面直角坐标系中，已知点，，点，分别为轴正半轴，轴正半轴上的动点，点关于点的“正矩点”记为点，点在第一象限． ①当点与重合，小于时，求点纵坐标的取值范围； ②当点，分别在线段，上运动时，直接写出符合题意的点形成区域的面积． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质； （1）根据新定义进行判断，即可求解； （2）①证明，根据题意小于时，得出则； ②同理可得，当重合，重合时，当重合，重合时，当重合，重合时，符合题意的点形成区域为平行四边形，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，， 根据新定义，可得中点关于原点的“正矩点”是， 故答案为：，． （2）∵，， ∴， 如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，当时， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵重合， ∴， ∵小于时， ∴ ∴ 即 ②当点，分别在线段，上运动时，则 ∴ 同理可得 ∴ 如图所示， 当重合，重合时，在点，则 当重合，重合时，在点，此时，即点的横坐标为 当重合，重合时，在点，∴， 符合题意的点形成区域为平行四边形 平行四边形面积为 4．在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)①点P的横坐标为或；② 【分析】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）分类讨论：若直线经过点，直线经过点，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点，同上可求点是线段a的“双线关联点”； （2）①：将点A、B代入得，，则，当直线经过点，直线经过点时，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故，解得：，因此；当直线经过点，直线经过点时，同上可求，综上所述，点P的横坐标为或； ②：设线段的“双线关联点”为M，N，则，由①得：，消去m可得：，则点M在直线上运动，同理可求点N在直线上运动，将问题转化为正方形与直线和直线恰有2个交点，当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，随着t增大，当点E落在直线上， 则，解得：，当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，因此满足2个交点，则，当时，此时有4个交点，不符合题意， 综上所述：． 【详解】（1）解：若直线经过点，直线经过点， 则代入得：， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点， 则同理可求：直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”， 故答案为：，； （2）解：①将点A、B代入得，， ∴， 当直线经过点，直线经过点时， 则代入得：，， 解得：，， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴； 当直线经过点，直线经过点时， 同上可求：：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴， 综上所述，点P的横坐标为或； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则， 由①得：， 消去m可得：， ∴点M在直线p：上运动， 同理可求点N在直线l：上运动， ∵线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上， ∴正方形与直线和直线恰有2个交点， 当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图： 随着t增大，当点E落在直线上，此时1个交点，不符合题意，如图： 则，解得：， 当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，符合题意，如图： 当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，不符合题意，如图： ∴满足2个交点，则， 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图： 综上所述：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 一次函数易错训练与压轴训练01 思维导图 目录 易错题型一　一次函数综合题 1 易错题型二　动点问题 3 易错题型三　一次函数行程行程问题 6 压轴题型一　最值问题 8 压轴题型二　一次函数规律性问题 9 压轴题型三　一次函数存在性问题面积相关 11 压轴题型四　一次函数存在性问题等腰三角形相关 13 压轴题型五　新定义函数 16 02 易错题型 易错题型一　一次函数综合题 例题：如图，已知、、、是平面坐标系中坐标轴上的点，且，设直线、直线交于点，两条直线表达式分别为，，下列结论中正确的个数有（　　）    ①；②平分；③． A． B． C． D． 巩固训练 1．一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于B、A两点，以线段AB为边在AB右侧作等边三角形ABC，边AC与x轴交于点E，边BC与y轴交于点F，点D是y轴上的一个动点，连接AD，BD，CD．下面的结论中，正确的个数有（    ）个 ①；②；③当时，；④点C的坐标为；⑤当时，； A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接PA、PC，有以下说法：①方程组的解为；②为直角三角形；③；④当的值最小时，点P的坐标为其中正确的说法个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，直线 y1 与 y2 相交于点C ， y1 与 x 轴交于点 D ，与 y 轴交于点0,1， y2 与 x 轴 交于点 B3,0，与 y 轴交于点 A ，下列说法正确的个数有（    ） ①y1的 解 析 式 为；②  OA OB ；③；④；⑤ AOB BCD . A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5 个 易错题型二　动点问题 例题：已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积 关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有几个（　　） ①动点H的速度是； ②BC的长度为； ③b的值为14； ④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．如图，在直角坐标系中，有一矩形，长，宽 轴，轴．点坐标为，该矩形边上有一动点，沿运动一周，则点的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是(   ) A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，点与坐标原点重合，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿的路线向终点运动，连接、，设点运动的时间为秒，的面积为，下列图像能表示与之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 3．如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为（s），△PAB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（　　） 　 A． B． C．2 D．2 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，动点P从B出发，沿B→C→A运动，如图（1）所示，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则图（2）中Q点的坐标是（            ） A．（4,2） B．（4,3） C．（4,4） D．（4,6） 易错题型三　一次函数行程行程问题 例题：甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，发现有重要物品需要送给乙车，于是甲车司机立即通知乙车（通知时间忽略不计），乙车接到通知后将速度降低50%继续匀速行驶，甲车司机花一定的时间准备好相关物品后，以原速的，当甲车追上乙车时，乙车恰好到达A地．如图反映的是两车之间的距离y（千米）（小时）之间的函数关系，则甲车在B地准备好相关物品共花了 小时． 巩固训练 1．甲、乙两辆冷链运输车从某公司疫苗存储库同时出发，各自将一批疫苗运往省疾控中心疫苗仓储库，他们将疫苗运到省疾控中心疫苗仓储库后，省疾控中心将按规定流程对疫苗的质量进行检查验收，检查验收及卸货的时间共为30分钟，然后甲、乙两辆冷链运输车又各自按原路原速返回公司疫苗存储库，在整个过程中，假设甲、乙两辆冷链运输车均保持各自的速度匀速行驶，且甲车的速度比乙车的速度快．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车离开公司疫苗存储库的时间（小时）之间的关系如图所示，则在甲车返回到公司疫苗存储库时，乙车距公司疫苗存储库的距离为 千米． 2．2018年杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，在整个运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离y千米与行驶时间x小时之间的部分函数关系如图所示，当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了 千米． 3．小苏同学与小李同学在甲、乙两地之间进行往返蛙跳训练．小苏先出发20秒，小李随后出发．当小李恰好追上小苏后，两人一起向乙地前进了6秒，小李不小心受伤了，经过一分钟的休息后小李继续前行，但速度减到原来的，小苏和小李相距的路程（米）与小苏出发时间（秒）的关系如图所示，则当小李再次出发时，两人还有 秒再次相遇． 4．十一黄金周，小明和小亮乘甲车从沙坪坝出发，以一定的速度匀速前往铁山坪体验“飞越丛林”．出发15分钟后，小明发现忘带身份证和钱包，便下车换乘乙车匀速回家去取（小明换车、取身份证和钱包的时间忽略不计），小亮仍乘甲车并以原速继续前行，小明回家取了身份证和钱包后，为节约时间，又立即乘乙车以原来速度的倍匀速按原路赶往铁山坪，由于国庆期间车流量较大，在小明乘乙车以加速后的速度匀速赶往铁山坪期间，甲车恰好因故在途中持续堵塞了5分钟，结果乙车先到达目的地.甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的部分图象如图所示，则乙车出发 小时到达目的地． 03 压轴题型 压轴题型一　最值问题 例题：已知，如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：过原点且与直线相交于C，点P为y轴上一动点．的值最小为 ． 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，点坐标为，点在边上，点在的角平分线上移动，则的最大值是 ． 2．如图，已知直线函数表达式为，其中点，点．点C在x轴上，与y轴的交点D恰好为中点，连接．若一次函数的图象过点且与的边有交点，则k的最小值为 ，k的最大值为 ． 3．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线分别与x轴、y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 4．已知直线，，的图象如图，若无论取何值，总取中的最小值，则y的最大值为 . 压轴题型二　一次函数规律性问题 例题：如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 巩固训练 1．如图，在平面直角坐标系中，点在第一三象限角平分线上，过点作轴的平行线，交第二四象限角平分线于点，以线段为边在右侧作正方形；所在的直线交第一三象限角平分线于点，交第二四象限角平分线于点，再以线段为边在右侧作正方形……．以此类推，按照图中的规律，则点的坐标为 ；第2024个正方形的边长为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，…按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    4．如图，在平面直角坐标系中，，，，……，均为等腰直角三角形，且，点，，，…， 和点，，，…， 分别在正比例函数和的图象上，且点，，，…， 的横坐标分别为1，2，3，…，n，线段，，……， 均与y轴平行，按照图中所反映的规律，的顶点的坐标是 ，线段的长是 ． 压轴题型三　一次函数存在性问题面积相关 例题：如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)直接写出点B的坐标为 ； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 巩固训练 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作于点B，交x轴于点C． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，，，点B在x轴上，且． (1)求点B的坐标： (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C． (1)求D点坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)在直线上是否存在异于点C的另一点P，使得的面积与的面积相等？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由． 压轴题型四　一次函数存在性问题等腰三角形相关 例题：如图直线与轴、轴分别交于点两点，且点的坐标是，该直线上还有一点． (1)则点坐标是____________；____________； (2)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点的坐标为，点在轴上，的面积为，请直接写出点的坐标； 巩固训练 1.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)直接写出B，C两点的坐标． (2)线段上是否存在点P，使为以为底的等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)点是直线图象上一动点，设的面积为S，请求出S关于x的函数解析式． 2．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中满足． (1)填空：________，________； (2)如果在第三象限内有一点，在轴负半轴上有一点，使得的面积与的面积相等，求出点的坐标； (3)在（2）问的条件下，在轴上存在点，使为等腰三角形，求出点的坐标． 4．如图，已知正比例函数的图像经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为，点的横坐标为4，且三角形的面积为8． (1)求正比例函数的解析式； (2)已知，在直线上（除点外）是否存在点，使得三角形为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 压轴题型五　新定义函数 例题：定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”． (1)已知点，点． ①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______． ②如图2，将线段向下平移2个单位，得到线段，连接，，若直线与四边形互为“近邻图形”，求的取值范围； (2)如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形互为“近邻图形”，直接写出的取值范围． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，且（点，，逆时针排列），则称点是线段的“完美点”．如图1，点是线段的“完美点”． (1)已知点，． ①在，，，中，其中是线段的“完美点”的是______； ②如图2，若点，点与点重合，则线段的“完美点”的坐标是______． (2)如图3，已知，，当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“完美点”，连接．求证：． 2．在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，若且，则称点为点关于点的“正矩点”． (1)如图1所示的平面直角坐标系中，已知点，，，，，其中点关于原点的“正矩点”是______； (2)在平面直角坐标系中，已知点，，点，分别为轴正半轴，轴正半轴上的动点，点关于点的“正矩点”记为点，点在第一象限． ①当点与重合，小于时，求点纵坐标的取值范围； ②当点，分别在线段，上运动时，直接写出符合题意的点形成区域的面积． 4．在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． (1)如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； (2)，是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$