第十六章 一元二次方程知识归纳与题型突破（16题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北京版）

第十六章 一元二次方程知识归纳与题型突破（16题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3． 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4． 列出实际问题的一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2． 根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 （3）公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 知识点三：根的判别式的应用 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）= （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（） ①当方程有实数根； （当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；） ②当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论. （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 知识点四：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 知识点五：一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。 具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键； ②设未知数，注意单位; ③根据题意找等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验解是否合理； ⑥写出答案作答 考点1 数字问题 数字问题有以下几种常见类型: (1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是. (2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是. (3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是. (4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是. (5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是. 考点2 多边形对角线问题 利用一元二次方程解多边形对角线问题时需要用到公式，其中是多边形的边数，是多边形对角线的总条数. 考点3 循环问题 双方参与问题有以下几种常见类型: (1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手. (2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡. (3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场; ②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场. 考点4 传播问题 1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感. 2、 树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。 考点5 增减率问题 增减率问题涉及的公式有: (1) (2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则. 考点6 面积问题 利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形 考点7 利润问题 利润问题常用公式如下: (1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价. (2)利润率= (3)销售额=销售价×销售量. (4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量 03 题型归纳 题型一　一元二次方程定义 例题：1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程，熟记一元二次方程的概念是解题关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】A、方程中的不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意； B、方程含有2个未知数，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意； C、方程满足一元二次方程的定义，此项符合题意； D、是一元三次方程，此项不符题意； 故选择：C． 巩固训练 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C．是一元二次方程，故选项符合题意； D．是分式方程，故选项不符合题意． 故选：C． 3．下列方程中，不属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据判断一个方程是否是一元二次方程应注意：“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”进行分析即可．此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A、整理为，符合一元二次方程的定义，故本选项错误； B、符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项错误； D、，方程中含有x的分母，属于分式方程不是一元二次方程，故本选项正确； 故选：D． 4．下列属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的整式方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项不符合题意； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项符合题意； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项不符合题意； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型二　一元二次方程的解 例题：5．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 巩固训练 6．若是方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得，， 解得． 故选：B． 7．下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的的值代入计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：B． 8．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 题型三　直接开平方法 例题：9．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故选：B． 巩固训练 10．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，两边直接开平方即可得． 【详解】解：， 或， 故选：D． 11．方程的根是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．利用直接开平方法解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， ， 所以方程的解为， 故选；D． 12．方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故选：B． 题型四　配方法 例题：13．用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，即， 故选：A． 巩固训练 14．将一元二次方程配方后可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 15．将方程左边变成完全平方式后，方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了配方法解一元二次方程，直接利用完全平方公式配方求出即可． 【详解】解： ， 故选：D． 16．用配方法解方程，方程变形为的形式时，的值是（   ） A．7 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 先将常数项移至等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解： ， ∴， 故选：A． 题型五　公式法 例题：17．若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 巩固训练 18．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 19．在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值． 通过求根公式，分析出a，b，． 【详解】一元二次方程求根公式为，已知， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 将代入一元二次方程， 得到，对应选项B． 故选：B． 20．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得， 故， 故选：C． 题型六　一元二次方程根的情况 例题：21．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，熟记根的三种情况是解题的关键． 根据根的判别式判断即可． 【详解】解：∵， ∴该方程有两个相等的实数根， 故选：B． 巩固训练 22．关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式判定方程根的情况，本题属于基础题型． 根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A． 23．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，可判断方程有2个不相等的实数根，可判断方程有2个相等的实数根，可判断方程没有实数根，熟练掌握该知识点是解题的关键．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】解：， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 24．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实根 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 题型七　因式分解法 例题：25．方程的根是（    ） A．5 B．0，5 C．1，5 D．0， 【答案】C 【分析】本题主要考出来解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 故选：C． 巩固训练 26．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键．根据因式分解法求一元二次方程即可． 【详解】解： 或 ，， 故选：D． 27．方程的根为（   ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程 ，解题的关键是能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特运用因式分解法即可解答． 【详解】解： ∴或 ∴， 故选：B． 28．方程中的根是（   ） A． B．， C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法．方程利用因式分解法转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程， 所以或， 解得：． 故选：D． 题型八　定义新运算 例题：29．对于实数a，b定义一种新运算“★”如下：，若，则实数m等于（    ） A．6 B．2 C．2或 D．2或或6 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元二次方程解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：当时，则，解得：，不符合题意，舍去； 当时，则， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，， 故选：B． 巩固训练 30．对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（    ） A．1或 B．或7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 31．对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（    ） A． B．或6 C． D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，新定义下实数的运算，由新定义运算得出，再解一元二次方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， 解得：，， ∴等式中的x值为或6， 故选：B． 32．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据新运算的法则，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：， ∴， ∴， 故选D． 题型九　根据一元二次方程定义求参数 例题：33．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 巩固训练 34．若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 35．若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．由此可解． 【详解】解：由题意知， 解得， ， 故答案为：1． 36．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 题型十　整体代入 例题：37．若是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义和一元二次方程根和系数的关系可得，，，再把代数式转化为，最后代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 38．若是方程的一个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，求代数式的值，正确理解一元二次方程根的意义是解题的关键．根据一元二次方程根的意义，得到，整理得，然后将变形后即可求得答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 39．已知是方程的一个根，则代数式的值为 . 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，即，然后将变形为，再将代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 40．若a是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】2021 【分析】本题考查方程的解和代数式求值等．根据题意可知，继而得到，代数式整理后代入即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2021． 题型十一　根据根的情况求参数 例题：41．关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根． 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． ∴实数的取值范围是：． 故答案为：． 巩固训练 42．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 43．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式与根的关系，对于一元二次方程，判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当<0时，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程判别式与根的关系是解题关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式，即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 44．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：当方程是一元一次方程时， 根据题意得，， ∴； 当方程是一元二次方程时， ∵关于x的方程有实数根 ∴ 解得． 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 题型十二　根与系数的关系 例题：45．若m、n是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：0． 巩固训练 46．已知、是一元二次方程的两个根，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，结合，据此求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 47．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵已知关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴ 故答案为：． 48．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考由一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解． 【详解】解：由方程可知 故答案为：． 题型十三　换元法 例题：49．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用公式法解得，，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴应舍去， ∴， ∴． 故答案为：． 巩固训练 50．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则，再利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：设，则， 整理可得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 51．已知为实数，且满足，那么的值为 ． 【答案】4 【详解】解：原方程可化为， 或， 在中，即， ∵， ∴没有实数解，故舍去． ． 故答案为：． 52．已知：，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查解一元二次方程，令，原方程变形为，求出解后根据进行取舍即可． 【详解】解：令，原方程变形为， 即， 解得，， ， ， 故答案为：5． 题型十四　程序框图 例题：53．如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为，则输入的x的值为 ． 【答案】4或 【分析】根据运算程序可得，然后利用直接开平方法解方程即可． 本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 两边都除以，得， 所以， 解得，． 故答案为：4或． 巩固训练 54．如图，按照程序计算，若输出y的值是1，则输入x的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程以及解分式方程，根据输出y的值是1，代入上一步程序，得出或，然后分别解出x， 根据程序分析得出正确的值即可． 【详解】解：∵输出y的值是1， ∴上一步计算为：或， 当时，解得：，或， ∵，， ∴不符合程序判断条件， 当时，解得：，（经检验，是原方程的解） ∵， ∴符合程序判断条件． 故答案为：． 55．某校数学社团设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入x＝－2时，输出M的值为 ； （2）当输出M＝15时，输入x的值为 ． 【答案】 9 ﹣28或4 【分析】正确理解数值转换程序，便可根据x的值求出M，反过来若知道M的值，可通过建立方程求出相应的x的值． 【详解】解：（1）∵x＝﹣2＜3， ∴M1＝1+1＝2， 故答案为：9； （2）∵M＝15， ∴1＝15（x≤3）或x2﹣x+3＝15（x＞3）， 由1＝15（x≤3）解得x＝28或﹣28， ∵x≤3， ∴x＝﹣28， 由x2﹣x+3＝15（x＞3）， 解得x＝﹣3或x＝4， ∵x＞3， ∴x＝4， 综上可知，输入的x的值为﹣28或4， 故答案为：﹣28或4． 56．根据下图中的程序，当输入一元二次方程的解x时，输出结果 ．   【答案】1或-7/-7或1 【分析】先求出一元二次方程的解为，把代入解出此时的；把代入解出此时的，即可求解； 【详解】一元二次方程的解为 把代入解出此时的； 把代入解出此时的. 故答案是：或 题型十五　适当方法解方程 例题：57．选择适当方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程．运用因式分解法求解即可． 【详解】解：提取公因式得：， 或， ∴，． 巩固训练 58．选择适当方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可． 【详解】解：提取公因式得：， 或， ． 59．按要求解一元二次方程：（适当方法） 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．整理成一般式后利用因式分解法求解，即可解题． 【详解】解： 或， 解得，． 60．用适当方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．根据直接开方法即可求出答案． 【详解】解：， ， ． 题型十六 应用题　 例题：61．某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 【答案】(1)平均下降率为 (2)单价应降低元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设平均下降率为，根据平均下降率的等量关系，列出等量关系，进行求解即可； （2）设单价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设平均下降率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：平均下降率为． （2）设单价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：单价应降低元． 巩固训练 62．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图13所示，已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽的道路，已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米； (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同？ 【答案】(1)道路的宽为米 (2)每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：全部租出时的租金为：（元） 设月租金上涨元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同 63．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 【答案】(1) (2)当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为，将，；，代入得： ， 解得：， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴， ∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵顾客获得最大实惠， ∴， ∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元． 64．一小卖部分别用1200元、900元购进一批数量相同的牛肉汉堡和鸡肉汉堡，每个牛肉汉堡的进价比每个鸡肉汉堡的进价高5元． (1)求每个牛肉汉堡和每个鸡肉汉堡进价分别多少元？ (2)这批牛肉汉堡和鸡肉汉堡深受附近居民喜爱，很快销售一空，老板决定再购进一批相同的牛肉汉堡和鸡肉汉堡，此时每个鸡肉汉堡的进价上涨了元，购进的鸡肉汉堡的数量在第一次的基础上减少了个．牛肉汉堡的进价不变．购进的牛肉汉堡的数量在第一次基础上增加了个，所购此批两种汉堡的总费用与购第一批的总费用相同，求的值． 【答案】(1)每个牛肉汉堡和每个鸡肉汉堡进价分别元、元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元二次方程的应用； （1）等量关系式：1200元购进的牛肉汉堡的数量900元购进鸡肉汉堡的数量，据此列方程，即可求解； （2）等量关系式：每个鸡肉汉堡的进价购进的数量每个牛肉汉堡的进价购进的数量元，据此列方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：每个牛肉汉堡进价为元，每个鸡肉汉堡进价为（）元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （元）， 答：每个牛肉汉堡和每个鸡肉汉堡进价分别元、元； （2）解：由题意得 （个）， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 一元二次方程知识归纳与题型突破（16题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一：一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3． 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4． 列出实际问题的一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2． 根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 （3）公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 知识点三：根的判别式的应用 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）= （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（） ①当方程有实数根； （当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；） ②当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论. （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 知识点四：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 知识点五：一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。 具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键； ②设未知数，注意单位; ③根据题意找等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验解是否合理； ⑥写出答案作答 考点1 数字问题 数字问题有以下几种常见类型: (1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是. (2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是. (3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是. (4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是. (5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是. 考点2 多边形对角线问题 利用一元二次方程解多边形对角线问题时需要用到公式，其中是多边形的边数，是多边形对角线的总条数. 考点3 循环问题 双方参与问题有以下几种常见类型: (1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手. (2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡. (3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场; ②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场. 考点4 传播问题 1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感. 2、 树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。 考点5 增减率问题 增减率问题涉及的公式有: (1) (2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则. 考点6 面积问题 利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形 考点7 利润问题 利润问题常用公式如下: (1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价. (2)利润率= (3)销售额=销售价×销售量. (4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量 03 题型归纳 题型一　一元二次方程定义 例题：1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，不属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二　一元二次方程的解 例题：5．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 6．若是方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．下列数中，能使方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 8．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 题型三　直接开平方法 例题：9．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 10．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 11．方程的根是（  ） A． B． C． D． 12．方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型四　配方法 例题：13．用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 14．将一元二次方程配方后可得方程为（    ） A． B． C． D． 15．将方程左边变成完全平方式后，方程是（    ） A． B． C． D． 16．用配方法解方程，方程变形为的形式时，的值是（   ） A．7 B． C．3 D． 题型五　公式法 例题：17．若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 18．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 19．在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 20．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（   ） A． B． C． D．7 题型六　一元二次方程根的情况 例题：21．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 巩固训练 22．关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 23．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 24．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实根 D．不确定 题型七　因式分解法 例题：25．方程的根是（    ） A．5 B．0，5 C．1，5 D．0， 巩固训练 26．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 27．方程的根为（   ） A．2， B．， C．2， D．， 28．方程中的根是（   ） A． B．， C． D． 题型八　定义新运算 例题：29．对于实数a，b定义一种新运算“★”如下：，若，则实数m等于（    ） A．6 B．2 C．2或 D．2或或6 巩固训练 30．对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（    ） A．1或 B．或7 C． D． 31．对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（    ） A． B．或6 C． D．1或 32．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型九　根据一元二次方程定义求参数 例题：33．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 巩固训练 34．若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 35．若是关于的一元二次方程，则 ． 36．若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 题型十　整体代入 例题：37．若是方程的两个实数根，则的值为 ． 巩固训练 38．若是方程的一个根，则的值为 39．已知是方程的一个根，则代数式的值为 . 40．若a是方程的根，则代数式的值是 ． 题型十一　根据根的情况求参数 例题：41．关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为 ． 巩固训练 42．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是 43．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 44．如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是 ． 题型十二　根与系数的关系 例题：45．若m、n是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为 ． 巩固训练 46．已知、是一元二次方程的两个根，若，则 ． 47．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则 ． 48．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 题型十三　换元法 例题：49．已知，则的值为 ． 巩固训练 50．若，则的值为 ． 51．已知为实数，且满足，那么的值为 ． 52．已知：，则 ． 题型十四　程序框图 例题：53．如图是一个简单的数值运算程序，若输出的值为，则输入的x的值为 ． 巩固训练 54．如图，按照程序计算，若输出y的值是1，则输入x的值是 ． 55．某校数学社团设计了一个如图所示的数值转换程序． （1）当输入x＝－2时，输出M的值为 ； （2）当输出M＝15时，输入x的值为 ． 56．根据下图中的程序，当输入一元二次方程的解x时，输出结果 ．   题型十五　适当方法解方程 例题：57．选择适当方法解方程：． 巩固训练 58．选择适当方法解方程：． 59．按要求解一元二次方程：（适当方法） 60．用适当方法解方程： 题型十六 应用题　 例题：61．某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术，降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为128元/件． (1)这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以166元/件销售时，平均每天可销售20件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低2元，每天可多售出4件，如果每天盈利1144元，为了尽快减少库存，单价应降低多少元？ 巩固训练 62．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图13所示，已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽的道路，已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少米； (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．在停车位有剩余的情况下，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入与全部租出时相同？ 63．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 64．一小卖部分别用1200元、900元购进一批数量相同的牛肉汉堡和鸡肉汉堡，每个牛肉汉堡的进价比每个鸡肉汉堡的进价高5元． (1)求每个牛肉汉堡和每个鸡肉汉堡进价分别多少元？ (2)这批牛肉汉堡和鸡肉汉堡深受附近居民喜爱，很快销售一空，老板决定再购进一批相同的牛肉汉堡和鸡肉汉堡，此时每个鸡肉汉堡的进价上涨了元，购进的鸡肉汉堡的数量在第一次的基础上减少了个．牛肉汉堡的进价不变．购进的牛肉汉堡的数量在第一次基础上增加了个，所购此批两种汉堡的总费用与购第一批的总费用相同，求的值． 试卷第42页，共43页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$